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2021高考物理鲁科版一轮复习教师用书：第一章专题提升（一） 运动图象 追及相遇问题
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专题提升(一) 运动图象 追及相遇问题
分类研析·拓展提升
类型一 运动图象的理解与应用
1.对运动图象的认识,应注意以下两点
(1)无论s-t图象、v-t图象是直线还是曲线,所描述的运动情况都是直线运动,即s-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹.
(2)s-t图象、v-t图象的形状由s与t,v与t的函数关系决定,图象中各点的坐标值s,v与t一一对应.
2.运动图象应用的“六要素”
应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素:
要素
一般意义
s-t图象
v-t图象
轴
图象描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移
横轴—时间
纵轴—速度
横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
斜率
k=,定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积,也往往代表一个物理量,这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积表示物体运动的位移
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
在纵轴上的截距表示t=0时的位置
在纵轴上的截距表示t=0时的速度
角度1 s-t图象的理解与应用
[例1] (多选)平直公路上行驶的a车和b车,其位移—时间图象分别为图中直线a和曲线b,已知b车的加速度恒定且a=-2 m/s2,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切.下列说法正确的是( BD )
A.a车加速度的大小为2 m/s2
B.3 s内a车位移小于b车
C.1 s末b车速度反向
D.t=3 s时,a,b两车的速度相等并相遇
审题指导:解此题的关键是把握s-t图象的要素
解析:a车做匀速直线运动,其加速度的大小为0,选项A错误;根据位移—时间图象的斜率表示速度,可知1 s末b车速度仍是正值,选项C错误;根据位移—时间图象的斜率表示速度,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切,可知t=3 s时,a,b两车的速度相等并相遇,选项D正确;根据位移—时间图象的斜率表示速度,可知t=3 s时b车的速度vb=2 m/s,由vb=v0+at可得,v0=8 m/s,3 s内,a车从s=2 m运动到s=8 m,位移为6 m,b车位移sb=v0t+at2=8×3 m+×(-2)×32 m=15 m,所以3 s内a车位移小于b车位移,选项B正确.
角度2 v-t图象的理解与应用
[例2]
(2019·山东青岛调研)甲、乙两质点同时沿同一直线运动,速度随时间变化的v-t图象如图所示.关于两质点的运动情况,下列说法正确的是( B )
A.在t=0时,甲、乙的运动方向相同
B.在0~2t0内,甲的位移大于乙的位移
C.在0~2t0内,乙的平均速度等于甲的平均速度
D.若甲、乙从同一位置出发,则t0时刻相距最近
解析:在t=0时,甲的速度为正,乙的速度为负,说明甲、乙的运动方向相反,故A错误;根据图象与坐标轴围成的面积表示位移,在时间轴上方的面积表示位移为正,下方的表示位移为负,则知在0~2t0内,乙的位移小于甲的位移,则乙的平均速度小于甲的平均速度,故B正确,C错误;若甲、乙从同一位置出发,甲一直沿正向运动,乙先沿负向运动,两者距离增大,后沿正向,在t0时刻前甲的速度大于乙的速度,两者间距增大,t0时刻后乙的速度大于甲的速度,两者间距减小,所以t0时刻相距最远,故D错误.
误区警示
v-t图象问题的易错点
(1)错误理解交点的意义.两条v-t图象的交点不一定表示两质点相遇,两条v-t图线不相交,并不表示两质点位置不同.
(2)错误理解图线斜率的意义.v-t图线的斜率为正,质点不一定做加速运动;v-t图线的斜率为负,质点不一定做减速运动;速度与加速度同正或同负时质点做加速运动,速度与加速度一正一负时质点做减速运动.
(3)v-t图象中图线拐点是加速度变化点,与横轴的交点为速度方向变化点.
题组训练
1.
(多物体的s-t图象)(2019·四川资阳一诊)如图所示,a,b,c三个物体在同一条直线上运动,其s-t图象中,图线c是一条s=0.4t2的抛物线.有关这三个物体在0~5 s内的运动,下列说法正确的是( C )
A.a物体做匀加速直线运动
B.c物体做加速度增大的加速直线运动
C.t=5 s时,a物体与c物体相距10 m
D.a,b两物体都做匀速直线运动,且速度相同
解析:根据位移—时间图象的斜率表示速度可知,a,b两物体做匀速直线运动,速度大小相等,方向相反,选项A,D错误;根据题述图线c是一条s=0.4t2的抛物线,对照匀变速直线运动的位移公式可知,c物体做加速度恒定的匀加速直线运动,选项B错误;t=5 s时,a物体运动到s=20 m处,c物体运动到s=10 m处,即t=5 s时,a物体与c物体相距10 m,选项C正确.
2.
(多物体的v-t图象)(2019·湖北黄冈调研)甲、乙两车在平直的公路上向相同的方向行驶,两车的速度v随时间t的变化关系如图所示,其中阴影部分面积分别为S1,S2,下列说法正确的是( D )
A.若S1=S2,则甲、乙两车一定在t2时刻相遇
B.若S1>S2,则甲、乙两车在0~t2时间内不会相遇
C.在t1时刻,甲、乙两车加速度相等
D.0~t2时间内,甲车的平均速度<
解析:由于题述没有明确甲、乙两车在平直的公路上从同一地点同时向相同的方向行驶,所以若S1=S2,则甲、乙两车不一定在t2时刻相遇,选项A错误;若S1>S2,甲、乙两车在平直的公路上从同一地点同时向相同的方向行驶,则甲、乙两车在0~t2时间内可能会相遇,选项B错误;在t1时刻,甲、乙两车速度相等,甲车加速度小于乙车加速度,选项C错误;根据速度图象面积表示位移可知,0~t2时间内,甲车的位移s甲
1.追及、相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者
追及类型
图象描述
相关结论
匀加速
追匀速
设s0为开始时两物体间的距离,则应有下面结论:
①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大
②t=t0时,两物体相距最远,为s0+Δs
③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速
匀加速追
匀减速
(2)速度大者追速度小者
追及
类型
图象描述
相关结论
匀减速
追匀速
设s0为开始时两物体间的距离,开始追及时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δs=s0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
②若Δs
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
2.处理追及相遇问题的常用方法
(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇.
(3)图象法
①若用位移图象求解,分别作出两物体的位移图象,如果两物体的位移图象相交,则说明两物体相遇.
②若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
角度1 速度小者追速度大者
[例3] 在平直的公路上,一辆小汽车在路口等待交通灯,绿灯亮时一辆道路维护车在前方以v0=10 m/s的速度前进,小汽车立即以a1=2 m/s2的加速度启动时,两车相距s0=75 m.则:
(1)汽车启动后经过多长时间从道路维护车旁经过,相遇之前两车相距最远是多少?
(2)若汽车刚从道路维护车旁经过时,汽车立即以a2=4 m/s2的加速度刹车,问再经过多长时间两车第二次相遇?
审题指导:
题干关键
获取信息
道路维护车在前方,两车相距s0
小汽车比道路维护车多行驶s0才能追上它,即有
s汽=s0+s维
相遇前两车相距最远
在两车速度相等时刻,两车相距最远
小汽车立即以4 m/s2的加速度刹车
小汽车停止时,道路维护车可能在小汽车后边
解析:(1)设经t1时间小汽车从道路维护车旁经过,
由位移关系得v0t1+75 m=a1,
解得t1=15 s.
此时小汽车的速度v=a1t1=2×15 m/s=30 m/s.
当两车速度相等时,两车相距最远.
设时间为t2,由v0=a1t2,得t2=5 s.
设最远距离为s,则有
v0t2+75 m=a1+s,
解得s=100 m.
(2)由于小汽车停下来的时间
t==7.5 s,
位移s1=t=112.5 m,
设两车第二次相遇时间为t4,
满足v0t4=s1,解得t4=11.25 s.
答案:(1)15 s 100 m (2)11.25 s
角度2 速度大者追速度小者
[例4] 在平直道路上有两辆车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件.
审题指导:解此题关键有两点
(1)两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等.
(2)画出运动过程图示
解析:设两车运动速度相等时,所用时间为t,
由v0-2at=at得,t=
A车位移:sA=v0t-(2a)t2
B车位移:sB=at2
两车不相撞的条件:sB+s≥sA
即at2+s≥v0t-a
联立解得v0≤.
答案:v0≤
方法技巧
(1)解题思路和方法
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式.
②审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,它们往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件.
角度3 与运动图象结合的追及相遇问题
[例5] (2019·陕西西安联考)在高速公路上有甲、乙两车在同一车道上同向行驶,甲车在前,乙车在后,速度均为v0=108 km/h,距离s0=100 m,t=0时刻甲车遇紧急情况后,甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示(图1为甲,图2为乙),取运动方向为正方向.
(1)t=3 s时甲车速度是多少?此时甲、乙两车间距是多少?
(2)通过计算说明两车在0~9 s内会不会相撞.
(3)上一问中如果相撞,则求出相撞时间;如果不相撞,则求第9 s末两车的间距.
解析:(1)由图象可知,甲车在0~3 s内做匀减速直线运动,初速度v0=108 km/h=30 m/s,
则3 s末,甲车的速度
v=v0-at=30 m/s-10×3 m/s=0 m/s.
甲车的位移s1== m=45 m
乙车做匀速直线运动的位移s2=v0t=30×3 m=90 m,
则两车相距的距离Δs=s1+s0-s2=55 m.
(2)3 s后,甲车做初速度为零的匀加速直线运动,乙车做初速度为30 m/s的匀减速直线运动,且两车在第3 s时相距55 m.
当两车速度相等时a甲t′=v0+a乙t′
解得t′=3 s.
此时前面甲车的位移
s甲=a甲t′2=×5×32 m=22.5 m.
后面乙车的位移
s乙=v0t′+a乙t′2=30×3 m-×5×32 m=67.5 m.
因为s甲+Δs=77.5 m>s乙,故两车不会相撞.
(3)对乙车在3~9 s,=v0+a乙t=0,
可以得到乙车在9 s末的速度为零,
则3~9 s内,
乙车的位移s1′== m=90 m.
甲车的位移s2′=a甲t2=×5×62 m=90 m.
则两车在9 s时的间距Δs=s2′+55 m-s1′=55 m.
答案:(1)0 55 m (2)不会相撞 (3)55 m
规律总结
用运动图象解答追及和相遇问题的思路
1.(追及问题)在平直道路上,甲汽车以速度v匀速行驶.当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时,立即以大小为a1的加速度匀减速行驶,与此同时,乙车司机也发现了甲,立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动,则( D )
A.甲、乙两车之间的距离一定不断减小
B.甲、乙两车之间的距离一定不断增大
C.若v>,则两车一定不会相撞
D.若v<,则两车一定不会相撞
解析:甲车做减速运动,乙车做加速运动,两车速度相同时,距离最小,若此时没有相撞,以后就不可能相撞.两车速度相等时有v-a1t=a2t,解得t=,两车恰好不相撞时有vt-a1t2=d+a2t2,解得v=,所以v<,两车一定不会相撞.
2.
(追及相关的图象问题)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图象如图所示.已知两车在t=3 s时并排行驶,则( BD )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析:由题图知,甲车做初速度为0的匀加速直线运动,其加速度a甲=10 m/s2.乙车做初速度v0=10 m/s、加速度a乙=5 m/s2的匀加速直线运动.3 s内甲、乙车的位移分别为s甲=a甲=45 m,s乙=v0t3+a乙=52.5 m.由于t=3 s时两车并排行驶,说明t=0时甲车在乙车前,Δs=s乙-s甲=7.5 m,选项B正确;t=1 s时,甲车的位移为5 m,乙车的位移为12.5 m,由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m,则t=1 s时两车并排行驶,选项A,C错误;甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m-12.5 m=40 m,选项D正确.
3.(避免碰撞问题)(2019·河南郑州质检)现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶,甲车在前,乙车在后,它们行驶的速度均为10 m/s.当两车快要到一十字路口时,甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯,于是紧急刹车(反应时间忽略不计),乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车,但乙车司机反应较慢(反应时间为0.5 s).已知甲车紧急刹车时制动力为车重的0.4倍,乙车紧急刹车制动力为车重的0.5倍,(g取10 m/s2)求:
(1)若甲车司机看到黄灯时车头距停车线15 m,他采取上述措施能否避免闯红灯;
(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞,甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离.
解析:(1)甲车紧急刹车的加速度为
a1=0.4g=4 m/s2
甲车停下来所需时间t1==2.5 s
甲车滑行距离s==12.5 m
由于12.5 m<15 m,所以甲车能避免闯红灯.
(2)乙车紧急刹车的加速度大小为a2=0.5g=5 m/s2.
设甲、乙两车行驶过程中至少应保持距离x0,在乙车刹车t2时刻两车速度相等,
v0-a1(t2+t0)=v0-a2t2
解得t2=2.0 s
此过程中乙车的位移s2=v0t0+v0t2-a2=15 m
甲车的位移s1=v0(t0+t2)-a1(t0+t2)2=12.5 m
所以两车安全距离至少为s0=s2-s1=2.5 m.
答案:(1)见解析
(2)2.5 m
真题试做·模拟演练
1.(2014·福建卷,15)
如图,滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面,从顶端下滑,直至速度为零.对于该运动过程,若用h,s,v,a分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小,t表示时间,则下列图象最能正确描述这一运动规律的是( B )
解析:设斜面的倾角为θ,小滑块的受力如图所示.由牛顿运动定律得
mgsin θ-f=ma,知a恒定,D项错误;滑块做匀减速直线运动,s=v0t-at2,B项正确;h=ssin θ,ht图象与st图象一致,A项错误;由-=2as得vt=,C项错误.
2.(2018·全国Ⅱ卷,19)(多选)
甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是( BD )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后,乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
解析:v-t图象与坐标轴包围的面积表示位移,由图象知,t1~t2时间内,甲车的位移大于乙车的位移,由题意知两车在t2时刻并排行驶,故在t1时刻甲车在后,乙车在前,选项A错误,B正确;v-t图象的斜率大小表示加速度大小,由图象知,甲、乙两车的加速度均先减小后增大,选项C错误,D正确.
3.
(2019·安徽芜湖质检)甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动,它们运动的加速度随时间变化的a-t图象如图所示.关于甲、乙两车在0~20 s内的运动情况,下列说法正确的是( D )
A.在t=10 s时两车相遇
B.在t=20 s时两车相遇
C.在t=10 s时两车相距最近
D.在t=20 s时两车相距最远
解析:根据加速度—时间图象可知图线与时间轴所围成的面积表示速度,在t=20 s时,两图线与t轴所围成的面积相等,即该时刻两车的速度相等,在t=20 s前乙车的速度大于甲车的速度,所以乙车在甲车的前方,所以两车逐渐远离,在t=20 s时,两车的速度相等,即相距最远,由以上分析可知,在t=20 s时两车不可能相遇,只有D正确.
4.(2019·山东临沂期中)2019年5月26日,F1大奖赛摩纳哥站在蒙特卡洛赛道结束正赛的争夺.在某一场赛场直的赛道上有一辆F1赛车,前方187.5 m处有一辆服务车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车从静止出发以4 m/s2的加速度追赶,试求:
(1)赛车何时追上服务车;
(2)追上之前与服务车有最远距离,还是最近距离,是多少;
(3)当赛车刚追上服务车时,赛车手立即刹车,从赛车开始运动到赛车停止的时间内,两车能否第二次相遇,说明理由.
解析:(1)设经过时间t赛车能追上服务车,由位移关系可得at2=vt+187.5
代入数据解得t=12.5 s.
(2)当两车速度相等时,之间的距离最远,即v=at′,
代入数据解得t′=2.5 s
两者之间的最大位移为smax=v0t′+187.5-at′2
代入数据解得smax=200 m.
(3)从赛车开始刹车到赛车停止,这一过程中的平均速度为== m/s=25 m/s,显然大于服务车的速度10 m/s,故不可能第二次相遇.
答案:(1)12.5 s (2)最远距离,200 m
(3)不能,理由见解析
专题提升(一) 运动图象 追及相遇问题
分类研析·拓展提升
类型一 运动图象的理解与应用
1.对运动图象的认识,应注意以下两点
(1)无论s-t图象、v-t图象是直线还是曲线,所描述的运动情况都是直线运动,即s-t图象、v-t图象都不是物体运动的轨迹.
(2)s-t图象、v-t图象的形状由s与t,v与t的函数关系决定,图象中各点的坐标值s,v与t一一对应.
2.运动图象应用的“六要素”
应用图象解题时主要看图象中的“轴”“线”“斜率”“点”“面积”“截距”六要素:
要素
一般意义
s-t图象
v-t图象
轴
图象描述哪两个物理量之间的关系
纵轴—位移
横轴—时间
纵轴—速度
横轴—时间
线
表示物理量y随物理量x的变化过程和规律
运动物体的位移与时间的关系
运动物体的速度与时间的关系
斜率
k=,定性表示y随x变化的快慢
某点的斜率表示该点的瞬时速度
某点的斜率表示该点的加速度
点
两线交点表示对应纵、横坐标轴物理量相等
两线交点表示两物体相遇
两线交点表示两物体该时刻速度相同
面积
图线和时间轴所围的面积,也往往代表一个物理量,这要看两物理量的乘积有无意义
无意义
图线和时间轴所围的面积表示物体运动的位移
截距
图线在坐标轴上的截距一般表示物理过程的“初始”情况
在纵轴上的截距表示t=0时的位置
在纵轴上的截距表示t=0时的速度
角度1 s-t图象的理解与应用
[例1] (多选)平直公路上行驶的a车和b车,其位移—时间图象分别为图中直线a和曲线b,已知b车的加速度恒定且a=-2 m/s2,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切.下列说法正确的是( BD )
A.a车加速度的大小为2 m/s2
B.3 s内a车位移小于b车
C.1 s末b车速度反向
D.t=3 s时,a,b两车的速度相等并相遇
审题指导:解此题的关键是把握s-t图象的要素
解析:a车做匀速直线运动,其加速度的大小为0,选项A错误;根据位移—时间图象的斜率表示速度,可知1 s末b车速度仍是正值,选项C错误;根据位移—时间图象的斜率表示速度,t=3 s时,直线a和曲线b刚好相切,可知t=3 s时,a,b两车的速度相等并相遇,选项D正确;根据位移—时间图象的斜率表示速度,可知t=3 s时b车的速度vb=2 m/s,由vb=v0+at可得,v0=8 m/s,3 s内,a车从s=2 m运动到s=8 m,位移为6 m,b车位移sb=v0t+at2=8×3 m+×(-2)×32 m=15 m,所以3 s内a车位移小于b车位移,选项B正确.
角度2 v-t图象的理解与应用
[例2]
(2019·山东青岛调研)甲、乙两质点同时沿同一直线运动,速度随时间变化的v-t图象如图所示.关于两质点的运动情况,下列说法正确的是( B )
A.在t=0时,甲、乙的运动方向相同
B.在0~2t0内,甲的位移大于乙的位移
C.在0~2t0内,乙的平均速度等于甲的平均速度
D.若甲、乙从同一位置出发,则t0时刻相距最近
解析:在t=0时,甲的速度为正,乙的速度为负,说明甲、乙的运动方向相反,故A错误;根据图象与坐标轴围成的面积表示位移,在时间轴上方的面积表示位移为正,下方的表示位移为负,则知在0~2t0内,乙的位移小于甲的位移,则乙的平均速度小于甲的平均速度,故B正确,C错误;若甲、乙从同一位置出发,甲一直沿正向运动,乙先沿负向运动,两者距离增大,后沿正向,在t0时刻前甲的速度大于乙的速度,两者间距增大,t0时刻后乙的速度大于甲的速度,两者间距减小,所以t0时刻相距最远,故D错误.
误区警示
v-t图象问题的易错点
(1)错误理解交点的意义.两条v-t图象的交点不一定表示两质点相遇,两条v-t图线不相交,并不表示两质点位置不同.
(2)错误理解图线斜率的意义.v-t图线的斜率为正,质点不一定做加速运动;v-t图线的斜率为负,质点不一定做减速运动;速度与加速度同正或同负时质点做加速运动,速度与加速度一正一负时质点做减速运动.
(3)v-t图象中图线拐点是加速度变化点,与横轴的交点为速度方向变化点.
题组训练
1.
(多物体的s-t图象)(2019·四川资阳一诊)如图所示,a,b,c三个物体在同一条直线上运动,其s-t图象中,图线c是一条s=0.4t2的抛物线.有关这三个物体在0~5 s内的运动,下列说法正确的是( C )
A.a物体做匀加速直线运动
B.c物体做加速度增大的加速直线运动
C.t=5 s时,a物体与c物体相距10 m
D.a,b两物体都做匀速直线运动,且速度相同
解析:根据位移—时间图象的斜率表示速度可知,a,b两物体做匀速直线运动,速度大小相等,方向相反,选项A,D错误;根据题述图线c是一条s=0.4t2的抛物线,对照匀变速直线运动的位移公式可知,c物体做加速度恒定的匀加速直线运动,选项B错误;t=5 s时,a物体运动到s=20 m处,c物体运动到s=10 m处,即t=5 s时,a物体与c物体相距10 m,选项C正确.
2.
(多物体的v-t图象)(2019·湖北黄冈调研)甲、乙两车在平直的公路上向相同的方向行驶,两车的速度v随时间t的变化关系如图所示,其中阴影部分面积分别为S1,S2,下列说法正确的是( D )
A.若S1=S2,则甲、乙两车一定在t2时刻相遇
B.若S1>S2,则甲、乙两车在0~t2时间内不会相遇
C.在t1时刻,甲、乙两车加速度相等
D.0~t2时间内,甲车的平均速度<
解析:由于题述没有明确甲、乙两车在平直的公路上从同一地点同时向相同的方向行驶,所以若S1=S2,则甲、乙两车不一定在t2时刻相遇,选项A错误;若S1>S2,甲、乙两车在平直的公路上从同一地点同时向相同的方向行驶,则甲、乙两车在0~t2时间内可能会相遇,选项B错误;在t1时刻,甲、乙两车速度相等,甲车加速度小于乙车加速度,选项C错误;根据速度图象面积表示位移可知,0~t2时间内,甲车的位移s甲
1.追及、相遇问题常见情景
(1)速度小者追速度大者
追及类型
图象描述
相关结论
匀加速
追匀速
设s0为开始时两物体间的距离,则应有下面结论:
①t=t0以前,后面物体与前面物体间的距离增大
②t=t0时,两物体相距最远,为s0+Δs
③t=t0以后,后面物体与前面物体间的距离减小
④一定能追上且只能相遇一次
匀速追
匀减速
匀加速追
匀减速
(2)速度大者追速度小者
追及
类型
图象描述
相关结论
匀减速
追匀速
设s0为开始时两物体间的距离,开始追及时,后面物体与前面物体间的距离在减小,当两物体速度相等时,即t=t0时刻:
①若Δs=s0,则恰能追上,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
②若Δs
匀速追
匀加速
匀减速追
匀加速
2.处理追及相遇问题的常用方法
(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追不上则在两物体速度相等时有最小距离.
(2)函数法:设两物体在t时刻相遇,然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0无正实数解,则说明这两个物体不可能相遇;若方程f(t)=0存在正实数解,说明这两个物体能相遇.
(3)图象法
①若用位移图象求解,分别作出两物体的位移图象,如果两物体的位移图象相交,则说明两物体相遇.
②若用速度图象求解,则注意比较速度图线与时间轴包围的面积.
角度1 速度小者追速度大者
[例3] 在平直的公路上,一辆小汽车在路口等待交通灯,绿灯亮时一辆道路维护车在前方以v0=10 m/s的速度前进,小汽车立即以a1=2 m/s2的加速度启动时,两车相距s0=75 m.则:
(1)汽车启动后经过多长时间从道路维护车旁经过,相遇之前两车相距最远是多少?
(2)若汽车刚从道路维护车旁经过时,汽车立即以a2=4 m/s2的加速度刹车,问再经过多长时间两车第二次相遇?
审题指导:
题干关键
获取信息
道路维护车在前方,两车相距s0
小汽车比道路维护车多行驶s0才能追上它,即有
s汽=s0+s维
相遇前两车相距最远
在两车速度相等时刻,两车相距最远
小汽车立即以4 m/s2的加速度刹车
小汽车停止时,道路维护车可能在小汽车后边
解析:(1)设经t1时间小汽车从道路维护车旁经过,
由位移关系得v0t1+75 m=a1,
解得t1=15 s.
此时小汽车的速度v=a1t1=2×15 m/s=30 m/s.
当两车速度相等时,两车相距最远.
设时间为t2,由v0=a1t2,得t2=5 s.
设最远距离为s,则有
v0t2+75 m=a1+s,
解得s=100 m.
(2)由于小汽车停下来的时间
t==7.5 s,
位移s1=t=112.5 m,
设两车第二次相遇时间为t4,
满足v0t4=s1,解得t4=11.25 s.
答案:(1)15 s 100 m (2)11.25 s
角度2 速度大者追速度小者
[例4] 在平直道路上有两辆车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件.
审题指导:解此题关键有两点
(1)两车不相撞的临界条件是A车追上B车时其速度与B车相等.
(2)画出运动过程图示
解析:设两车运动速度相等时,所用时间为t,
由v0-2at=at得,t=
A车位移:sA=v0t-(2a)t2
B车位移:sB=at2
两车不相撞的条件:sB+s≥sA
即at2+s≥v0t-a
联立解得v0≤.
答案:v0≤
方法技巧
(1)解题思路和方法
(2)解题技巧
①紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式.
②审题应抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,它们往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件.
角度3 与运动图象结合的追及相遇问题
[例5] (2019·陕西西安联考)在高速公路上有甲、乙两车在同一车道上同向行驶,甲车在前,乙车在后,速度均为v0=108 km/h,距离s0=100 m,t=0时刻甲车遇紧急情况后,甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示(图1为甲,图2为乙),取运动方向为正方向.
(1)t=3 s时甲车速度是多少?此时甲、乙两车间距是多少?
(2)通过计算说明两车在0~9 s内会不会相撞.
(3)上一问中如果相撞,则求出相撞时间;如果不相撞,则求第9 s末两车的间距.
解析:(1)由图象可知,甲车在0~3 s内做匀减速直线运动,初速度v0=108 km/h=30 m/s,
则3 s末,甲车的速度
v=v0-at=30 m/s-10×3 m/s=0 m/s.
甲车的位移s1== m=45 m
乙车做匀速直线运动的位移s2=v0t=30×3 m=90 m,
则两车相距的距离Δs=s1+s0-s2=55 m.
(2)3 s后,甲车做初速度为零的匀加速直线运动,乙车做初速度为30 m/s的匀减速直线运动,且两车在第3 s时相距55 m.
当两车速度相等时a甲t′=v0+a乙t′
解得t′=3 s.
此时前面甲车的位移
s甲=a甲t′2=×5×32 m=22.5 m.
后面乙车的位移
s乙=v0t′+a乙t′2=30×3 m-×5×32 m=67.5 m.
因为s甲+Δs=77.5 m>s乙,故两车不会相撞.
(3)对乙车在3~9 s,=v0+a乙t=0,
可以得到乙车在9 s末的速度为零,
则3~9 s内,
乙车的位移s1′== m=90 m.
甲车的位移s2′=a甲t2=×5×62 m=90 m.
则两车在9 s时的间距Δs=s2′+55 m-s1′=55 m.
答案:(1)0 55 m (2)不会相撞 (3)55 m
规律总结
用运动图象解答追及和相遇问题的思路
1.(追及问题)在平直道路上,甲汽车以速度v匀速行驶.当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时,立即以大小为a1的加速度匀减速行驶,与此同时,乙车司机也发现了甲,立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲车运动的方向匀加速运动,则( D )
A.甲、乙两车之间的距离一定不断减小
B.甲、乙两车之间的距离一定不断增大
C.若v>,则两车一定不会相撞
D.若v<,则两车一定不会相撞
解析:甲车做减速运动,乙车做加速运动,两车速度相同时,距离最小,若此时没有相撞,以后就不可能相撞.两车速度相等时有v-a1t=a2t,解得t=,两车恰好不相撞时有vt-a1t2=d+a2t2,解得v=,所以v<,两车一定不会相撞.
2.
(追及相关的图象问题)(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶,其v-t图象如图所示.已知两车在t=3 s时并排行驶,则( BD )
A.在t=1 s时,甲车在乙车后
B.在t=0时,甲车在乙车前7.5 m
C.两车另一次并排行驶的时刻是t=2 s
D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40 m
解析:由题图知,甲车做初速度为0的匀加速直线运动,其加速度a甲=10 m/s2.乙车做初速度v0=10 m/s、加速度a乙=5 m/s2的匀加速直线运动.3 s内甲、乙车的位移分别为s甲=a甲=45 m,s乙=v0t3+a乙=52.5 m.由于t=3 s时两车并排行驶,说明t=0时甲车在乙车前,Δs=s乙-s甲=7.5 m,选项B正确;t=1 s时,甲车的位移为5 m,乙车的位移为12.5 m,由于甲车的初始位置超前乙车7.5 m,则t=1 s时两车并排行驶,选项A,C错误;甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为52.5 m-12.5 m=40 m,选项D正确.
3.(避免碰撞问题)(2019·河南郑州质检)现有甲、乙两汽车正沿同一平直马路同向匀速行驶,甲车在前,乙车在后,它们行驶的速度均为10 m/s.当两车快要到一十字路口时,甲车司机看到绿灯已转换成了黄灯,于是紧急刹车(反应时间忽略不计),乙车司机为了避免与甲车相撞也紧急刹车,但乙车司机反应较慢(反应时间为0.5 s).已知甲车紧急刹车时制动力为车重的0.4倍,乙车紧急刹车制动力为车重的0.5倍,(g取10 m/s2)求:
(1)若甲车司机看到黄灯时车头距停车线15 m,他采取上述措施能否避免闯红灯;
(2)为保证两车在紧急刹车过程中不相撞,甲、乙两车行驶过程中应保持多大距离.
解析:(1)甲车紧急刹车的加速度为
a1=0.4g=4 m/s2
甲车停下来所需时间t1==2.5 s
甲车滑行距离s==12.5 m
由于12.5 m<15 m,所以甲车能避免闯红灯.
(2)乙车紧急刹车的加速度大小为a2=0.5g=5 m/s2.
设甲、乙两车行驶过程中至少应保持距离x0,在乙车刹车t2时刻两车速度相等,
v0-a1(t2+t0)=v0-a2t2
解得t2=2.0 s
此过程中乙车的位移s2=v0t0+v0t2-a2=15 m
甲车的位移s1=v0(t0+t2)-a1(t0+t2)2=12.5 m
所以两车安全距离至少为s0=s2-s1=2.5 m.
答案:(1)见解析
(2)2.5 m
真题试做·模拟演练
1.(2014·福建卷,15)
如图,滑块以初速度v0沿表面粗糙且足够长的固定斜面,从顶端下滑,直至速度为零.对于该运动过程,若用h,s,v,a分别表示滑块的下降高度、位移、速度和加速度的大小,t表示时间,则下列图象最能正确描述这一运动规律的是( B )
解析:设斜面的倾角为θ,小滑块的受力如图所示.由牛顿运动定律得
mgsin θ-f=ma,知a恒定,D项错误;滑块做匀减速直线运动,s=v0t-at2,B项正确;h=ssin θ,ht图象与st图象一致,A项错误;由-=2as得vt=,C项错误.
2.(2018·全国Ⅱ卷,19)(多选)
甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动,其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示.已知两车在t2时刻并排行驶.下列说法正确的是( BD )
A.两车在t1时刻也并排行驶
B.在t1时刻甲车在后,乙车在前
C.甲车的加速度大小先增大后减小
D.乙车的加速度大小先减小后增大
解析:v-t图象与坐标轴包围的面积表示位移,由图象知,t1~t2时间内,甲车的位移大于乙车的位移,由题意知两车在t2时刻并排行驶,故在t1时刻甲车在后,乙车在前,选项A错误,B正确;v-t图象的斜率大小表示加速度大小,由图象知,甲、乙两车的加速度均先减小后增大,选项C错误,D正确.
3.
(2019·安徽芜湖质检)甲、乙两辆汽车在平直的公路上从同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动,它们运动的加速度随时间变化的a-t图象如图所示.关于甲、乙两车在0~20 s内的运动情况,下列说法正确的是( D )
A.在t=10 s时两车相遇
B.在t=20 s时两车相遇
C.在t=10 s时两车相距最近
D.在t=20 s时两车相距最远
解析:根据加速度—时间图象可知图线与时间轴所围成的面积表示速度,在t=20 s时,两图线与t轴所围成的面积相等,即该时刻两车的速度相等,在t=20 s前乙车的速度大于甲车的速度,所以乙车在甲车的前方,所以两车逐渐远离,在t=20 s时,两车的速度相等,即相距最远,由以上分析可知,在t=20 s时两车不可能相遇,只有D正确.
4.(2019·山东临沂期中)2019年5月26日,F1大奖赛摩纳哥站在蒙特卡洛赛道结束正赛的争夺.在某一场赛场直的赛道上有一辆F1赛车,前方187.5 m处有一辆服务车正以10 m/s的速度匀速前进,这时赛车从静止出发以4 m/s2的加速度追赶,试求:
(1)赛车何时追上服务车;
(2)追上之前与服务车有最远距离,还是最近距离,是多少;
(3)当赛车刚追上服务车时,赛车手立即刹车,从赛车开始运动到赛车停止的时间内,两车能否第二次相遇,说明理由.
解析:(1)设经过时间t赛车能追上服务车,由位移关系可得at2=vt+187.5
代入数据解得t=12.5 s.
(2)当两车速度相等时,之间的距离最远,即v=at′,
代入数据解得t′=2.5 s
两者之间的最大位移为smax=v0t′+187.5-at′2
代入数据解得smax=200 m.
(3)从赛车开始刹车到赛车停止,这一过程中的平均速度为== m/s=25 m/s,显然大于服务车的速度10 m/s,故不可能第二次相遇.
答案:(1)12.5 s (2)最远距离,200 m
(3)不能,理由见解析
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