2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第6章第3节　等比数列及其前n项和

第三节　等比数列及其前n项和

[最新考纲]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．

(对应学生用书第99页)

1．等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．

(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.

2．等比数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.

(2)前n项和公式：

Sn＝

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．

1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．

2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．

  (　　)

(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac. (　　)

(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．  (　　)

(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于(　　)

A．27　　　　B．36　　　　C.　　　　D．54

C　[公比q＝＝＝，则a6＝a4q2＝18×＝.]

2．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1，q的值分别为(　　)

A．6， B．6，－

C.，1 D.，1或6，－

D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得

q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，

解得q＝1或q＝－.

当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6，

故选D.]

3．7＋3与7－3的等比中项为________．

±2　[由G2＝(7＋3)(7－3)＝4得G＝±2.]

4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．

27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，

243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.

∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]

(对应学生用书第99页)

⊙考点1　等比数列的基本运算

(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q，通过方程组求出结果，进而解决问题，体现了方程的思想．

(2)在使用等比数列前n项和公式时，应注意判断公比q是不是1，从而选择不同的求和公式．

(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)

A．16　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．2

(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

①求{an}的通项公式；

②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

(1)C　[(1)设正数的等比数列{an}的公比为q，

则

解得∴a3＝a1q2＝4，故选C.]

(2)[解]　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.

故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.

综上，m＝6.

　把S4表示成S4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3，不需要考虑q是不是1的情况，如本例T(1)．

　1.已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)

A．4 B．10 

C．16 D．32

C　[设公比为q(q＞0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)，则a5＝2×23＝16.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.

　[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.

∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，

即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，

∴S4＝＝.]

3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.

32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则

解得

所以a8＝×27＝25＝32.]

⊙考点2　等比数列的判定与证明

　判定等比数列的四种方法

(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．

(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．

　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.

(1)求b1，b2，b3；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；

(3)求{an}的通项公式．

[解](1)由条件可得an＋1＝an.

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.

从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.

　本例中由bn＋1＝2bn，不能判定{bn}是等比数列，还要验证b1≠0.

　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ.

[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan.

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

于是an＝.

(2)由(1)得Sn＝1－.

由S5＝得1－＝，即＝.

解得λ＝－1.

⊙考点3　等比数列性质的应用

　应用等比数列性质的两个关注点

(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．

(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列求解．

　等比数列项的性质

(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.

(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝________.

(1)50　(2)31　[(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.

所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20

＝ln(a1a2…a20)

＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]

＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)

＝10ln e5＝50ln e＝50.

(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得

所以S5＝＝31.]

　本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但运算量大，易出错．

　等比数列前n项和的性质

(1)[一题多解]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.

(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.

(1)　(2)2　[(1)法一：(整体代入法)

因为S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1.

由÷＝，得q3＝－，

所以＝＝.

法二：(性质法)

由题意知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．

又＝，即S3＝2S6，所以2S6，－S6，S9－S6成等比数列．

∴S9－S6＝S6，即S9＝S6.

∴＝＝.

(2)由题意，得

解得所以q＝＝＝2.]

　对于本例T(2)，熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障，避免了繁琐的运算．

　1.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)

A．－ B．－

C. D．－或

B　[设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.]

2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　)

A．－9 B．－21 

C．－25 D．－63

B　[因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.]

⊙考点4　等差数列与等比数列的综合计算

　等差数列与等比数列综合计算的策略

(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解方程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．

(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒{a}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．

(1)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是(　　)

A. B.

C. D.

(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.

①求{an}的通项公式；

②求e＋e＋…＋e.

(1)A　[设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故选A.

(2)[解]　①设{an}的公差为d.

因为a2＋a3＝5ln 2，

所以2a1＋3d＝5ln 2.

又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.

②因为e＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，

所以数列{e}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以e＋e＋…＋e＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.

　本例T(2)中，解答第②问的关键是证明数列{e}是等比数列．

　1.已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)

A．3n＋1 B．3n－1

C. D.

C　[设等比数列{an}的公比为q，

∵an(bn＋1－bn)＝an＋1，

∴bn＋1－bn＝q(常数)，

即数列{bn}是等差数列，公差为q.

∵b1＝2，b2＝5，

∴q＝3，

∴数列{bn}的前n项和为2n＋×3＝.

故选C.]

2．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．

[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.

解得q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.

(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.