2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第六节二次函数

第六节二次函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；

两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．二次函数的图象与性质

二、常用结论汇总——规律多一点

1．一元二次不等式恒成立的条件

(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．

(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．

2．二次函数在闭区间上的最值

设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．

(1)当－≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；

(2)当m<－≤时，最小值为f，最大值为f(n)；

(3)当<－≤n时，最小值为f，最大值为f(m)；

(4)当－>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)

(3)a＝1是函数f(x)＝x2－4ax＋3在区间[2，＋∞)上为增函数的充分不必要条件．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

(二)选一选

1．若二次函数y＝2x2＋bx＋c关于y轴对称，且过点(0,3)，则函数的解析式为(　　)

A．y＝2x2＋x＋3　　　　 　B．y＝2x2＋3

C．y＝2x2＋x－3   D．y＝2x2－3

解析：选B　由题可知函数y＝f(x)为偶函数，则b＝0.又过点(0,3)，则c＝3，故解析式为y＝2x2＋3.

2．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　)

A．(－∞，1]   B．[1，＋∞)

C．(－∞，－1]   D．[－1，＋∞)

解析：选A　函数y＝x2－2tx＋3的图象开口向上，以直线x＝t为对称轴．又函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t≤1.

3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)

A.   B. 

C.   D.

解析：选C　由题意知即解得a>.

(三)填一填

4．函数y＝－x2＋4x－2在区间[1,4]上的最小值为________．

解析：函数y＝－x2＋4x－2的图象开口向下，对称轴为直线x＝2，所以当x＝4时，y的最小值为－2.

答案：－2

5．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，则y＝f(x)的值域为________．

解析：因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，所以其定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以a－1＝－2a，所以a＝，因为f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，即f(－x)＝f(x)，

所以b＝0，所以f(x)＝x2＋1，x∈，其值域为.

答案：

求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.

[典例]　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．

[解]　法一：利用二次函数的一般式

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由题意得解得

故所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二：利用二次函数的顶点式

设f(x)＝a(x－m)2＋n.

∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.

∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，

∴y＝f(x)＝a2＋8.

∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，

∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三：利用零点式

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值ymax＝8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍去)，

故所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

[解题技法]　求二次函数解析式的策略

[题组训练]

1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f(x)＝________.

解析：法一：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由已知得解得

所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.

法二：设所求解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

依题意得解得

所以所求解析式为f(x)＝x2＋x－.

法三：设所求解析式为f(x)＝a(x－h)2＋k.

由已知得f(x)＝a(x＋2)2－1，

将点(1,0)代入，得a＝，

所以f(x)＝(x＋2)2－1，

即f(x)＝x2＋x－.

答案：x2＋x－

2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝____________.

解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，

∴f(x)的对称轴为x＝2.

又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，

∴f(x)＝0的两根为1和3.

设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．

又∵f(x)的图象经过点(4,3)，

∴3a＝3，a＝1.

∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，

即f(x)＝x2－4x＋3.

答案：x2－4x＋3

考法(一)　二次函数图象的识别

[典例]　若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象只可能是(　　)

[解析]　因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x＝－<0，只有选项C适合．

[答案]　C

[解题技法]　识别二次函数图象应学会“三看”

考法(二)　二次函数的单调性与最值问题

[典例]　(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时，有最大值2，则a的值为________．

(2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．

[解析]　(1)函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.

当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，

所以1－a＝2，所以a＝－1.

当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，

所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，

所以a＝(舍去)．

当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.

综上可知，a＝－1或a＝2.

(2)依题意a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以a>0，即函数图象的开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.

[答案]　(1)－1或2　(2)[0,2]

[解题技法]

1．二次函数最值问题的类型及解题思路

(1)类型：

①对称轴、区间都是给定的；

②对称轴动、区间固定；

③对称轴定、区间变动．

(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．

(3)求二次函数最值口诀如下：

弃y轴，十字图，对应横轴对称轴；

函数草图随意作，开口方向莫疏忽；

区间与轴描分布，高低位置最值处；

二次函数含参数，逻辑分类谁做主；

动兮定兮对称轴，看作静止参照物．

2．二次函数单调性问题的求解策略

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．

(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．

考法(三)　与二次函数有关的恒成立问题

[典例]　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是________；

(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，则k的取值范围为________．

[解析]　(1)作出二次函数f(x)的草图如图所示，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，

则有

即

解得－<m<0.

(2)由题意得x2＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立．

设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，

则g(x)在[－3，－1]上递减．

∴g(x)min＝g(－1)＝1.

∴k<1.故k的取值范围为(－∞，1)．

[答案]　(1)　(2)(－∞，1)

[解题技法]

由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

[题组训练]

1．(2019·杭州模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在[0,1]内的最大值为－5，则a的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 　B．1或

C．－1或   D．－5或

解析：选D　f(x)＝－42－4a，对称轴为直线x＝.

①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增，

∴f(x)max＝f(1)＝－4－a2.

令－4－a2＝－5，得a＝±1(舍去)．

②当0<<1，即0<a<2时，f(x)max＝f＝－4a.

令－4a＝－5，得a＝.

③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减，

∴f(x)max＝f(0)＝－4a－a2.

令－4a－a2＝－5，得a＝－5或a＝1(舍去)．

综上所述，a＝或－5.

2．若函数y＝x2－3x＋4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围为(　　)

A．(0,4]   B.

C.   D.

解析：选C　y＝x2－3x＋4＝2＋的定义域为[0，m]，显然，在x＝0时，y＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知≤m≤3，故选C.

3．已知函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．

解析：令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.

答案：2

A级——保大分专练

1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴方程是x＝1，并且过点P(－1,7)，则a，b的值分别是(　　)

A．2,4　　　　　　　　　 　B．－2,4

C．2，－4   D．－2，－4

解析：选C　∵y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是x＝1，∴－＝1.   ①

又图象过点P(－1,7)，∴a－b＋1＝7，即a－b＝6.                   ②

由①②可得a＝2，b＝－4.

2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则a的值为(　　)

A．－1   B．0

C．1   D．－2

解析：选D　函数f(x)＝－x2＋4x＋a的对称轴为直线x＝2，开口向下，f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，则当x＝0时，f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2.

3．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)

解析：选C　若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.

4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)

A．a>0,4a＋b＝0   B．a<0,4a＋b＝0

C．a>0,2a＋b＝0   D．a<0,2a＋b＝0

解析：选A　由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.

5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2)   B．(－2，＋∞)

C．(－6，＋∞)   D．(－∞，－6)

解析：选A　不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，

令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，

所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2.

6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．

解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，

所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，

应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.

答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)

7．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．

解析：设f(x)＝a2＋49(a≠0)，

方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，

则|x1－x2|＝2 ＝7，

所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.

答案：f(x)＝－4x2－12x＋40

8．(2018·浙江名校协作体考试)y＝的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．

解析：当a＝0时，y＝，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a≠0时，要使y＝的值域为[0，＋∞)，只需解得0<a≤2.综上，0≤a≤2.

答案：[0,2]

9．求函数f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值．

解：函数f(x)＝－2＋的图象的对称轴为x＝，应分<－1，－1≤≤1，>1，即a<－2，－2≤a≤2和a>2三种情形讨论．

(1)当a<－2时，由图①可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)．

(2)当－2≤a≤2时，由图②可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f＝.

(3)当a>2时，由图③可知f(x)在[－1,1]上的最大值为f(1)＝a－1.

综上可知，f(x)max＝

10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围．

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)，

由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x.

所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，

因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.

(2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，

所以在[－1,1]上，x2－x＋1>2x＋m恒成立；

即x2－3x＋1>m在区间[－1,1]上恒成立．

所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－，

因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1，

所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)．

B级——创高分自选

1.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：

①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.

其中正确的是(　　)

A．②④   B．①④

C．②③   D．①③

解析：选B　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；

对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；

结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；

由对称轴为x＝－1知，b＝2a.

又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．

2．已知y＝f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D．1

解析：选D　当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因为x∈，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.

3．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.

(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，

对称轴为x＝－∈[－2,3]，

∴f(x)min＝f＝－－3＝－，

f(x)max＝f(3)＝15，

∴函数f(x)的值域为.

(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.

①当－≤1，即a≥－时，

f(x)max＝f(3)＝6a＋3，

∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；

②当－＞1，即a＜－时，

f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，

∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．

综上可知，a＝－或－1.

4．求函数y＝x2－2x－1在区间[t，t＋1](t∈R)上的最大值．

解：函数y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2的图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t进行讨论如下：

(1)当对称轴在闭区间右边，即当t＋1<1，即t<0时，函数在区间[t，t＋1]上单调递减，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1.

(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t≤1，有两种情况：

①当t＋1－1≤1－t，即0≤t≤时，

f(x)max＝f(t)＝t2－2t－1；

②当t＋1－1>1－t，即<t≤1时，

f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.

(3)当对称轴在闭区间左侧，即当t>1时，函数在区间[t，t＋1]上单调递增，

f(x)max＝f(t＋1)＝(t＋1)2－2(t＋1)－1＝t2－2.

综上所述，t≤时，所求最大值为t2－2t－1；t>时，所求最大值为t2－2.