2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第七节幂函数

第七节幂函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．幂函数的概念

一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．

2．五种常见幂函数的图象与性质

二、常用结论汇总——规律多一点

对于形如f(x)＝x(其中m∈N*，n∈Z，m与n互质)的幂函数：

(1)当n为偶数时，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称；

(2)当m，n都为奇数时，f(x)为奇函数，图象关于原点对称；

(3)当m为偶数时，x>0(或x≥0)，f(x)是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)

(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(3)幂函数的图象不经过第四象限．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√

(二)选一选

1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)

A.　　　　　　　　 　B．1

C.   D．2

解析：选C　因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.

又f(x)的图象过点，所以α＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.

2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(2)＝(　　)

A.　　　　　　　　　 　B．4

C.   D.

解析：选C　设f(x)＝xα，

∵图象过点，

∴f(4)＝4α＝，解得α＝－，

∴f(2)＝2＝.

3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)

解析：选B　函数y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作由函数y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将函数y＝x－1的图象关于x轴对称后即为选项B.

(三)填一填

4．若y＝ax是幂函数，则该函数的值域是________．

解析：由已知y＝ax是幂函数，得a＝1，所以y＝x，所以y≥0，故该函数的值域是[0，＋∞)．

答案：[0，＋∞)

5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值为________．

解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，

∴m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.

又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，

∴m＝2.

答案：2

[典例]　(1)(2019·赣州阶段测试)幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)

A．－3　　　　　　　 　B．1

C．2   D．1或2

[解析]　(1)设f(x)＝xα，将点(3，)代入f(x)＝xα，解得α＝，所以f(x)＝x，可知函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故选C.

(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x在(0，＋∞)上是减函数，

∴∴n＝1，

又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.

[答案]　(1)C　(2)B

[解题技法]　幂函数y＝xα的主要性质及解题策略

(1)幂函数在(0，＋∞)内都有定义，幂函数的图象都过定点(1,1)．

(2)当α>0时，幂函数的图象经过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)内单调递增；当α<0时，幂函数的图象经过点(1,1)，且在(0，＋∞)内单调递减．

(3)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．

(4)幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同，解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等．

幂函数，啥模样，幂指坐在肩膀上；

图象恒过点(1,1)，单调牢记一象限；

正幂递增负幂减，奇偶性质看指数．

[题组训练]

1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的为(　　)

A．y＝x－4   B．y＝x－1

C．y＝x2   D．y＝x

解析：选A　函数y＝x－4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x－1为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递减；函数y＝x2为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增；函数y＝x为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增．

2.已知当x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象在直线y＝x的上方，则p的取值范围是________．

解析：当p>0时，根据题意知p<1，所以0<p<1；当p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题意；当p<0时，函数y＝xp的图象过点(1,1)，在(0，＋∞)上为减函数，符合题意．综上所述，p的取值范围是(－∞，1)．

答案：(－∞，1)

[典例]　若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 　B．c<a<b

C．b<c<a   D．b<a<c

[解析]　因为y＝x在第一象限内是增函数，所以a＝>b＝，因为y＝x是减函数，所以a＝<c＝，所以b<a<c.

[答案]　D

[解题技法]　比较幂值大小的常见类型及解决方法

[题组训练]

1．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c   B．a>c>b

C．c>a>b   D．b>c>a

解析：选B　因为y＝x在第一象限内为增函数，所以a＝>c＝，因为y＝x是减函数，所以c＝>b＝，所以a>c>b.

2．若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

解析：易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，

所以解得－1≤a<.

答案：

1．若幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则f(8)的值为(　　)

A．4　　　　　　　　　　 　B.

C．2   D．1

解析：选C　设f(x)＝xn，由条件知f(4)＝2，所以2＝4n，n＝，

所以f(x)＝x，f(8)＝8＝2.

2．若幂函数f(x)＝xk在(0，＋∞)上是减函数，则k可能是(　　)

A．1   B．2

C.   D．－1

解析：选D　由幂函数的性质得k<0，故选D.

3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)

A．1   B．2

C．1或2   D．3

解析：选A　∵函数f(x)为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件；当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.

4．(2018·邢台期末)已知幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝f(x)＋的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．6

解析：选A　设幂函数f(x)＝xα.

∵f(x)的图象过点，∴2α＝，解得α＝－2.

∴函数f(x)＝x－2，其中x≠0.

∴函数g(x)＝f(x)＋＝x－2＋

＝＋≥2＝1，

当且仅当x＝±时，g(x)取得最小值1.

5．(2019·安徽名校联考)幂函数y＝x|m－1|与y＝x(m∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为(　　)

A．0   B．1和2

C．2   D．0和3

解析：选C　由题意可得解得m＝2.

6．已知a＝3，b＝4，c＝12，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<a<c   B．a<b<c

C．c<b<a   D．c<a<b

解析：选C　因为a＝81，b＝16，c＝12，由幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，知a>b>c，故选C.

7．设x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，则x，y，z的大小关系为(　　)

A．x<z<y   B．y<x<z

C．y<z<x   D．z<y<x

解析：选A　由函数y＝0.3x在R上单调递减，可得y>z.由函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x<z.所以x<z<y.

8．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k，当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．[0,1)

C．(0,1]   D．[0,1]

解析：选D　∵f(x)是幂函数，∴(m－1)2＝1，解得m＝2或m＝0.若m＝2，则f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．若m＝0，则f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，满足条件，即f(x)＝x2.当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)；当x∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴2－k≥1且4－k≤4，解得0≤k≤1.

9．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝________.

解析：设f(x)＝xα，∵＝＝3α＝2，∴f＝α＝2α＝＝＝.

答案：

10．已知函数f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．

解析：由f(x)＝(m2－m－5)xm是幂函数⇒m2－m－5＝1⇒m＝－2或m＝3.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝3.

答案：3

11．当0＜x＜1时，f(x)＝x2，g(x)＝x，h(x)＝x－2，则f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是________________．

解析：分别作出y＝f(x)，y＝g(x)，y＝h(x)的图象如图所示，可知h(x)＞g(x)＞f(x)．

答案：h(x)＞g(x)＞f(x)

12．(2019·银川模拟)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，则a的取值范围是________．

解析：由题意得，幂函数f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(a＋1)<f(10－2a)，得解得3<a<5.

答案：(3,5)

13．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)的图象经过点(2，)．

(1)试确定m的值；

(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．

解：(1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，)，

∴＝2，即2＝2.

∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x，

则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．

由f(2－a)>f(a－1)，得解得1≤a<.

∴a的取值范围为.