2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第二节函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

一、基础知识批注——理解深一点

1．增函数、减函数

定义：设函数f(x)的定义域为I：

(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．

(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．

2．单调性、单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.

3．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.

(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．

二、常用结论汇总——规律多一点

在公共定义域内：

(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；

(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；

(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；

(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；

(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；

(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；

(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)

(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性．(　　)

(3)若定义在R上的函数f(x)有f(－1)<f(3)，则函数f(x)在R上为增函数．(　　)

(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(　　)

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(　　)

(6)所有的单调函数都有最值．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

(二)选一选

1．若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)

A．m>　　　　　　　 　B．m<

C．m>－   D．m<－

解析：选B　若函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.

2．下列函数中，图象是轴对称图形且在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)

A．y＝　 B．y＝－x2＋1　 C．y＝2x　 D．y＝log2|x|

解析：选B　因为函数的图象是轴对称图形，所以排除A、C，又y＝－x2＋1在        (0，＋∞)上单调递减，y＝log2|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以排除D.故选B.

3．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是(　　)

A．[1,2]   B．[－1,0]  C．[0,2]   D．[2，＋∞)

解析：选A　由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]．

(三)填一填

4.设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的增区间为________．

解析：由图可知函数的增区间为[－1,1]和[5,7]．

答案：[－1,1]和[5,7]

5．函数f(x)＝在[－2,0]上的最大值与最小值之差为________．

解析：易知f(x)在[－2,0]上是减函数，

∴f(x)max－f(x)min＝f(－2)－f(0)＝－－(－2)＝.

答案：

[典例]　(1)求函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．

(2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

[解]　(1)易知f(x)＝

＝

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

(2)法一：定义法

设－1<x1<x2<1，

f(x)＝a＝a，

则f(x1)－f(x2)＝a－a

＝.

由于－1<x1<x2<1，

所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，

故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

法二：导数法

f′(x)＝

＝＝－.

当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；

当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

[解题技法]　判断函数单调性和求单调区间的方法

(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．

(2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．

(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．

(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．

[题组训练]

1．下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　)

A．f(x)＝2x　　　　　　 　B．f(x)＝|x－1|

C．f(x)＝－x   D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选C　由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A、D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数．

2．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　　)

A．(0，＋∞)   B．(－∞，0)

C．(2，＋∞)   D．(－∞，－2)

解析：选D　令t＝x2－4，则y＝logt.因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．

3．判断函数f(x)＝x＋(a>0)在(0，＋∞)上的单调性．

解：设x1，x2是任意两个正数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝(x1x2－a)．

当0<x1<x2≤时，0<x1x2<a，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，

所以函数f(x)在(0， ]上是减函数；

当≤x1<x2时，x1x2>a，x1－x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在[，＋∞)上是增函数．

综上可知，函数f(x)＝x＋(a>0)在(0， ]上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．

[典例]　(1)(2019•深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．

(2)若函数f(x)＝－＋b(a>0)在上的值域为，则a＝________，b＝________.

(3)函数f(x)＝的最大值为________．

[解析]　(1)图象法

函数y＝

作出函数的图象如图所示．

根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．

(2)单调性法

∵f(x)＝－＋b(a>0)在上是增函数，

∴f(x)min＝f＝，f(x)max＝f(2)＝2.

即解得a＝1，b＝.

(3)当x≤0时，f(x)＝－x2－4x＝－(x＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f(x)在x＝－2处取得最大值，且f(－2)＝4；当x>0时，f(x)＝sin x，此时f(x)在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f(x)的最大值为4.

[答案]　(1)[3，＋∞)　(2)1　　(3)4

[解题技法]　求函数最值的5种常用方法

[口诀归纳]

单调性，左边看，上坡递增下坡减；

函数值，若有界，上界下界值域外．

[提醒]　(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．

(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．

[题组训练]

1．函数f(x)＝的值域为________．

解析：当x>0时，f(x)＝x＋≥4，

当且仅当x＝2时取等号；

当x<0时，－x＋≥4，

即f(x)＝x＋≤－4，

当且仅当x＝－2取等号，

所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)

2．若x∈，则函数y＝4sin2x－12sin x－1的最大值为________，最小值为________．

解析：令t＝sin x，因为x∈，

所以t∈，y＝f(t)＝4t2－12t－1，

因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t＝，所以当t∈时，函数f(t)单调递减，

所以当t＝－时，ymax＝6；

当t＝1时，ymin＝－9.

答案：6　－9

3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1.若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

解析：对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立等价于x2＋2x＋a>0在x∈[1，＋∞)上恒成立，即a>－x2－2x在x∈[1，＋∞)上恒成立．

又函数y＝－x2－2x在[1，＋∞)上单调递减，

∴(－x2－2x)max＝－3，故a>－3，

又∵a≤1，∴－3<a≤1.

答案：(－3,1]

考法(一)　比较函数值的大小

[典例]　设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)

A．f(π)>f(－3)>f(－2)　

B．f(π)>f(－2)>f(－3)

C．f(π)<f(－3)<f(－2) 

D．f(π)<f(－2)<f(－3)

[解析]　因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．

又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．

所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．

[答案]　A

[解题技法]　比较函数值大小的解题思路

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．

考法(二)　解函数不等式

[典例]　设函数f(x)＝若f(a＋1)≥f(2a－1)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]　　　　　　　 　B．(－∞，2]

C．[2,6]   D．[2，＋∞)

[解析]　易知函数f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f(a＋1)≥f(2a－1)，

∴a＋1≥2a－1，解得a≤2.故实数a的取值范围是(－∞，2]．

[答案]　B

[解题技法]　求解含“f”的函数不等式的解题思路

先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x))．

考法(三)　利用单调性求参数的范围(或值)

[典例]　 (2019•南京调研)已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

[解析]　设1<x1<x2，∴x1x2>1.

∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，

∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－

＝(x1－x2)<0.

∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.

∵1<x1<x2，x1x2>1，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.

∴a的取值范围是[－1，＋∞)．

[答案]　[－1，＋∞)

[解题技法]

利用单调性求参数的范围(或值)的方法

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

[题组训练]

1．已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c>a>b   B．c>b>a

C．a>c>b   D．b>a>c

解析：选D　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f.当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b>a>c.

2．已知函数f(x)＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由对数函数的定义可得a>0，且a≠1.

又函数f(x)在R上单调，而二次函数y＝ax2－x－的图象开口向上，

所以函数f(x)在R上单调递减，

故有即

所以a∈.

A级——保大分专练

1．下列四个函数中，在x∈(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A．f(x)＝3－x　　　　　 　B．f(x)＝x2－3x

C．f(x)＝－   D．f(x)＝－|x|

解析：选C　当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．

2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)

A．(2，＋∞)   B．(－∞，2)

C．(4，＋∞)   D．(－∞，4)

解析：选B　因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.

而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.

因为a<0，所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．

3．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.

所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.

4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)

A．－1   B．1

C．6   D．12

解析：选C　由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1<x≤2时，f(x)＝x3－2，又f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在相应的定义域内都为增函数，且f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值为6.

5．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)(　　)

A．(－1,2)   B．(1,4)

C．(－∞，－1)∪[4，＋∞)   D．(－∞，－1]∪[2，＋∞)

解析：选D　由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f(x＋1)＜1即为f(0)＜f(x＋1)＜f(3)，所以0＜x＋1＜3，所以－1＜x＜2，故不等式－3＜f(x＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．

6．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－3,0)   B．(－∞，－2]

C．[－3，－2]   D．(－∞，0)

解析：选C　若f(x)是R上的增函数，则应满足解得－3≤a≤－2.

7．已知函数f(x)＝，则该函数的单调递增区间为________．

解析：设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t＝x2－2x－3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．

答案：[3，＋∞)

8．函数f(x)＝的最大值为________．

解析：当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

答案：2

9．若函数f(x)＝在区间[2，a]上的最大值与最小值的和为，则a＝________.

解析：由f(x)＝的图象知，f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a]⊆(0，＋∞)，

∴f(x)＝在[2，a]上也是减函数，

∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(a)＝，

∴＋＝，∴a＝4.

答案：4

10．(2019·甘肃会宁联考)若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a<3.

答案：(－∞，3)

11．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．

解：(1)证明：任取x1＞x2＞0，

则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，

∵x1＞x2＞0，

∴x1－x2＞0，x1x2＞0，

∴f(x1)－f(x2)＞0，

即f(x1)＞f(x2)，

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)可知，f(x)在上是增函数，

∴f＝－2＝，f(2)＝－＝2，

解得a＝.

12．已知f(x)＝(x≠a)．

(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．

解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝.

任取x1，x2∈(－∞，－2)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，

所以f(x)在(－∞，－2)内单调递增．

(2)任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为a＞0，x2－x1＞0，又由题意知f(x1)－f(x2)＞0，

所以(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，所以a≤1.

所以0＜a≤1.

所以a的取值范围为(0,1]．

B级——创高分自选

1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(0,1]   B．(－1,0)∪(0,1]

C．(0，＋∞)   D．(0,1]

解析：选D　函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m>0，解得m>0.综上可得，m的取值范围是(0,1]．

2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．

解析：因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，

所以解得－3<a<－1或a>3.

又a>0，所以a>3.

答案：(3，＋∞)

3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>       －1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;

(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.

又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，　

所以函数f(x)在R上是单调增函数．

(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.

由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，

又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，

解得x<－2或x>1，

故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．