课时作业(四十一) 空间几何体的表面积和体积 练习

课时作业(四十一)　空间几何体的表面积和体积

[授课提示：对应学生用书第249页]

一、选择题

1．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积比是(　　)

A．3∶2　　　B．2∶1

C．4∶3      D．5∶3

解析：底面半径r＝l＝l，故圆锥中S侧＝πl2，S表＝πl2＋π2＝πl2，所以表面积与侧面积的比为4∶3.

答案：C

2．(2015·山东卷)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A.  B.

C.  D．2π

解析：如图，过点D作BC的垂线，垂足为H.则由旋转体的定义可知，该梯形绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥．其中圆柱的底面半径R＝AB＝1，高h1＝BC＝2，其体积V1＝πR2h1＝π×12×2＝2π；圆锥的底面半径r＝DH＝1，高h2＝1，其体积V2＝πr2h2＝π×12×1＝.故所求几何体的体积为V＝V1－V2＝2π－＝.故选C.

答案：C

3．(2016·课标全国卷Ⅰ)

如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)

A．17π  B．18π

C．20π  D．28π

解析：由三视图可知，该几何体是一个球被截去后剩下的部分，设球的半径为R，则该几何体的体积为×πR3，即π＝×πR3，解得R＝2.故其表面积为×4π×22＋3××π×22＝17π.选A.

答案：A

4．(2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)

A.  B.

C.  D．1

解析：

由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示，

其底面是等腰直角三角形ACB，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积为V＝××1×1×1＝.故选A.

答案：A

5．(2017·广东茂名二模)若几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为(　　)

A．34π  B．35π

C．36π  D．17π

解析：由几何体的三视图知它是底面是正方形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥，可把它补成一个长、宽、高分别为3、3、4的长方体，该长方体的外接球即为原四棱锥的外接球，所以4R2＝32＋32＋42＝18＋16＝34(其中R为外接球的半径)，外接球表面积为S＝4πR2＝34π，故选A.

答案：A

6．(2017·成都模拟)已知某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为92，则a＝(　　)

A.  B．3

C.  D．4

解析：由三视图可知此几何体是一个底面边长分别为a＋2和3，高为6的长方体截去一个三棱锥，且截去的三棱锥的三条侧棱长分别为3,4，a，故该几何体的体积为6×(a＋2)×3－×3××4×a＝92，解得a＝.

答案：C

二、填空题

7．(2016·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.

解析：由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，∴该几何体的体积V＝2×2×4×2＝32 cm3，表面积S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72 cm2.

答案：72；32

8．(2017·江西师大附中模拟)已知边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，沿对角线BD折成二面角A－BD－C的大小为120°的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．

解析：如图1，取BD的中点E，连AE，CE.由已知条件可知，面ACE⊥面BCD.易知外接球球心在平面ACE内，如图2，在CE上取点G，使CG＝2GE，过点G作l1垂直于CE，过点E作l2垂直于AC，设l1与l2交于点O，连接OA，OC，则OA＝OC，易知O即为球心．分别解△OCG，△EGO可得R＝OC＝，∴外接球的表面积为28π.

答案：28π

9．(2017·天水一模)四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，且四棱锥P－ABCD的五个顶点都在同一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为2，则该球的表面积为________．

解析：

解法一　将三视图还原为直观图如图中四棱锥P－ABCD，可得四棱锥P－ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．设外接球的球心为O，则O也是正方体的中心，设EF的中点为G，连接OG、OA、AG.因为直线EF被球面所截得的线段长为2，即正方体面对角线长也是2，所以AG＝＝a，得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AG＝，则AO＝，即外接球半径R＝，所以所求外接球的表面积为4πR2＝12π.

解法二　将三视图还原为直观图如图中四棱锥P－ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD＝a，连接AC，由题意得BC⊥PB，DC⊥PD，PA⊥AC，取PC的中点O，连接OA、OB、OD，可得OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝PC，所以O为球心．由直线EF被球面所截得的线段长为2得，AC＝a＝2，a＝2，即4R2＝PC2＝PA2＋AC2＝a2＋2a2＝3a2＝12，所以所求外接球的表面积为4πR2＝12π.

答案：12π

三、解答题

10．(2017·浙江杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．

解析：由已知得：CE＝2，DE＝2，CB＝5，

S表面＝S圆台侧＋S圆台下底＋S圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×2＝(60＋4)π，

V＝V圆台－V圆锥＝(π·22＋π·52＋)×4－π×22×2＝π.

11．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，求圆锥的体积．

解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径为r＝1，△ABC的边长为2，于是知圆锥的底面半径为，高为3.

故所求体积为V＝×π×3×3＝3π.

12．如图所示，从三棱锥P－ABC的顶点P沿着三条侧棱PA，PB，PC剪开成平面图形得到△P1P2P3，且P2P1＝P2P3.

(1)在三棱锥P－ABC中，求证：PA⊥BC；

(2)若P1P2＝26，P1P3＝20，求三棱锥P－ABC的体积．

解析：(1)证明：由题设知A，B，C分别是P1P3，P1P2，P2P3的中点，

且P2P1＝P2P3，从而PB＝PC，AB＝AC，

取BC的中点D，连接AD，PD(图略)，则AD⊥BC，PD⊥BC.

又AD∩PD＝D，∴BC⊥平面PAD.

又PA⊂平面PAD，故PA⊥BC.

(2)由题设有AB＝AC＝P1P2＝13，

PA＝P1A＝BC＝10，

PB＝PC＝P1B＝13，

∴AD＝PD＝＝12.

在等腰三角形DPA中，

底边PA上的高h＝＝，

∴S△DPA＝PA·h＝5.

又BC⊥平面PAD，

∴VP－ABC＝VB－PDA＋VC－PDA

＝BD·S△DPA＋DC·S△PDA

＝BC·S△PDA＝×10×5

＝.