2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二讲解题的指导思想——化归寻旧

第二讲解题的指导思想——化归寻旧在数学习题的解答过程中，除了第一讲中对信息加工的实践操作活动外，更重要的是大脑加工信息的思维活动，它的规律就是化归寻旧思想．“寻”即“寻找”“联系”之意；“旧”指现有的知识经验．也就是说信息加工的思维活动规律就是寻找问题的信息与现有的知识经验之间的联系，为加工信息的实践操作活动指明方向，即为化归活动确定方向．常见的化归寻旧方法有以下几种：一、求同求异，寻旧之规律(一)求同寻旧求同寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找习题信息与已知的某项知识经验的共性．特别是寻找问题信息与已知的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共同点．解题者在感知问题的信息时，眼睛如照相机一样将习题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明习题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的联系．[例1]　已知＝＝，求证：sin θ＝.[求同寻旧]　由于条件和结论都是三角等式，而结论信息是不含角2φ的三角等式，根据认知经验“条件中含有2φ的三角函数，而结论是不含2φ的三角函数，说明应当对条件信息进行加工处理，消去2φ”．为了消去2φ的三角函数，联系到熟悉结构的经验sin22φ＋cos22φ＝1，就会产生“先解出sin 2φ，cos 2φ，然后平方消去参数2φ”这一化归方案．[证明]　因为＝，所以2asin 2φ＝.①因为＝，所以2acos 2φ＝－(1＋a2)．②由①2＋②2再化简得2(a2＋1)(a2－1)sin θ＝2(a2－1)2.因为a2－1≠0，所以sin θ＝.[反思归纳]　此题通过求同寻旧提出了消去角2φ的解题思路，显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物．(二)求异寻旧求异寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的特征差异，以便化异为同，促使习题信息与认知结构的“网点”顺利“链接”．求同寻旧与求异寻旧在解题过程中总是结伴而行．一般来说，两个事物总是存在着区别和联系，相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同和完全不同的两件事物．寻旧就是寻找习题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之间发现其中的差异．求同寻旧旨在寻找联系，从而为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为信息加工指明方向，所以求同求异是不可分的．[例2]　如果方程组只有一组解，则实数k的值为________．[求同寻旧]　由于我们认知结构中有这样一项经验——一元二次方程根的存在及判定，而这个问题不是一元二次方程，它是求方程组的一组解．二者存在的共性都是与求解相关的问题．[求异寻旧]　认知经验是“一元二次方程”，而此问题是“二元二次对数方程组”，二者在元的个数和方程的个数上存在着差异，这就要求我们对原方程组进行“消元”处理，化异为同，即⇒⇒2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.①[求异寻旧]　认知经验中的熟悉结构是“一元二次方程”，而方程①是“对数方程”，二者在方程形式上存在着差异，这就要求我们对方程①进行“换元”处理，化异为同．[解析]　因为log3x∈R，设log3x＝t(t∈R)，方程①化为2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.②要使原方程组只有一组解，只需方程②只有一个根即可．所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝0⇒k＝9或k＝.[答案]　9或[反思领悟]　此题通过求异寻旧找到了“二元二次对数方程组只有一组解”与“一元二次方程只有一个根”的差异，提出了“消元”的解题思路，得到了①.又通过求异寻旧找到了“对数方程”与“一元二次方程”的差异，提出了“换元”的解题思路，得到了熟悉的方程②.显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物．二、上游下游，寻旧之方向对于两项信息A，B，如果A是B的充分条件，我们称A是B的上游信息，B是A的下游信息．我们称从上游信息向下游信息联想的思维活动为顺推寻旧，从下游信息向上游信息联想的思维活动为逆推寻旧．(一)下游顺推信息法就是针对一项信息A，沿着熟悉结构中的某条线进行顺推，顺推得到的新信息是上一步信息的必要条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为下游顺推信息法，如图所示．―→―→―→[例3]　已知函数f(x)＝x2＋2x，若存在实数t，使不等式f(x＋t)≤x－1对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求实数m的取值范围．[解]　这个习题呈现的信息有2项：①存在实数t，使不等式f(x＋t)≤x－1对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求实数m的取值范围．此题信息②很清晰，而信息①虽然是一个不等式恒成立问题，但不等式的结构是隐性的，不直观、不清晰，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，首先对信息①进行加工处理，使信息①清晰，这样便于寻找与熟悉结构的联系．将信息①进行下游顺推转化为①1：“存在实数t，使不等式(x＋t＋1)2≤x对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即转化为信息①的充要条件；将信息①1进行下游顺推转化为①2：“存在实数t，使不等式|x＋t＋1|≤对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即转化为信息①1的充要条件；将信息①2进行下游顺推转化为①3：“存在实数t，使不等式对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立”，即转化为信息①2的充要条件；将信息①3进行下游顺推转化为①4：“存在实数t，使不等式成立”，即转化为信息①3的充要条件；将信息①4进行下游顺推转化为①5：“不等式m－＋1≤3”，即转化为信息①4的必要条件；将信息①5进行下游顺推转化为①6：“1＜m≤4”，即转化为信息①5的充要条件．由此可见，此题的解答过程就是信息①的下游顺推转化过程，一次次将信息①向下游转化为它的充要条件，建立一条从信息①到信息②的解题通道．[例4]　已知a>0，b>0，a＋＝4，求＋的最小值．[解]　这个习题呈现的信息有3项：①a>0，b>0；②a，b之间的关系式为a＋＝4；③求＋的最小值．此题两个变量之间存在联系，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，一个自变量的问题是函数问题，求函数最小值有导数这个通法．此题如果能消去一个自变量，就可以转化为求函数最小值问题．于是可以采取以下两种消元处理信息的方法．转化为信息②的充要条件；将信息③转化为求＋的最小值，这也是下游顺推信息法，即转化为信息③的充要条件；此时，问题结论信息转化为“已知0＜b＜2，求F(b)＝＋的最小值”，这也是下游顺推信息法，即转化为结论信息的充要条件．由题意知a＝4－(0＜b＜2)，令F(b)＝＋＝＋.因为F′(b)＝－＝.显然，f(b)＝4－和g(b)＝在(0,2)上单调递减且恒正．所以u(b)＝3b2－(4－)2在(0,2)上单调递增．列表如下：b(0,1)1(1,2)u(b)－0＋F′(b)－0＋所以F(b)min＝F(1)＝4，即＋的最小值为4.(二)上游逆推信息法就是针对一项信息A，沿着熟悉结构的某条线进行逆推，即要得到信息A，只需要信息B.逆推得到的新信息都是上一步信息的充分条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为上游逆推信息法，如图所示．―→―→―→[例5]　已知an＝2n－1，求证：＋＋…＋>－.[证明]　这个习题呈现的信息有2项：①an＝2n－1；②求证＋＋…＋>－.信息②是一个不等式，根据熟悉结构的解题经验(即寻旧)，由于两边都是关于n的代数式，两边都是递增的，容易想到放缩法．于是可以采取以下信息处理法．由＝＝－，将信息②进行下游顺推转化为信息②1：求证＜，即转化为信息②的充要条件；联想一个公比为的等比数列，即＝＜，将信息②1进行上游逆推转化为②2：求证≤，即转化为信息②1的充分条件；将信息②2进行上游逆推转化为②3：求证≤，即转化为信息②2的充分条件；将信息②3向下顺推转化为②4：求证2n≥2(显然成立)，即转化为信息②3的充要条件．[反思领悟]　显然，此题的解答过程就是对信息②进行下游顺推信息和上游逆推信息相结合的过程，特别是将信息②1向上逆推转化为②2是解答此题的关键，这就是常说的“加强命题证明不等式”．数学习题解答过程的思维规律是寻旧，究竟如何寻旧？就是寻找问题信息和熟悉结构之间的联系．就是将问题的某项信息进行下游顺推或上游逆推，以此寻找新信息．显然，下游顺推信息法和上游逆推信息法既是寻旧思维活动的两种方向，也是数学习题解答的基本方法．值得一提的是：对问题的某些信息进行寻旧时，不是一次或几次进行下游顺推信息或上游逆推信息，可能是下游顺推信息和上游逆推信息多次交互结合进行．一次次得到的新信息可能就是认知结构中某一条线上的知识点，特别是难度较大的数学习题，也可能是多条线上的公共知识点．