2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第八节指数式、对数式的运算

第八节指数式、对数式的运算

一、基础知识批注——理解深一点

(1)根式的性质

①()n＝a(a使有意义)．―→

②当n是奇数时，＝；

当n是偶数时，＝|a|＝

(2)分数指数幂的意义

分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．

①a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

②a＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　

(3)有理数指数幂的运算性质

①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

2．对数的概念及运算性质

一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b就叫做以a

为底N的对数，记作：logaN＝b.

(1)对数的性质

①负数和零没有对数；

②1的对数是；

③底数的对数等于.

(2)对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③loga(Nn)＝nlogaN(n∈R)．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．换底公式的变形

(1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)；

(2)logambn＝logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；

(3)logNM＝＝(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)．

2．换底公式的推广

logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．

3．对数恒等式

a＝N(a>0且a≠1，N>0)．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)＝π－4.(　　)

(2)与()n都等于a(n∈N*)．(　　)

(3)log2x2＝2log2x.(　　)

(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

(二)选一选

1．已知a>0，则下列运算正确的是(　　)

A．a·a＝a　　　　　　 　B．a·a＝0

C．(a)2＝a   D．a÷a＝a

答案：D

2．化简(x<0，y<0)得(　　)

A．2x2y　    B．2xy　　　C．4x2y　　　D．－2x2y

解析：选D　因为x<0，y<0，

所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.

3．设x＋x－1＝3，则x2＋x－2的值为(　　)

A．9         B．7        C．5        D．3

解析：选B　∵x＋x－1＝3，∴(x＋x－1)2＝9，即x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7.

(三)填一填

4．lg＋lg的值是________．

解析：lg ＋lg＝lg＝1.

答案：1

5．4＝________.

解析：4＝2＝2＝9.

答案：9

[典例]　化简下列各式：

(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；

(2)a·b－2·÷(4a·b－3).

[解]　(1)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.

(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)＝－ab－3÷(ab)＝－a·b＝－·＝ －.

[解题技法]　指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里面的，没有括号的先做指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．

[题组训练]

1．若实数a>0，则下列等式成立的是(　　)

A．(－2)－2＝4　　　　　 　B．2a－3＝

C．(－2)0＝－1   D．(a)4＝

解析：选D　对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．

2．化简4a·b÷的结果为(　　)

A．－   B．－

C．－   D．－6ab

解析：选C　原式＝－6ab＝－6ab－1＝－.

3．计算：－－2＋＋(0.002)＝________.

解析：原式＝－2＋＋

＝－＋＋10＝10.

答案：10

[典例]　计算下列各式：

(1)；(2)log23·log38＋()log34.

[解]　(1)原式＝＝＝1.

(2)原式＝·＋3＝3＋3＝3＋2＝5.

[解题技法]　对数运算的一般思路

[题组训练]

1．(log29)·(log34)＝(　　)

A．　　　　　　　　　 　B．

C．2   D．4

解析：选D　法一：原式＝·＝＝4.

法二：原式＝2log23·＝2×2＝4.

2．计算：÷100＝________.

解析：原式＝lg×100＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

答案：－20

3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)且f(3)＝1，

∴1＝log2(9＋a)，

∴9＋a＝2，∴a＝－7.

答案：－7

4．计算：log5[4－(3)－7]＝________.

解析：原式＝log5[2－(3)－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.

答案：1

1．设＝log23，则3x－3－x的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 　B.

C.   D.

解析：选B　由＝log23，得3x＝2，∴3x－3－x＝2－＝.

2．化简(－6ab)÷的结果为(　　)

A．－4a   B．4a

C．11a   D．4ab

解析：选B　原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.

3．(log29)(log32)＋loga＋loga(a>0，且a≠1)的值为(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选B　原式＝(2log23)(log32)＋loga＝2×1＋logaa＝3.

4．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　)

A．a   B．a

C．a   D．a

解析：选C　＝＝＝＝a＝a.

5．如果2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ(a>0，且a≠1)，那么的值为(　　)

A.   B．4

C．1   D．4或1

解析：选B　由2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由对数运算性质得(P－2Q)2＝PQ，即P2－5PQ＋4Q2＝0，所以P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得＝4.

6．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于(　　)

A．1   B．0或

C.   D．log23

解析：选D　由题意知lg2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，由对数的运算性质得2(2x＋5)＝(2x＋1)2，即(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝log23.

7．已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是(　　)

A．2   B．3

C．4   D．5

解析：选D　∵log3 <0，由题意得f(f(1))＋f＝f(log21)＋3＋1＝f(0)＋3＋1＝30＋1＋2＋1＝5.

8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)

A.   B．10

C．20   D．100

解析：选A　由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

所以＋＝logm2＋logm5＝logm10.

因为＋＝2，所以logm10＝2.

所以m2＝10，所以m＝.

9．已知4a＝2，lg x＝a，则x＝________.

解析：由4a＝2，得a＝，又因为lg x＝a＝，

所以x＝10＝.

答案：

10．计算：9＝________.

解析：9＝9×9＝3×＝.

答案：

11．化简：＝________.

解析：原式＝＝a·b＝.

答案：

12．已知指数函数y＝f(x)，对数函数y＝g(x)和幂函数y＝h(x)的图象都过点P，如果f(x1)＝g(x2)＝h(x3)＝4，那么x1＋x2＋x3＝________.

解析：令f(x)＝ax(a>0,且a≠1)，g(x)＝logbx(b>0,且b≠1)，h(x)＝xc，则f＝a＝2，g＝logb＝－logb2＝2，h＝c＝2，∴a＝4，b＝，c＝－1，∴f(x1)＝4x1＝4⇒x1＝1，同理，x2＝，x3＝.∴x1＋x2＋x3＝.

答案：

13．化简下列各式：

(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；

(2) ÷ ；

(3).

解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.

(2)原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝a÷a＝a＝a.

(3)法一：原式＝＝＝.

法二：原式＝＝＝.