2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第九节函数模型及其应用

第九节函数模型及其应用

1．几类函数模型

2．三种函数模型的性质

❶对勾函数y＝x＋a＞0在－∞，－]和[，＋∞上单调递增，在[－，0和0，]上单调递减.

当x＞0时，x＝时取最小值2；当  x＜0时，x＝－时取最大值－2.

 (1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型．

(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型．

(3)幂函数模型y＝xn(n＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n值较小(n≤1)时，增长较慢；当n值较大(n＞1)时，增长较快.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(　　)

(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　)

(3)不存在x0，使ax0＜x＜logax0.(　　)

(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞0)的增长速度．(　　)

(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×

二、选填题

1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是(　　)

A．一次函数模型　　　　 B．幂函数模型

C．指数函数模型  D．对数函数模型

解析：选A　根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．

2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

解析：选C　小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.

3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．

解析：设需经过t小时，由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.

答案：3

4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________．

解析：由题意可得y＝

答案：y＝

5．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．

解析：设利润为L(x)，则利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．

答案：18

[典例精析]

加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．

[解析]　根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，

联立方程组得

消去c化简得解得

所以p＝－0.2t2＋1.5t－2

＝－＋－2

＝－2＋，

所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．

[答案]　3.75

[解题技法]

求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．

[过关训练]

1．某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)＝已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为(　　)

A．11.5元　　　　　　　 B．11元

C．10.5元  D．10元

解析：选A　根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝，C＝4，所以f(x)＝所以f(20)＝4＋×(20－5)＝11.5.

2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A．30元　　　　　　　 B．60元

C．28 000元  D．23 000元

解析：选D　设毛利润为L(p)元，

则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)

＝(8 300－170p－p2)(p－20)

＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，

解得p＝30或p＝－130(舍去)．

当p∈(0,30)时，L′(p)＞0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)＜0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000.

[分类例析]

类型(一)　构建一、二次函数模型

[例1]　某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：

其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原料价格决定，预计m∈[6,8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．

(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x1，x2之间的函数关系式，并指明定义域；

(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．

[解]　(1)由题意得y1＝10x1－(20＋mx1)＝(10－m)x1－20(0≤x1≤200且x1∈N)，

y2＝18x2－(40＋8x2)－0.05x＝－0.05x＋10x2－40

＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120且x2∈N)．

(2)∵6≤m≤8，∴10－m＞0，

∴y1＝(10－m)x1－20为增函数．

又0≤x1≤200，x1∈N，

∴当x1＝200时，生产A产品的最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．

∵y2＝－0.05(x2－100)2＋460(0≤x2≤120，且x2∈N)，

∴当x2＝100时，生产B产品的最大利润为460万美元．

(y1)max－(y2)max＝(1 980－200m)－460＝1 520－200m.

易知当6≤m＜7.6时，(y1)max＞(y2)max.

即当6≤m＜7.6时，投资生产A产品200件可获得最大年利润；

当m＝7.6时，投资生产A产品200件或投资生产B产品100件，均可获得最大年利润；

当7.6＜m≤8时，投资生产B产品100件可获得最大年利润． 

解决一、二次函数模型问题的3个注意点

(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；

(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．　　　　

类型(二)　构建指数函数、对数函数模型

[例2]　(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(　　)

(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)

A．2018年　　　　　　　 B．2019年

C．2020年  D．2021年

(2)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0  ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是(　　)

A．16小时  B．20小时

C．24小时  D．28小时

[解析]　(1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．

根据题意得130(1＋12%)n－1＞200，

则lg[130(1＋12%)n－1]＞lg 200，

∴lg 130＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，

∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12＞lg 2＋2，

∴0.11＋(n－1)×0.05＞0.30，解得n＞，

又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年．故选C.

(2)由已知得192＝eb，①

48＝e22k＋b＝e22k·eb，②

将①代入②得e22k＝，则e11k＝，

当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·eb＝3×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.

[答案]　(1)C　(2)C

指数函数与对数函数模型的应用技巧

(1)要先学会合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．

(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．　　　　

类型(三)　构建y＝ax＋的函数模型

[例3]　某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

[解]　设该场x(x∈N*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元．

因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．

从而有y＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357≥417，当且仅当＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．

应用函数f(x)＝ax＋模型的关键点

(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)＝ax与反比例函数f(x)＝叠加而成的．

(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f(x)＝ax＋的形式．

(3)利用模型f(x)＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．　　　　

类型(四)　构建分段函数模型

[例4]　某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

[解]　(1)当x≤6时，y＝50x－115，

令50x－115＞0，解得x＞2.3，

∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.

当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.

令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.

∴f(x)＝

(2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，

显然当x＝6时，ymax＝185；

对于y＝－3x2＋68x－115

＝－32＋(6＜x≤20，x∈Z)，

当x＝11时，ymax＝270.

∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．

解决分段函数模型问题的3个注意点

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；

(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；

(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)值的最大(最小)者. 　　　　

[共性归纳]

建立函数模型解应用题的4步骤

[过关训练]

1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)

A．10元  B．20元

C．30元  D.元

解析：选A　设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，

当t＝100时，100k1＋20＝100k2，

化简得k2－k1＝.

当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元)．

2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：

给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．

(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；

(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．

解：(1)将(3,1)，(5,2)代入y＝kx＋b(k≠0)，

得解得∴y＝x－.

当x＝9时，y＝4，不符合题意；

将(3,1)，(5,2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，

得解得

∴y＝·x＝2.

当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；

将(3,1)，(5,2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，

得解得∴y＝log2(x－1)．

当x＝9时，y＝log28＝3；

当x＝17时，y＝log216＝4.

故可用③来描述x，y之间的关系．

(2)令log2(x－1)≥6，则x≥65.

∵年利润＜10%，∴该企业要考虑转型．

1．某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A．y＝100x　　　　　　　 B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100

解析：选C　根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是(　　)

A．118元  B．105元

C．106元  D．108元

解析：选D　设进价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故选D.

3．(2018·北京石景山联考)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头方向经过点B跑到点C，共用时30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t(s)，他与教练间的距离为y(m)，表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的(　　)

A．点M  B．点N

C．点P  D．点Q

解析：选D　假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故A选项错误；假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故B选项错误；假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s时教练到小明的距离，而点P不符合这个条件，故C选项错误；经判断点Q符合函数图象，故D选项正确，选D.

4．(2019·洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x(正常情况下0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y(元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是(　　)

A．y＝(x－50)2＋500  B．y＝10＋500

C．y＝(x－50)3＋625  D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]

解析：选C　由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A中，函数y＝(x－50)2＋500先减后增，不符合要求；B中，函数y＝10＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D中，函数y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C中，函数y＝(x－50)3＋625是由函数y＝x3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.

5．(2019·邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为(　　)

A．30.5万元  B．31.5万元

C．32.5万元  D．33.5万元

解析：选B　由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为×150%＋×50%，故年销售收入为z＝·y＝45y＋6＋x.∴年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)．∴当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋－＝31.5(万元)．故选B.

6．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

7．(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.

化简得x－6×0.9x＝0.

令f(x)＝x－6×0.9x，

易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．

故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．

答案：4

8.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的取值范围为________．

解析：根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝x，

所以9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，

由得2≤x＜6.

所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x＜6)，

由y＝＋≤10.5，解得3≤x≤4.

因为[3,4] ⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．

答案：[3,4]

9.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，

所以＝，

所以y＝－x＋10，

定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，

则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，

所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，

所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．

10．近年来，某企业平均每年缴纳的电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝(x≥0，k为常数) .记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今后15年共将缴纳的电费之和．

(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式；

(2)当x为多少时，y取得最小值？最小值是多少万元？

解：(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费．由C(0)＝＝24，得k＝2 400，

所以y＝15×＋0.5x＝＋0.5x(x≥0)．

(2)因为y＝＋0.5(x＋5)－2.5≥2－2.5＝57.5，

当且仅当＝0.5(x＋5)，即x＝55时取等号，

所以当x为55时，y取得最小值，最小值为57.5万元．

11．[选做题]某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p(x)＝万元．

(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？

(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q(m)＝(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

解：(1)由总成本p(x)＝万元，可得每台机器人的平均成本y＝＝＝x＋＋1≥2＋1＝2.当且仅当x＝，即x＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．

(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量

q(m)＝当1≤m≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m(60－m)＝－160m2＋9 600m，∴当m＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．当m＞30时，日平均分拣量为480×300＝144 000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．若传统人工分拣144 000件，则需要人数为＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%＝75%.