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2021高考物理鲁科版一轮复习教师用书：第二章第2节 力的合成与分解
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第2节 力的合成与分解
一、共点力
定义:如果几个力同时作用在物体上的同一点,或它们的作用线相交于同一点.如图.
二、合力与分力
1.定义:几个共点力共同作用产生的效果可以用一个力来代替,这一个力就叫做那几个力的合力,原来的几个力叫做分力.
2.关系:合力和分力是等效替代的关系.
知
识
解
读
一个成年人用的力F与两个孩子用的力F1和F2效果相同,力F称为合力,F1和F2称为分力.合力与分力是等效替代关系.
三、力的合成
1.定义:求几个力的合力的过程.
2.运算法则:平行四边形定则或三角形定则.
自
主
探
究
如图所示,分析两个分力F1,F2与合力F合的关系.
(1)如图(甲),若F1,F2间夹角逐渐变大,其合力F大小如何变化?
(2)如图(乙),在矢量三角形中分力F1,F2与合力F的位置关系如何描述?
答案:(1)合力F逐渐变小;
(2)分力F1,F2的有向线段首尾顺次连接,合力F由F1的首端指向F2的尾端.
四、力的分解
1.概念:求一个已知力的分力的过程.
2.遵循原则:平行四边形定则或三角形定则.
3.分解方法
(1)按力产生的效果分解.
(2)正交分解.
将结点O处所受OC段绳子拉力FC和OB段绳子拉力FB分别按力的效果分解和正交分解如图所示.
五、矢量和标量
矢量
标量
定义
既有大小又有方向的物理量
只有大小没有方向的物理量
运算
法则
遵从平行四边形定则(或三角形定则)
算术法则
举例
位移、速度、加速度、力等
路程、速率、功、动能等
1.思考判断
(1)合力与原来那几个力同时作用在物体上.( × )
(2)对力分解时必须按作用效果分解.( × )
(3)两个分力大小一定,夹角越大,合力越大.( × )
(4)合力的作用可以替代原来那几个力的作用.( √ )
(5)合力一定时,两等大分力间的夹角越大,两分力越大.( √ )
(6)合力一定比分力大.( × )
2.如图所示,三个大小相等的力F,作用于同一点O,则合力最小的是( C )
解析:根据力的合成满足平行四边形定则,由几何关系可知,只有C选项的合力为零,其余三项的合力均不等于零,故C项的合力最小.
3.同一物体在下列几组共点力作用下可能处于静止状态的是( A )
A.3 N,4 N,5 N
B.3 N,5 N,9 N
C.4 N,6 N,11 N
D.5 N,6 N,12 N
解析:处于静止状态的物体所受到的合力为零,根据两个共点力的合力范围可知,3 N,4 N的合力范围是1 N≤F合≤7 N,5 N在此范围内,三力的合力可以为零,故A正确;3 N,5 N的合力范围是2 N≤F合≤8 N,9 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故B错误;4 N,6 N的合力范围是2 N≤F合≤10 N,11 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故C错误;5 N,6 N的合力范围是1 N≤F合≤11 N,12 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故D错误.
4.
如图所示,放在水平面上的物体受到一个斜向上的拉力作用,但物体仍保持静止状态,现将F分解为水平方向的力F1和竖直向上的力F2,下列说法正确的是( C )
A.F1是物体对水平面的摩擦力
B.F2是水平面对物体的支持力
C.F1与水平面给物体的静摩擦力大小相等、方向相反
D.F2与物体的重力大小相等、方向相反
解析:F1是F的水平分力,不是物体对水平面的摩擦力,故A错误;F2是F的竖直分力,不是水平面对物体的支持力,故B错误;物体保持静止状态,一定受到水平向左的静摩擦力,与F1是一对平衡力,故C正确;物体受摩擦力,地面的支持力一定不为零,重力大于F2,故D错误.
考点一 力的合成
1.两个共点力的合成
|F1-F2|≤F合≤F1+F2,即两个力大小不变时,其合力随夹角的增大而减小.当两力反向时,合力最小;当两力同向时,合力最大.
2.三个共点力的合成
(1)最大值:三个力共线且同向时,其合力最大,为F1+F2+F3.
(2)最小值:任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围以内,则三个力的合力的最小值为零;如果第三个力不在这个范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和.
3.力的合成的几种特殊情况
图示
合力的计算
两力相
互垂直
F=,
tan θ=
两力等
大,夹角
为θ
F′=2Fcos ,
F′与每一个分力的
夹角为
两力等
大,夹角
为120°
F′=2Fcos =F,
即合力与分力等大
4.共点力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1,F2的夹角为θ,如图所示,合力的大小可由余弦定理得到,F=,tan α=.
5.多个共点力的合成方法
依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止.
[例1] 2019现代汽车射箭世界杯赛陆家嘴金融城上海站,5月 6日在浦东陆家嘴金融城再次开弓,这是上海浦东连续第11年举办这一赛事.如图(甲)所示,射箭时,释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为 120 N,其弓弦的拉力如图(乙)中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图中F所示,则弓弦的夹角α应为(cos 53°=0.6)( D )
A.53° B.127° C.143° D.106°
解析:
弓弦拉力的合成如图所示,由于F1=F2,由几何知识得F合=2F1cos ,cos ==0.6,=53°,即α=106°,故D正确.
利用平行四边形定则进行力的合成,求解问题时,一般把两个分力和合力放在一个直角三角形(平行四边形的一半)中,再利用三角形知识分析求解.
1.
(合力与分力的大小关系)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,如图所示,已知两人手臂上的拉力大小相等且为F,两人手臂间的夹角为θ,水和水桶的总重力为G,则下列说法中正确的是( AC )
A.当θ为120°时,F=G
B.不管θ为何值,F=
C.当θ=0°时,F=
D.θ越大,F越小
解析:由力的合成可知,两分力与合力大小相等时,θ=120°,F合=F分=G;θ=0°,F分=F合=,故A,C正确,B错误.在合力一定时,θ越大,分力越大,故D错误.
2.
(力的合成)(多选)如图所示,用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θ,则AO绳的拉力FA,OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为( AC )
A.FA=Gtan θ B.FA=
C.FB= D.FB=Gcos θ
解析:
结点O受到三个力作用FA,FB,FC,如图所示,其中FA,FB的合力与FC等大反向,即F合=FC=G,则=tan θ,=cos θ,解得FA=Gtan θ,FB=,故A,C正确.
考点二 力的分解
1.力的分解常用的方法
正交分解法
效果分解法
分解
方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例
分析
x轴方向上的分力
Fx=Fcos θ
y轴方向上的分力
Fy=Fsin θ
F1=
F2=Gtan θ
2.力的分解中的几种常见情况
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的方向(两个分力不共线)
续表
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的大小
当F1±F2=F或F1=F2时有唯一解;当F1≠F2时,在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向
在0<θ<90°时有三种情况:
①当F1=Fsin θ或F1≥F时,有一组解;
②当F1
[例2]
如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物.在绳上距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量比为( C )
A. B.2 C. D.
审题指导:
解析:法一
力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa,Fb,如图(甲)所示,
其中Fb=m1g,由几何关系可得cos θ==,又由几何关系得cos θ=,联立解得=.
法二
正交分解法
绳圈受到Fa,Fb,F三个力作用,如图(乙)所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1gcos θ=m2g;由几何关系得cos θ=,联立解得=.
高中阶段常见分解力的情形
实例
分解思路
拉力F可分解为水平分力F1=Fcos α和竖直分力F2=Fsin α
重力分解为沿斜面向下的力F1=mgsin α和垂直斜面向下的力F2=mgcos α
重力分解为使球压紧挡板的分力F1=mgtan α和使球压紧斜面的分力F2=
重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1=mgtan α和使球拉紧悬线的分力F2=
实例
分解思路
小球重力分解为使物体拉紧AO线的分力F1和使物体拉紧BO线的分力F2,F1=F2=
1.
(效果分解法)有一直角V形槽固定在水平面上,其截面如图所示,BC面与水平面间夹角为60°,有一质量为m的正方体均匀木块放在槽内,木块与BC面间的动摩擦因数为μ,与AB面间无摩擦.现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动,则木块受的摩擦力为( A )
A.μmg B.μmg C.μmg D.μmg
解析:
将重力按照实际作用效果正交分解,如图所示,
故F2=mgsin 30°=mg;
滑动摩擦力为f=μF2=μmg,
故A正确.
2.(正交分解法)(2019·湖北八市联考)如图所示,一物块置于水平地面上,当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时,物块做匀速直线运动;当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时,物块仍做匀速直线运动.若F1和F2的大小相等,则物块与地面之间的动摩擦因数为( B )
A.-1 B.2- C.- D.1-
解析:
当用F1拉物块做匀速直线运动时,受力分析如图(甲)所示,将F1正交分解,则
水平方向有F1cos 60°=f1
竖直方向有F1sin 60°+N1=mg
其中f1=μN1
联立各式可得F1=;
同理,当用F2推物块做匀速直线运动时,受力分析如图(乙)所示,
水平方向有F2cos 30°=f2
竖直方向有F2sin 30°+mg=N2
其中f2=μN2
联立各式可得F2=
根据题意知F1=F2,解得μ=2-,B正确.
考点三 “死结”与“活结”“动杆”与“定杆”模型
“活结”和“死结”“动杆”和“定杆”模型——模型建构能力的培养
1.“活结”和“死结”的比较
“死结”模型
“活结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点.“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点.“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的.绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线
2.“动杆”和“定杆”的比较
“动杆”模型
“定杆”模型
对于一端有转轴或有铰链的轻杆,其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向
一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面),其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向,力的方向只能根据具体情况进行受力分析.根据平衡条件或牛顿第二定律确定杆中的弹力的大小和方向
[例3] 如图(甲)所示,轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体,∠ACB=30°;图(乙)中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上,另一端P通过轻绳EP拉住,EP与水平方向也成30°,轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体.g取 10 m/s2,求:
(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EP的张力FEP之比;
(2)横梁BC对C端的支持力;
(3)轻杆HP对P端的支持力.
审题指导:(1)图(甲)中杆为“定杆”,所受力不一定沿杆;图(乙)中的杆是“动杆”,所受力一定沿杆.
(2)图(甲)中结为“活结”,绳上的力是相等;图(乙)中的结是“死结”,绳上的力不相等.
解析:分别对C点和P点受力分析如图所示.
(1)图(甲)中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体,物体处于平衡状态,
绳AC段的拉力FAC=FCD=M1g
图(乙)中由FEPsin 30°=FPQ=M2g得FEP=2M2g
所以得==.
(2)图(甲)中,根据几何关系得
FC=FAC=M1g=100 N,
方向和水平方向成30°角斜向右上方.
(3)图(乙)中,根据平衡方程有FEPsin 30°=M2g
FEPcos 30°=FP
所以FP==M2g≈173 N,方向水平向右.
答案:(1)1∶2 (2)100 N,方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N,方向水平向右
1.
(“动杆”模型)某压榨机的结构示意图如图所示,其中B为固定铰链,若在A铰链处作用一垂直于壁的力F,则由于力F的作用,使滑块C压紧物体D,设C与D光滑接触,杆的重力及滑块C的重力不计,图中a=0.5 m,b=0.05 m,则物体D所受压力的大小与力F的比值为( B )
A.4 B.5 C.10 D.1
解析:
按力F的作用效果沿AC,AB杆方向分解为图(甲)所示的F1,F2,则F1=F2=,由几何知识得tan θ==10,再按F1的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下正交分解为图(乙)所示的F3,F4,则F4=F1sin θ,联立得F4=5F,即物体D所受压力大小与力F的比值为5,B正确.
2.
(“活结”模型)如图,两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上:一细线穿过两轻环,其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时,a,b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为( C )
A. B.m C.m D.2m
解析:
如图所示,由于不计摩擦,线上张力处处相等,且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心.由于a,b间距等于圆弧半径,则∠aOb=60°,进一步分析知,细线与aO,bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究,悬挂小物块的细线张角为120°,由平衡条件知,小物块的质量与小球的质量相等,即为m.故选项C正确.
1.
(2018·天津卷,7)(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可.一游僧见之曰:无烦也,我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则( BC )
A.若F一定,θ大时FN大 B.若F一定,θ小时FN大
C.若θ一定,F大时FN大 D.若θ一定,F小时FN大
解析:
根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的推力FN,如图所示.根据几何关系有=sin,则FN=,当F一定时,θ越小,FN越大;当θ一定时,F越大,FN越大,故B,C正确,A,D错误.
2.(2017·天津卷,8)(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M,N上的a,b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( AB )
A.绳的右端上移到b′,绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
解析:设两段绳子间的夹角为2α,由平衡条件可知,2Fcos α=mg,所以F=,设绳子总长为L,两杆间距离为s,由几何关系L1sin α+L2sin α=s,得sin α==,绳子右端上移,L,s都不变,α不变,绳子张力F也不变,A正确;杆N向右移动一些,s变大,α变大,cos α变小,F变大,B正确;绳子两端高度差变化,不影响s和L,所以F不变,C错误;衣服质量增加,绳子上的拉力增加,由于α不会变化,悬挂点不会右移,D错误.
3.(2019·湖南衡阳二模)超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示,在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出),工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部,同时,小铁珠陷于钉柱上的凹槽里,锁死防盗扣.当用强磁场吸引防盗扣的顶部时,铁环和小铁珠向上移动,防盗扣松开,已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°,弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F,小铁珠锁死防盗扣,每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力)( C )
A.F B.F C.F D.F
解析:
以一个铁珠为研究对象,将力F按照作用效果进行分解如图所示,根据几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力为N==F,故C正确,A,B,D错误.
4.(2016·全国Ⅰ卷,19)(多选)
如图,一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点,另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态.若F方向不变.大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则( BD )
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析:由于力F改变时物块b始终保持静止,而连接a,b的绳的张力不变,大小等于物块a的重力,滑轮两侧绳的夹角不变,则绳OO′的张力不变;F方向不变,大小变化时,力F在竖直和水平两方向的分力改变,由平衡条件可知,桌面对物块b的支持力和摩擦力在一定范围内变化,选项B,D正确.
第2节 力的合成与分解
一、共点力
定义:如果几个力同时作用在物体上的同一点,或它们的作用线相交于同一点.如图.
二、合力与分力
1.定义:几个共点力共同作用产生的效果可以用一个力来代替,这一个力就叫做那几个力的合力,原来的几个力叫做分力.
2.关系:合力和分力是等效替代的关系.
知
识
解
读
一个成年人用的力F与两个孩子用的力F1和F2效果相同,力F称为合力,F1和F2称为分力.合力与分力是等效替代关系.
三、力的合成
1.定义:求几个力的合力的过程.
2.运算法则:平行四边形定则或三角形定则.
自
主
探
究
如图所示,分析两个分力F1,F2与合力F合的关系.
(1)如图(甲),若F1,F2间夹角逐渐变大,其合力F大小如何变化?
(2)如图(乙),在矢量三角形中分力F1,F2与合力F的位置关系如何描述?
答案:(1)合力F逐渐变小;
(2)分力F1,F2的有向线段首尾顺次连接,合力F由F1的首端指向F2的尾端.
四、力的分解
1.概念:求一个已知力的分力的过程.
2.遵循原则:平行四边形定则或三角形定则.
3.分解方法
(1)按力产生的效果分解.
(2)正交分解.
将结点O处所受OC段绳子拉力FC和OB段绳子拉力FB分别按力的效果分解和正交分解如图所示.
五、矢量和标量
矢量
标量
定义
既有大小又有方向的物理量
只有大小没有方向的物理量
运算
法则
遵从平行四边形定则(或三角形定则)
算术法则
举例
位移、速度、加速度、力等
路程、速率、功、动能等
1.思考判断
(1)合力与原来那几个力同时作用在物体上.( × )
(2)对力分解时必须按作用效果分解.( × )
(3)两个分力大小一定,夹角越大,合力越大.( × )
(4)合力的作用可以替代原来那几个力的作用.( √ )
(5)合力一定时,两等大分力间的夹角越大,两分力越大.( √ )
(6)合力一定比分力大.( × )
2.如图所示,三个大小相等的力F,作用于同一点O,则合力最小的是( C )
解析:根据力的合成满足平行四边形定则,由几何关系可知,只有C选项的合力为零,其余三项的合力均不等于零,故C项的合力最小.
3.同一物体在下列几组共点力作用下可能处于静止状态的是( A )
A.3 N,4 N,5 N
B.3 N,5 N,9 N
C.4 N,6 N,11 N
D.5 N,6 N,12 N
解析:处于静止状态的物体所受到的合力为零,根据两个共点力的合力范围可知,3 N,4 N的合力范围是1 N≤F合≤7 N,5 N在此范围内,三力的合力可以为零,故A正确;3 N,5 N的合力范围是2 N≤F合≤8 N,9 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故B错误;4 N,6 N的合力范围是2 N≤F合≤10 N,11 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故C错误;5 N,6 N的合力范围是1 N≤F合≤11 N,12 N不在此范围内,三力的合力不可能为零,故D错误.
4.
如图所示,放在水平面上的物体受到一个斜向上的拉力作用,但物体仍保持静止状态,现将F分解为水平方向的力F1和竖直向上的力F2,下列说法正确的是( C )
A.F1是物体对水平面的摩擦力
B.F2是水平面对物体的支持力
C.F1与水平面给物体的静摩擦力大小相等、方向相反
D.F2与物体的重力大小相等、方向相反
解析:F1是F的水平分力,不是物体对水平面的摩擦力,故A错误;F2是F的竖直分力,不是水平面对物体的支持力,故B错误;物体保持静止状态,一定受到水平向左的静摩擦力,与F1是一对平衡力,故C正确;物体受摩擦力,地面的支持力一定不为零,重力大于F2,故D错误.
考点一 力的合成
1.两个共点力的合成
|F1-F2|≤F合≤F1+F2,即两个力大小不变时,其合力随夹角的增大而减小.当两力反向时,合力最小;当两力同向时,合力最大.
2.三个共点力的合成
(1)最大值:三个力共线且同向时,其合力最大,为F1+F2+F3.
(2)最小值:任取两个力,求出其合力的范围,如果第三个力在这个范围以内,则三个力的合力的最小值为零;如果第三个力不在这个范围内,则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和.
3.力的合成的几种特殊情况
图示
合力的计算
两力相
互垂直
F=,
tan θ=
两力等
大,夹角
为θ
F′=2Fcos ,
F′与每一个分力的
夹角为
两力等
大,夹角
为120°
F′=2Fcos =F,
即合力与分力等大
4.共点力合成的方法
(1)作图法
(2)计算法
若两个力F1,F2的夹角为θ,如图所示,合力的大小可由余弦定理得到,F=,tan α=.
5.多个共点力的合成方法
依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力,再求这个合力与第三个力的合力,依次类推,求完为止.
[例1] 2019现代汽车射箭世界杯赛陆家嘴金融城上海站,5月 6日在浦东陆家嘴金融城再次开弓,这是上海浦东连续第11年举办这一赛事.如图(甲)所示,射箭时,释放的瞬间若弓弦的拉力为100 N,对箭产生的作用力为 120 N,其弓弦的拉力如图(乙)中F1和F2所示,对箭产生的作用力如图中F所示,则弓弦的夹角α应为(cos 53°=0.6)( D )
A.53° B.127° C.143° D.106°
解析:
弓弦拉力的合成如图所示,由于F1=F2,由几何知识得F合=2F1cos ,cos ==0.6,=53°,即α=106°,故D正确.
利用平行四边形定则进行力的合成,求解问题时,一般把两个分力和合力放在一个直角三角形(平行四边形的一半)中,再利用三角形知识分析求解.
1.
(合力与分力的大小关系)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行,如图所示,已知两人手臂上的拉力大小相等且为F,两人手臂间的夹角为θ,水和水桶的总重力为G,则下列说法中正确的是( AC )
A.当θ为120°时,F=G
B.不管θ为何值,F=
C.当θ=0°时,F=
D.θ越大,F越小
解析:由力的合成可知,两分力与合力大小相等时,θ=120°,F合=F分=G;θ=0°,F分=F合=,故A,C正确,B错误.在合力一定时,θ越大,分力越大,故D错误.
2.
(力的合成)(多选)如图所示,用轻绳AO和OB将重为G的重物悬挂在水平天花板和竖直墙壁之间处于静止状态,AO绳水平,OB绳与竖直方向的夹角为θ,则AO绳的拉力FA,OB绳的拉力FB的大小与G之间的关系为( AC )
A.FA=Gtan θ B.FA=
C.FB= D.FB=Gcos θ
解析:
结点O受到三个力作用FA,FB,FC,如图所示,其中FA,FB的合力与FC等大反向,即F合=FC=G,则=tan θ,=cos θ,解得FA=Gtan θ,FB=,故A,C正确.
考点二 力的分解
1.力的分解常用的方法
正交分解法
效果分解法
分解
方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例
分析
x轴方向上的分力
Fx=Fcos θ
y轴方向上的分力
Fy=Fsin θ
F1=
F2=Gtan θ
2.力的分解中的几种常见情况
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的方向(两个分力不共线)
续表
已知条件
示意图
解的情况
已知合力与两个分力的大小
当F1±F2=F或F1=F2时有唯一解;当F1≠F2时,在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解)
已知合力与一个分力的大小和方向
已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向
在0<θ<90°时有三种情况:
①当F1=Fsin θ或F1≥F时,有一组解;
②当F1
[例2]
如图所示,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为l.一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物.在绳上距a端的c点有一固定绳圈.若绳圈上悬挂质量为m2的钩码,平衡后绳的ac段正好水平,则重物和钩码的质量比为( C )
A. B.2 C. D.
审题指导:
解析:法一
力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g,将F沿ac和bc方向分解,两个分力分别为Fa,Fb,如图(甲)所示,
其中Fb=m1g,由几何关系可得cos θ==,又由几何关系得cos θ=,联立解得=.
法二
正交分解法
绳圈受到Fa,Fb,F三个力作用,如图(乙)所示,将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解,由竖直方向受力平衡得m1gcos θ=m2g;由几何关系得cos θ=,联立解得=.
高中阶段常见分解力的情形
实例
分解思路
拉力F可分解为水平分力F1=Fcos α和竖直分力F2=Fsin α
重力分解为沿斜面向下的力F1=mgsin α和垂直斜面向下的力F2=mgcos α
重力分解为使球压紧挡板的分力F1=mgtan α和使球压紧斜面的分力F2=
重力分解为使球压紧竖直墙壁的分力F1=mgtan α和使球拉紧悬线的分力F2=
实例
分解思路
小球重力分解为使物体拉紧AO线的分力F1和使物体拉紧BO线的分力F2,F1=F2=
1.
(效果分解法)有一直角V形槽固定在水平面上,其截面如图所示,BC面与水平面间夹角为60°,有一质量为m的正方体均匀木块放在槽内,木块与BC面间的动摩擦因数为μ,与AB面间无摩擦.现用垂直于纸面向里的力推木块使之沿槽运动,则木块受的摩擦力为( A )
A.μmg B.μmg C.μmg D.μmg
解析:
将重力按照实际作用效果正交分解,如图所示,
故F2=mgsin 30°=mg;
滑动摩擦力为f=μF2=μmg,
故A正确.
2.(正交分解法)(2019·湖北八市联考)如图所示,一物块置于水平地面上,当用与水平方向成60°角的力F1拉物块时,物块做匀速直线运动;当改用与水平方向成30°角的力F2推物块时,物块仍做匀速直线运动.若F1和F2的大小相等,则物块与地面之间的动摩擦因数为( B )
A.-1 B.2- C.- D.1-
解析:
当用F1拉物块做匀速直线运动时,受力分析如图(甲)所示,将F1正交分解,则
水平方向有F1cos 60°=f1
竖直方向有F1sin 60°+N1=mg
其中f1=μN1
联立各式可得F1=;
同理,当用F2推物块做匀速直线运动时,受力分析如图(乙)所示,
水平方向有F2cos 30°=f2
竖直方向有F2sin 30°+mg=N2
其中f2=μN2
联立各式可得F2=
根据题意知F1=F2,解得μ=2-,B正确.
考点三 “死结”与“活结”“动杆”与“定杆”模型
“活结”和“死结”“动杆”和“定杆”模型——模型建构能力的培养
1.“活结”和“死结”的比较
“死结”模型
“活结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段,且不可以沿绳子移动的结点.“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳,因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
“活结”可理解为把绳子分成两段,且可以沿绳子移动的结点.“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的.绳子虽然因“活结”而弯曲,但实际上是同一根绳,所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等,两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线
2.“动杆”和“定杆”的比较
“动杆”模型
“定杆”模型
对于一端有转轴或有铰链的轻杆,其提供的弹力方向一定是沿着轻杆的方向
一端固定的轻杆(如一端“插入”墙壁或固定于地面),其提供的弹力不一定沿着轻杆的方向,力的方向只能根据具体情况进行受力分析.根据平衡条件或牛顿第二定律确定杆中的弹力的大小和方向
[例3] 如图(甲)所示,轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体,∠ACB=30°;图(乙)中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上,另一端P通过轻绳EP拉住,EP与水平方向也成30°,轻杆的P点用轻绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体.g取 10 m/s2,求:
(1)轻绳AC段的张力FAC与轻绳EP的张力FEP之比;
(2)横梁BC对C端的支持力;
(3)轻杆HP对P端的支持力.
审题指导:(1)图(甲)中杆为“定杆”,所受力不一定沿杆;图(乙)中的杆是“动杆”,所受力一定沿杆.
(2)图(甲)中结为“活结”,绳上的力是相等;图(乙)中的结是“死结”,绳上的力不相等.
解析:分别对C点和P点受力分析如图所示.
(1)图(甲)中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体,物体处于平衡状态,
绳AC段的拉力FAC=FCD=M1g
图(乙)中由FEPsin 30°=FPQ=M2g得FEP=2M2g
所以得==.
(2)图(甲)中,根据几何关系得
FC=FAC=M1g=100 N,
方向和水平方向成30°角斜向右上方.
(3)图(乙)中,根据平衡方程有FEPsin 30°=M2g
FEPcos 30°=FP
所以FP==M2g≈173 N,方向水平向右.
答案:(1)1∶2 (2)100 N,方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N,方向水平向右
1.
(“动杆”模型)某压榨机的结构示意图如图所示,其中B为固定铰链,若在A铰链处作用一垂直于壁的力F,则由于力F的作用,使滑块C压紧物体D,设C与D光滑接触,杆的重力及滑块C的重力不计,图中a=0.5 m,b=0.05 m,则物体D所受压力的大小与力F的比值为( B )
A.4 B.5 C.10 D.1
解析:
按力F的作用效果沿AC,AB杆方向分解为图(甲)所示的F1,F2,则F1=F2=,由几何知识得tan θ==10,再按F1的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下正交分解为图(乙)所示的F3,F4,则F4=F1sin θ,联立得F4=5F,即物体D所受压力大小与力F的比值为5,B正确.
2.
(“活结”模型)如图,两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上:一细线穿过两轻环,其两端各系一质量为m的小球.在a和b之间的细线上悬挂一小物块.平衡时,a,b间的距离恰好等于圆弧的半径.不计所有摩擦.小物块的质量为( C )
A. B.m C.m D.2m
解析:
如图所示,由于不计摩擦,线上张力处处相等,且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心.由于a,b间距等于圆弧半径,则∠aOb=60°,进一步分析知,细线与aO,bO间的夹角皆为30°.取悬挂的小物块研究,悬挂小物块的细线张角为120°,由平衡条件知,小物块的质量与小球的质量相等,即为m.故选项C正确.
1.
(2018·天津卷,7)(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载:“明姑苏虎丘寺塔倾侧,议欲正之,非万缗不可.一游僧见之曰:无烦也,我能正之.”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去,经月余扶正了塔身.假设所用的木楔为等腰三角形,木楔的顶角为θ,现在木楔背上加一力F,方向如图所示,木楔两侧产生推力FN,则( BC )
A.若F一定,θ大时FN大 B.若F一定,θ小时FN大
C.若θ一定,F大时FN大 D.若θ一定,F小时FN大
解析:
根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的推力FN,如图所示.根据几何关系有=sin,则FN=,当F一定时,θ越小,FN越大;当θ一定时,F越大,FN越大,故B,C正确,A,D错误.
2.(2017·天津卷,8)(多选)如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M,N上的a,b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态.如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( AB )
A.绳的右端上移到b′,绳子拉力不变
B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小
D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
解析:设两段绳子间的夹角为2α,由平衡条件可知,2Fcos α=mg,所以F=,设绳子总长为L,两杆间距离为s,由几何关系L1sin α+L2sin α=s,得sin α==,绳子右端上移,L,s都不变,α不变,绳子张力F也不变,A正确;杆N向右移动一些,s变大,α变大,cos α变小,F变大,B正确;绳子两端高度差变化,不影响s和L,所以F不变,C错误;衣服质量增加,绳子上的拉力增加,由于α不会变化,悬挂点不会右移,D错误.
3.(2019·湖南衡阳二模)超市里磁力防盗扣的内部结构及原理如图所示,在锥形金属筒内放置四颗小铁珠(其余两颗未画出),工作时弹簧通过铁环将小铁珠挤压于金属筒的底部,同时,小铁珠陷于钉柱上的凹槽里,锁死防盗扣.当用强磁场吸引防盗扣的顶部时,铁环和小铁珠向上移动,防盗扣松开,已知锥形金属筒底部的圆锥顶角刚好是90°,弹簧通过铁环施加给每个小铁珠竖直向下的力F,小铁珠锁死防盗扣,每个小铁珠对钉柱产生的侧向压力为(不计摩擦以及小铁珠的重力)( C )
A.F B.F C.F D.F
解析:
以一个铁珠为研究对象,将力F按照作用效果进行分解如图所示,根据几何关系可得小铁珠对钉柱产生的侧向压力为N==F,故C正确,A,B,D错误.
4.(2016·全国Ⅰ卷,19)(多选)
如图,一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点,另一细绳跨过滑轮,其一端悬挂物块a,另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b,整个系统处于静止状态.若F方向不变.大小在一定范围内变化,物块b仍始终保持静止,则( BD )
A.绳OO′的张力也在一定范围内变化
B.物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C.连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D.物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
解析:由于力F改变时物块b始终保持静止,而连接a,b的绳的张力不变,大小等于物块a的重力,滑轮两侧绳的夹角不变,则绳OO′的张力不变;F方向不变,大小变化时,力F在竖直和水平两方向的分力改变,由平衡条件可知,桌面对物块b的支持力和摩擦力在一定范围内变化,选项B,D正确.
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