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2021高考物理鲁科版一轮复习教师用书：第五章专题提升（六） 天体运动中的三类典型问题
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专题提升(六) 天体运动中的三类典型问题
近地卫星、同步卫星及赤道上物体的
运动问题
赤道上物体、近地卫星、同步卫星的动力学特点
赤道上
的物体
近地卫星
同步卫星
向心力
来源
万有引力
的分力
万有引力
线速度
v1=Rω1
v2=
v3=(R+h)ω3
=
v1
ω1=ω自
ω2=
ω3=
ω1=ω3<ω2
向心
加速度
a1=R
a2=
R
=
a3=
(R+h)
=
a1
(多选)如图所示,A是静止在赤道上的物体,B,C是同一平面内两颗人造卫星.B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上,C是地球同步卫星.则以下判断正确的是( CD )
A.卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度
B.A,B的线速度大小关系为vA>vB
C.周期大小关系为TA=TC>TB
D.若卫星B要靠近C所在轨道,需要先加速
审题指导:解此题注意三点:
(1)地面上的物体随地球自转,与地球和地球同步卫星有相同的角速度.
(2)近地卫星和同步卫星都满足卫星运行规律.
(3)近地卫星与地面上物体比较时要借助地球同步卫星这一桥梁.
解析:第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度,为最大环绕速度,所以B的速度小于第一宇宙速度,故A错误;A,C相比较,角速度相等,由v=ωr,可知vATB,有TA=TC>TB,故C正确;卫星要想从低轨道到达高轨道,需要加速做离心运动,故D正确.
1.
(2016·四川卷,3)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1,a2,a3的大小关系为( D )
A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3
解析:由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,可得a2=r2ω2,而a3=r3ω2,
由于r2>r3,则可得a2>a3.
又由万有引力定律G=ma
和题目中数据可得r1
A.= B.=
C.=49 D.=
解析:近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有G=m,解得v=,两卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故A错误;地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度,根据v=ωr,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故B正确;根据万有引力提供向心力得G=ma,a=,两卫星的轨道半径之比为1∶7,则=49,C正确;同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度,根据a=rω2,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故D正确.
航天器的变轨问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道.如图所示,发射卫星的过程大致有以下几个步骤:
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.
(2)在A处点火加速,由于速度变大,进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
能量分析
重力势能、机械能均增加
重力势能、机械能均减小
角度1 变轨过程中各物理量的变化
[例2]
(2019·河北唐山模拟)(多选)如图所示,地球卫星a,b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行,椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切,则( AD )
A.卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短
B.两颗卫星分别经过A点处时,a的速度大于b的速度
C.两颗卫星分别经过A点处时,a的加速度小于b的加速度
D.卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行
解析:由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半径短,根据开普勒第三定律,卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短,选项A正确;两颗卫星分别经过A点处时,a的速度小于b的速度,若卫星a在A点处加速后万有引力恰好提供向心力,则可以做匀速圆周运动,选项B错误,D正确;两颗卫星分别经过A点处,a的加速度等于b的加速度,选项C错误.
分析卫星变轨问题的三点注意
(1)卫星变轨时半径的变化,要根据万有引力与所需向心力的大小关系判断.
(2)卫星稳定在新轨道上的运行速度由v=决定.
(3)卫星通过不同轨道的同一点(切点)时的速度大小关系可根据离心或向心运动的条件分析得出.
角度2 变轨问题中能量分析
[例3] (多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( BD )
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
解析:卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,由于地球引力做正功,引力势能一定减小,故B正确;卫星的环绕速度v=,当半径r减小时,运行速度增大,卫星的动能增大,选项A错误;由于气体阻力做负功,地球引力做正功,根据功能关系,机械能(引力势能和动能之和)减小,选项C错误;由于卫星的动能增大,地球引力做的正功大于卫星克服气体阻力做的功,选项D正确.
卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析
(1)速度:如图所示,设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1,v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA,vB.在A点加速由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ,则vA>v1,在B点加速由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:因为在A点卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点加速度也相同.
(3)周期:设卫星在Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1,T2,T3,轨道半径分别为r1,r2(半长轴),r3,由开普勒第三定律=k可知T1
1.
(多选)如图所示,在发射地球同步卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ,则( ACD )
A.该卫星在P点的速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s
B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C.在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析:卫星在P点做圆周运动的速度为7.9 km/s,卫星在P点的速度大于7.9 km/s会做离心运动,运动轨迹为椭圆,但必须小于11.2 km/s,否则就会脱离地球束缚,故A正确;环绕地球做圆周运动的人造卫星,最大的运行速度是7.9 km/s,故B错误;P点比Q点离地球近,故在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度,C正确;卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ,故D正确.
2.(2019·河南南阳月考)(多选)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨,进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ,由近月点Q落月,如图所示.关于“嫦娥四号”,下列说法正确的是( AD )
A.沿轨道Ⅰ运动至P时,需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度大于在Q点的加速度
D.在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变
解析:要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ,需制动减速做近心运动,A正确;由开普勒第三定律知,沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期,B错误;根据牛顿第二定律,有G=ma,解得a=G,沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度小于在Q点的加速度,C错误;月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球,所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变,D正确.
双星或多星模型
1.宇宙双星问题
(1)特点:如图(甲)所示绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统.
(2)动力学规律
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即
=m1r1,
=m2r2;
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2;
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L.
(3)两颗星到圆心的距离r1,r2与星体质量成反比,即=.
2.宇宙三星问题
(1)三颗质量均为m的星体位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行[如图(乙)所示].其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力:+=ma.
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上[如图(丙)所示].每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供.2×cos 30°=ma,其中L=2Rcos 30°.
3.宇宙四星问题
(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动[如图(丁)所示].
(2)另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动[如图(戊)所示].三颗星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等.
4.宇宙多星的分析思路
角度1 双星问题
[例4]
宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因为万有引力的作用而吸引到一起.如图所示,某双星系统中A,B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比rA∶rB=1∶2,则两颗天体的( A )
A.质量之比mA∶mB=2∶1
B.角速度之比ωA∶ωB=1∶2
C.线速度大小之比vA∶vB=2∶1
D.向心力大小之比FA∶FB=2∶1
审题指导:(1)双星做匀速圆周运动的周期相同.
(2)公式G中的r是两星间的距离,而不是轨道半径.
解析:双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,周期相同,两者之间的万有引力提供向心力,F=mArAω2=mBrBω2,所以mA∶mB=2∶1,选项A正确,B,D错误;由v=rω可知,线速度大小之比vA∶vB=1∶2,选项C错误.
(1)双星系统中,两星的向心力大小一定相等,等于它们之间的万有引力,向心力不会因为两星质量、轨道半径不同而不同.
(2)万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离,此处应该是L;而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径,此处为r1,r2,千万不可混淆.
角度2 三星问题
[例5]
三颗相同的质量都是M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上.如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变,下列说法正确的是( B )
A.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
B.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C.它们运行的轨道半径为L
D.它们运行的速度大小为
解析:根据万有引力定律,任意两颗星球之间的万有引力为F1=,方向沿着它们的连线.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2F1cos 30°=,方向指向圆心,选项A错误,B正确;三个星球运行的轨道半径r==L,选项C错误;由=M可得v=,选项D错误.
(1)多星问题中,质量相同的各星处于同一圆轨道上,绕某一点做匀速圆周运动,或处于同一直线上的三星绕其中一颗做匀速圆周运动,某一星体所需向心力是其他星体对它万有引力的矢量和.
(2)解题时首先明确多星系统中各星体的位置及周期关系,再分析各星做匀速圆周运动的向心力的来源和轨道半径.
1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是( C )
A.质量大的天体线速度较大
B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小相等
D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零
解析:双星系统做匀速圆周运动的角速度ω相等,选项B错误.两个天体之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项C正确.由万有引力定律及牛顿运动定律得G=m1r1ω2=m2r2ω2,其中r1+r2=L,故r1=L,r2=L,则==,故质量大的星球线速度小,故选项A错误.若在圆心处放一个质量为m的质点,质量为m1的天体对它的万有引力为F1=G,质量为m2的天体对它的万有引力为F2=G,由A项分析知m1r1=m2r2,则F2=G,显然,F2≠F1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项D错误.
2.(多选)宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行,轨道半径为r.关于该三星系统的说法正确的是( BC )
A.在稳定运行的情况下,大星体提供两小星体做圆周运动的向心力
B.在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧
C.小星体运行的周期为T=
D.小星体运行的周期为T=
解析:在稳定运行的情况下,对某一个环绕星体而言,受到其他两个星体的万有引力,两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力,选项A错误;在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧,选项B正确;对某一个小星体有+=mr,解得小星体运行的周期T=,选项C正确,D错误.
1.(2019·北京卷,18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星).该卫星( D )
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
解析:同步卫星只能位于赤道正上方,故A错误;由=m知,卫星的轨迹半径越大,环绕速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),故B错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度,故C错误;若该卫星发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,故D正确.
2.(2018·全国Ⅰ卷,20)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( BC )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
解析:两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示.
每秒转动12圈,即转速n=12 r/s,角速度ω=2πn,中子星运动时,由万有引力提供向心力得=m1r1ω2,=m2r2ω2,l=r1+r2,联立可得=ω2l,所以m1+m2=,质量之和可以估算;由线速度与角速度的关系v=ωr得,v1=ωr1,v2=ωr2,解得v1+v2=(r1+r2)ω=ωl,速率之和可以估算;质量之积和各自自转的角速度无法求解,故B,C正确,A,D错误.
3.(2016·天津卷,3)
我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( C )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
解析:使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则向心力变大,飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若空间实验室减速,则向心力变小,空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,故选项A,B错误;要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的空间实验室轨道,逐渐靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C正确;若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选项D错误.
4.(2019·福建泉州质检)(多选)如图,虚线Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道,其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道,轨道Ⅱ为椭圆轨道,轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道,
a,b,c三点分别位于三条轨道上,b点为轨道Ⅱ的远地点,b,c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍,则( CD )
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B.卫星经过a点的速率为经过b点的倍
C.卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
解析:由开普勒第三定律可得=,故A错误;卫星在轨道Ⅰ做匀速圆周运动,半径为r,Ⅱ轨道为椭圆,卫星经过b点可以加速后做匀速圆周运动,由v=可知,卫星经过a点的速率大于经过b点的倍,故B错误;由公式a=可知,卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍,故C正确;卫星越高,发射过程中要克服引力做功越多,所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能,故D正确.
专题提升(六) 天体运动中的三类典型问题
近地卫星、同步卫星及赤道上物体的
运动问题
赤道上物体、近地卫星、同步卫星的动力学特点
赤道上
的物体
近地卫星
同步卫星
向心力
来源
万有引力
的分力
万有引力
线速度
v1=Rω1
v2=
v3=(R+h)ω3
=
v1
ω1=ω自
ω2=
ω3=
ω1=ω3<ω2
向心
加速度
a1=R
a2=
R
=
a3=
(R+h)
=
a1
(多选)如图所示,A是静止在赤道上的物体,B,C是同一平面内两颗人造卫星.B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上,C是地球同步卫星.则以下判断正确的是( CD )
A.卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度
B.A,B的线速度大小关系为vA>vB
C.周期大小关系为TA=TC>TB
D.若卫星B要靠近C所在轨道,需要先加速
审题指导:解此题注意三点:
(1)地面上的物体随地球自转,与地球和地球同步卫星有相同的角速度.
(2)近地卫星和同步卫星都满足卫星运行规律.
(3)近地卫星与地面上物体比较时要借助地球同步卫星这一桥梁.
解析:第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度,为最大环绕速度,所以B的速度小于第一宇宙速度,故A错误;A,C相比较,角速度相等,由v=ωr,可知vA
1.
(2016·四川卷,3)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1,a2,a3的大小关系为( D )
A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3
解析:由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,可得a2=r2ω2,而a3=r3ω2,
由于r2>r3,则可得a2>a3.
又由万有引力定律G=ma
和题目中数据可得r1
A.= B.=
C.=49 D.=
解析:近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有G=m,解得v=,两卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故A错误;地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度,根据v=ωr,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故B正确;根据万有引力提供向心力得G=ma,a=,两卫星的轨道半径之比为1∶7,则=49,C正确;同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度,根据a=rω2,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以=,故D正确.
航天器的变轨问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道.如图所示,发射卫星的过程大致有以下几个步骤:
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上.
(2)在A处点火加速,由于速度变大,进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2.卫星变轨的实质
两类变轨
离心运动
近心运动
变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
受力分析
G
变轨结果
变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动
变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动
能量分析
重力势能、机械能均增加
重力势能、机械能均减小
角度1 变轨过程中各物理量的变化
[例2]
(2019·河北唐山模拟)(多选)如图所示,地球卫星a,b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行,椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切,则( AD )
A.卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短
B.两颗卫星分别经过A点处时,a的速度大于b的速度
C.两颗卫星分别经过A点处时,a的加速度小于b的加速度
D.卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行
解析:由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半径短,根据开普勒第三定律,卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短,选项A正确;两颗卫星分别经过A点处时,a的速度小于b的速度,若卫星a在A点处加速后万有引力恰好提供向心力,则可以做匀速圆周运动,选项B错误,D正确;两颗卫星分别经过A点处,a的加速度等于b的加速度,选项C错误.
分析卫星变轨问题的三点注意
(1)卫星变轨时半径的变化,要根据万有引力与所需向心力的大小关系判断.
(2)卫星稳定在新轨道上的运行速度由v=决定.
(3)卫星通过不同轨道的同一点(切点)时的速度大小关系可根据离心或向心运动的条件分析得出.
角度2 变轨问题中能量分析
[例3] (多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( BD )
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
解析:卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,由于地球引力做正功,引力势能一定减小,故B正确;卫星的环绕速度v=,当半径r减小时,运行速度增大,卫星的动能增大,选项A错误;由于气体阻力做负功,地球引力做正功,根据功能关系,机械能(引力势能和动能之和)减小,选项C错误;由于卫星的动能增大,地球引力做的正功大于卫星克服气体阻力做的功,选项D正确.
卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析
(1)速度:如图所示,设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1,v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA,vB.在A点加速由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ,则vA>v1,在B点加速由轨道Ⅱ变为轨道Ⅲ,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度:因为在A点卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点加速度也相同.
(3)周期:设卫星在Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1,T2,T3,轨道半径分别为r1,r2(半长轴),r3,由开普勒第三定律=k可知T1
1.
(多选)如图所示,在发射地球同步卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ,则( ACD )
A.该卫星在P点的速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/s
B.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C.在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度
D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
解析:卫星在P点做圆周运动的速度为7.9 km/s,卫星在P点的速度大于7.9 km/s会做离心运动,运动轨迹为椭圆,但必须小于11.2 km/s,否则就会脱离地球束缚,故A正确;环绕地球做圆周运动的人造卫星,最大的运行速度是7.9 km/s,故B错误;P点比Q点离地球近,故在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度,C正确;卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ,故D正确.
2.(2019·河南南阳月考)(多选)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km的环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨,进入近月点为15 km的椭圆轨道Ⅱ,由近月点Q落月,如图所示.关于“嫦娥四号”,下列说法正确的是( AD )
A.沿轨道Ⅰ运动至P时,需制动减速才能进入轨道Ⅱ
B.沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期
C.沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度大于在Q点的加速度
D.在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变
解析:要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ,需制动减速做近心运动,A正确;由开普勒第三定律知,沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期,B错误;根据牛顿第二定律,有G=ma,解得a=G,沿轨道Ⅱ运行时,在P点的加速度小于在Q点的加速度,C错误;月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球,所以在轨道Ⅱ上由P点运行到Q点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变,D正确.
双星或多星模型
1.宇宙双星问题
(1)特点:如图(甲)所示绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统.
(2)动力学规律
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即
=m1r1,
=m2r2;
②两颗星的周期及角速度都相同,即T1=T2,ω1=ω2;
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L.
(3)两颗星到圆心的距离r1,r2与星体质量成反比,即=.
2.宇宙三星问题
(1)三颗质量均为m的星体位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行[如图(乙)所示].其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力:+=ma.
(2)三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上[如图(丙)所示].每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供.2×cos 30°=ma,其中L=2Rcos 30°.
3.宇宙四星问题
(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动[如图(丁)所示].
(2)另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动[如图(戊)所示].三颗星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等.
4.宇宙多星的分析思路
角度1 双星问题
[例4]
宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因为万有引力的作用而吸引到一起.如图所示,某双星系统中A,B两颗天体绕O点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比rA∶rB=1∶2,则两颗天体的( A )
A.质量之比mA∶mB=2∶1
B.角速度之比ωA∶ωB=1∶2
C.线速度大小之比vA∶vB=2∶1
D.向心力大小之比FA∶FB=2∶1
审题指导:(1)双星做匀速圆周运动的周期相同.
(2)公式G中的r是两星间的距离,而不是轨道半径.
解析:双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,周期相同,两者之间的万有引力提供向心力,F=mArAω2=mBrBω2,所以mA∶mB=2∶1,选项A正确,B,D错误;由v=rω可知,线速度大小之比vA∶vB=1∶2,选项C错误.
(1)双星系统中,两星的向心力大小一定相等,等于它们之间的万有引力,向心力不会因为两星质量、轨道半径不同而不同.
(2)万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离,此处应该是L;而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径,此处为r1,r2,千万不可混淆.
角度2 三星问题
[例5]
三颗相同的质量都是M的星球位于边长为L的等边三角形的三个顶点上.如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变,下列说法正确的是( B )
A.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小为
B.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心O
C.它们运行的轨道半径为L
D.它们运行的速度大小为
解析:根据万有引力定律,任意两颗星球之间的万有引力为F1=,方向沿着它们的连线.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2F1cos 30°=,方向指向圆心,选项A错误,B正确;三个星球运行的轨道半径r==L,选项C错误;由=M可得v=,选项D错误.
(1)多星问题中,质量相同的各星处于同一圆轨道上,绕某一点做匀速圆周运动,或处于同一直线上的三星绕其中一颗做匀速圆周运动,某一星体所需向心力是其他星体对它万有引力的矢量和.
(2)解题时首先明确多星系统中各星体的位置及周期关系,再分析各星做匀速圆周运动的向心力的来源和轨道半径.
1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是( C )
A.质量大的天体线速度较大
B.质量小的天体角速度较大
C.两个天体的向心力大小相等
D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零
解析:双星系统做匀速圆周运动的角速度ω相等,选项B错误.两个天体之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项C正确.由万有引力定律及牛顿运动定律得G=m1r1ω2=m2r2ω2,其中r1+r2=L,故r1=L,r2=L,则==,故质量大的星球线速度小,故选项A错误.若在圆心处放一个质量为m的质点,质量为m1的天体对它的万有引力为F1=G,质量为m2的天体对它的万有引力为F2=G,由A项分析知m1r1=m2r2,则F2=G,显然,F2≠F1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项D错误.
2.(多选)宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为m的小星体和一个质量为M的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行,轨道半径为r.关于该三星系统的说法正确的是( BC )
A.在稳定运行的情况下,大星体提供两小星体做圆周运动的向心力
B.在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧
C.小星体运行的周期为T=
D.小星体运行的周期为T=
解析:在稳定运行的情况下,对某一个环绕星体而言,受到其他两个星体的万有引力,两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力,选项A错误;在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧,选项B正确;对某一个小星体有+=mr,解得小星体运行的周期T=,选项C正确,D错误.
1.(2019·北京卷,18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星).该卫星( D )
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
解析:同步卫星只能位于赤道正上方,故A错误;由=m知,卫星的轨迹半径越大,环绕速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),故B错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度,故C错误;若该卫星发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,故D正确.
2.(2018·全国Ⅰ卷,20)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( BC )
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之和 D.各自的自转角速度
解析:两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示.
每秒转动12圈,即转速n=12 r/s,角速度ω=2πn,中子星运动时,由万有引力提供向心力得=m1r1ω2,=m2r2ω2,l=r1+r2,联立可得=ω2l,所以m1+m2=,质量之和可以估算;由线速度与角速度的关系v=ωr得,v1=ωr1,v2=ωr2,解得v1+v2=(r1+r2)ω=ωl,速率之和可以估算;质量之积和各自自转的角速度无法求解,故B,C正确,A,D错误.
3.(2016·天津卷,3)
我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( C )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接
解析:使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则向心力变大,飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若空间实验室减速,则向心力变小,空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,故选项A,B错误;要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的空间实验室轨道,逐渐靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C正确;若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选项D错误.
4.(2019·福建泉州质检)(多选)如图,虚线Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道,其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道,轨道Ⅱ为椭圆轨道,轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道,
a,b,c三点分别位于三条轨道上,b点为轨道Ⅱ的远地点,b,c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍,则( CD )
A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍
B.卫星经过a点的速率为经过b点的倍
C.卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍
D.质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
解析:由开普勒第三定律可得=,故A错误;卫星在轨道Ⅰ做匀速圆周运动,半径为r,Ⅱ轨道为椭圆,卫星经过b点可以加速后做匀速圆周运动,由v=可知,卫星经过a点的速率大于经过b点的倍,故B错误;由公式a=可知,卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍,故C正确;卫星越高,发射过程中要克服引力做功越多,所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能,故D正确.
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