2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第四节函数性质的综合问题

第四节函数性质的综合问题

[典例]　(1)(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－2,2]　　　　 　　 　B．[－1,1]

C．[0,4]   D．[1,3]

(2)函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　)

A．f(1)<f<f   B．f<f(1)<f

C．f<f<f(1)   D．f<f(1)<f

[解析]　(1)∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．

又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，

∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.

(2)∵函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，

∴函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，

∴f(1)＝f(3)，f<f(3)<f，

即f<f(1)<f.

[答案]　(1)D　(2)B

[解题技法]

函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路

(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．

(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．

[题组训练]

1．已知函数f(x)满足以下两个条件：①任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；②对定义域内任意x有f(x)＋f(－x)＝0，则符合条件的函数是(　　)

A．f(x)＝2x   B．f(x)＝1－|x|

C．f(x)＝－x3   D．f(x)＝ln(x2＋3)

解析：选C　由条件①可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则可排除A、D选项，由条件②可知，f(x)为奇函数，则可排除B选项，故选C.

2．(2018·石家庄一模)设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为(　　)

A．[－3,3]   B．[－2,4]

C．[－1,5]   D．[0,6]

解析：选B　因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，

所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，

由函数f(x)在[－6,0]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.

[典例]　(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

[解析]　∵f(x＋4)＝f(x－2)，

∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，

∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．

又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.

[答案]　6

[解题技法]

已知f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．

[题组训练]

1．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＝－f，且f(1)＝2，则f(2 018)＝________.

解析：因为f(x)＝－f，所以f(x＋3)＝f＝－f＝f(x)．

所以f(x)是以3为周期的周期函数．

则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：－2

2．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值范围为________．

解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a－3<1，即a<2.

答案：(－∞，2)

 考点三　函数性质的综合应用

[典例]　(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A．－50　　　　　　　　 　B．0

C．2   D．50

(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间内是(　　)

A．减函数且f(x)>0   B．减函数且f(x)<0

C．增函数且f(x)>0   D．增函数且f(x)<0

[解析]　(1)法一：∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(1－x)＝－f(x－1)．

由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，

∴f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数．

由f(x)为奇函数得f(0)＝0.

又∵f(1－x)＝f(1＋x)，

∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，

∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.

又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)

＝0×12＋f(49)＋f(50)

＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.

法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.

(2)当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.

[答案]　(1)C　(2)D

[解题技法]

(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．

(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．

[题组训练]

1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是(　　)

A．0<f(1)<f(3)   B．f(3)<0<f(1)

C．f(1)<0<f(3)   D．f(3)<f(1)<0

解析：选C　由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.

由f(x＋2)＝－f(x)，

得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(3)＝f(－1)．

又f(x)在[0,2)上单调递减，

所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，

所以f(－1)>f(0)>f(1)，

即f(1)<0<f(3)．

2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1<x2时，都有>0恒成立；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(17)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A．a<b<c   B．b<a<c

C．a<c<b   D．c<b<a

解析：选B　由①知函数f(x)在区间[4,8]上单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为8，所以b＝f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区间[4,8]上单调递增，所以f(5)<f(6)<f(7)，即b<a<c.

A级——保大分专练

1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝ex＋e－x　　　　　 　B．y＝ln(|x|＋1)

C．y＝   D．y＝x－

解析：选D　选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，       ＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．

2．下列函数中，与函数y＝－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是(　　)

A．y＝cos x   B．y＝x

C．y＝   D．y＝

解析：选D　函数y＝－2x为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cos x是偶函数，且在R上不单调．函数y＝x是奇函数，但在R上单调递增．函数y＝的定义域是{x|x≠0}，不是R.画出函数y＝的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.

3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)

A.   B．－

C.   D．－

解析：选A　由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，

∴f(x)是以5为周期的周期函数，

∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．

∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.

∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，

∴f(－1)＝2－1－1＝－，

∴f(1)＝，∴f(16)＝.

4．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(　　)

A．有最大值4   B．有最小值－4

C．有最大值－3   D．有最小值－3

解析：选B　法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.

法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，

∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3，故选B.

5．(2018·惠州一调)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)>2的解集为(　　)

A．(2，＋∞)   B.∪(2，＋∞)

C.∪(，＋∞)   D．(，＋∞)

解析：选B　因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，

所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

所以f(log2x)>2＝f(1)⇔f(|log2x|)>f(1)⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或0<x<.

6．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)

A．f<f<f

B．f<f<f

C．f<f<f

D．f<f<f

解析：选C　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f<f<f.

7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.

解析：f＝f＝f＝－f＝－.

答案：－

8．(2018·合肥二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________________．

解析：令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f(x)＝f(－x)＝log2(－x＋1)，

令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f(x)＝log2[－(x－2)＋1]＝log2(3－x)．

故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log2(3－x)．

答案：f(x)＝log2(3－x)

9．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，则f(x)>0的解集为_______________．

解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，且f＝0.由f(x)>0，可得x>或－<x<0.

答案：

10．已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝2，则f(－2)＝________.

解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因为函数f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝3.

答案：3

11．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.

(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．

解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．

又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．

又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．

(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；

从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.

故f(x)＝

12．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．

解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数，

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，

得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．

故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×＝4.

B级——创高分自选

1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)

A．f(0)>f(log32)>f(－log23)

B．f(log32)>f(0)>f(－log23)

C．f(－log23)>f(log32)>f(0)

D．f(－log23)>f(0)>f(log32)

解析：选C　∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴f(log23)>f(log32)>f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f(log23)＝f(－log23)，

∴f(－log23)>f(log32)>f(0)．

2．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：

①8是函数f(x)的一个周期；

②f(x)的图象关于直线x＝2对称；

③f(x)是偶函数．

其中正确的序号是________．

解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，

则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；

由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；

由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，

得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，

即函数f(x)为偶函数，故③正确．

答案：①②③

3．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．　

(1)设f(1)＝2，求f，f；

(2)证明：f(x)是周期函数．

解：(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f·f≥0，x∈[0,1]．

∵f(1)＝f＝f·f＝2，f(1)＝2，

∴f＝2.

∵f＝f＝f·f＝2，f＝2，

∴f＝2.

(2)证明：依题设，y＝f(x)关于直线x＝1对称，

∴f(x)＝f(2－x)．

又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，

∴f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．