2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第五章第三节　第1课时　系统知识——平面向量的数量积

第三节　平面向量的数量积及其应用

第1课时　系统知识——平面向量的数量积

1.向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．

(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.

(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．

2．平面向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.

(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b| cos θ的乘积．

[提醒]　(1)数量积a·b也等于b的长度|b|与a在b方向上的投影|a|cos θ的乘积，这两个投影是不同的．

(2)a在b方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围．

3．向量数量积的性质

设a，b是两个非零向量，e是单位向量，α是a与e的夹角，于是我们就有下列数量积的性质：

(1)e·a＝a·e＝|a||e|cos α＝|a|cos α.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)a，b同向⇔a·b＝|a||b|；

a，b反向⇔a·b＝－|a||b|.

特别地a·a＝|a|2＝a2或|a|＝.

(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝.

(5)|a·b|≤|a|·|b|.

(a±b)2＝|a±b|2＝|a|2±2a·b＋|b|2＝a2±2a·b＋b2；

a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

以上结论可作为公式使用．

4．平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·λ(b)(结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

[提醒]　对于实数a，b，c有(a·b)·c＝a·(b·c)，但对于向量a，b，c而言，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，即不满足向量结合律．这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．

1.已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．

答案：－2

2.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.

解析：a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3.

答案：3

3.在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点，则在方向上的投影为________．

答案：－

4.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则·的值是________．

答案：－1

5．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝2且a·b＝－2，则向量a与b的夹角为________．

答案：

6．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝________.

解析：设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.

答案：－1

已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

1.已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.

答案：12

2.向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________．

解析：a在b上的投影为＝＝－.

答案：－

3.a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于________．

解析：设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，

所以解得故b＝(－5,12)，

所以cosa，b＝＝.

答案：

4.已知向量a＝(2,7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为____________________．

解析：由a·b＝2x－21<0，得x<，当a与b共线时，＝，则x＝－，

故x的取值范围为x<且x≠－.

答案：∪

5．向量a＝(1,2)，b＝(－1,1)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值为________．

解析：∵ka＋b＝(k－1,2k＋1)，b＝(－1,1)，

∴(ka＋b)·b＝(k－1)×(－1)＋2k＋1＝k＋2＝0，k＝－2.

答案：－2

6．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝________.

解析：因为a＝(1,0)，b＝(－1，m)，所以ma－b＝(m＋1，－m)．

由a⊥(ma－b)，得a·(ma－b)＝0，即m＋1＝0，所以m＝－1.

答案：－1