2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第三节函数的奇偶性与周期性

第三节函数的奇偶性与周期性


一、基础知识批注——理解深一点
1．函数的奇偶性❶

偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)❷，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)❷，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称

❶函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．

❷若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．

2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
周期函数定义的实质
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用结论汇总——规律多一点
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

三、基础小题强化——功底牢一点


(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　)
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

(二)选一选
1．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于(　　)
A.　　　　　　　　　 　B.
C. D．1
解析：选B　由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，则f＝f＝2＝.
2．函数f(x)＝－2x的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C　因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－(－2x)＝－＋2x＝－＝－f(x)，所以f(x)＝－2x是奇函数，所以其图象关于坐标原点对称．


3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)
A．－ B.
C. D．－
解析：选B　∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.
又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.

(三)填一填
4．(2019·武汉调研)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝ 2－x＋x2，则f(2)＝________.
解析：法一：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝－[2－(－2)＋(－2)2]＝－(4＋4)＝－8.
法二：当x>0时，－x0时，f(x)＝－f(－x)＝－2x－x2，∴f(2)＝－22－22＝－8.
答案：－8
5.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)