课时作业(五十三) 最值、范围、证明问题

课时作业(五十三)　最值、范围、证明问题

1．(2015·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．

(1)求实数m的取值范围；

(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．

解析：(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.

由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.

因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①

将线段AB中点M，代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②

由①②得m＜－或m＞.

(2)令t＝∈∪，则

|AB|＝·，

且O到直线AB的距离d＝.

设△AOB的面积为S(t)，所以

S(t)＝|AB|·d＝ ≤，

当且仅当t2＝时，等号成立．

故△AOB面积的最大值为.

2．已知定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

(2)设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且|AC|＝|CB|，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程．

解析：(1)易知点F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，∴圆N内切于圆M，又圆M的半径为4，

∴|NM|＋|NF|＝4，又|FM|＝2＜4，

∴点N的轨迹E为椭圆，且2a＝4，c＝，所以b＝1，所以轨迹E的方程为＋y2＝1.

(2)(ⅰ)当AB为椭圆E的长轴(或短轴)时，依题意知，点C可为椭圆的上、下顶点(或左、右顶点)，此时S△ABC＝×|OC|×|AB|＝2.

(ⅱ)当直线AB的斜率存在且不为0时，设其为k，则直线AB的方程为y＝kx，由解得x＝，y＝，

所以|OA|2＝x＋y＝.

由|AC|＝|CB|知，△ABC为等腰三角形，又O为AB的中点，

所以OC⊥AB，所以直线OC的方程为y＝－x，

由解得x＝，y＝，

∴|OC|2＝，

∴S△ABC＝2S△OAC＝|OA|×|OC|＝·＝，

由于≤＝，

所以S△ABC≥，当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，此时△ABC面积取最小值，是.

因为2＞，所以△ABC面积的最小值为，

此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

3．(2016·江苏，22,10分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；

②求p的取值范围．

解析：(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为，

由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，

即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.

(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．

因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.

①由消去x得y2＋2py－2pb＝0.(*)

因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1≠y2，从而Δ＝(2p)2－4×(－2pb)>0，化简得p＋2b>0.

方程(*)的两根为y1,2＝－p±，

从而y0＝＝－p.

因为M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝2－p.

因此，线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．

②因为M(2－p，－p)在直线y＝－x＋b上，

所以－p＝－(2－p)＋b，即b＝2－2p.

由①知p＋2b>0，于是p＋2(2－2p)>0，所以p<.

因此，p的取值范围是.

4．(2016·山东，21,14分)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

(ⅰ)求证：点M在定直线上；

(ⅱ)直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S1，△PDM的面积为S2，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

解析：(1)由题意知＝，可得a2＝4b2.

因为抛物线E的焦点为F的坐标为，

所以b＝，所以a＝1.

所以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1.

(2)(ⅰ)设P(m＞0)．

由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m.

因此直线l的方程为y－＝m(x－m)，即y＝mx－.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，

联立

得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0.

由Δ＞0，得0＜m＜(或0＜m2＜2＋)，(*)

且得x1＋x2＝，因此x0＝.

将其代入y＝mx－，得y0＝.

因为＝－，

所以直线OD的方程为y＝－x.

联立

得点M的纵坐标yM＝－，

所以点M在定直线y＝－上．

(ⅱ)由(ⅰ)知直线l的方程为y＝mx－.

令x＝0，得y＝－，

所以G.

又P，F，D，

所以S1＝·|GF|·m＝，

S2＝·|PM|·|m－x0|＝××

＝.

所以＝.

设t＝2m2＋1.

则＝＝＝－＋＋2.

当＝，即t＝2时，取到最大值，

此时m＝，满足(*)式，所以P点坐标为.

因此的最大值为，此时点P的坐标为.