2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第9章第1节　直线的倾斜角与斜率、直线方程

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线方程

[最新考纲]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

(对应学生用书第143页)

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为0°≤α＜180°.

2．斜率公式

(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α，当α＝90°时，直线斜率不存在．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

1．牢记倾斜角α与斜率k的关系

(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.

(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．

2．特殊直线的方程

(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；

(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；

(3)y轴的方程为x＝0；

(4)x轴的方程为y＝0.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　　)

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　　)

(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示． (　　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．                            (　　)

[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)

A．1 B．4　　　　

C．1或3　　　　 D．1或4

A　[由题意得＝1，解得m＝1.]

2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0

A　[由y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0，故选A.]

3．已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点A(a，b)，B(a，c)的直线的倾斜角为________，直线AB的方程为________．

　x＝a　[由题意知，直线AB垂直于x轴，因此直线AB的倾斜角为，直线AB的方程为x＝a.]

4．在x轴，y轴上的截距分别是4，－3的直线方程为________．

3x－4y－12＝0　[由题意知，直线方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0.]

(对应学生用书第144页)

⊙考点1　直线的倾斜角和斜率

　斜率取值范围的两种求法

　1.(2019·安庆模拟)直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角不可能为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

D　[设直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，

则tan θ＝∈.

又tan＝，故θ不可能为.]

2．若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________．

∪　[当－1≤k＜0时，≤θ＜π，

当0≤k≤1时，0≤θ≤.

因此θ的取值范围是∪.]

3．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________．

(－∞，－]∪[1，＋∞)　[如图，

∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．]

　直线的倾斜角和斜率的范围互求时，要充分利用y＝tan x的单调性．

⊙考点2　直线方程

1．求解直线方程的两种方法

2.谨防三种失误

(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．

(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.

(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0.

(1)若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．

(2)若直线经过点A(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________．

(3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为________．

(1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　(2)x－y＋6＝0　(3)5x－2y－5＝0　[(1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y＝kx，将(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此时，直线方程为y＝－x，即2x＋5y＝0.

②当横截距、纵截距都不为零时，

设所求直线方程为＋＝1，

将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.

综上所述，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.

(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.

又直线过点A(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.

(3)设C(x0，y0)，则

M，N.

因为点M在y轴上，所以＝0，

所以x0＝－5.

因为点N在x轴上，所以＝0，

所以y0＝－3，即C(－5，－3)，

所以M，N(1,0)，

所以直线MN的方程为＋＝1，

即5x－2y－5＝0.]

　当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．

　1.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．

2x－3y＝0或x＋y－5＝0　[设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.]

2．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是的直线方程是________．

x－y＋1＝0或x＋y－3＝0　[由题意知，倾斜角为或，所以斜率为1或－1，直线方程为y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]

3．过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．

8x－y－24＝0　[设直线l与l1，l2的交点分别为A，B，

设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．

由题意得解得

即A.

直线l的方程为＝，即8x－y－24＝0.]

⊙考点3　直线方程的综合应用

　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．

　过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

(1)＋＝1≥2＝，

所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

(2)因为＋＝1，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，

所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，

即x＋2y－6＝0.

　涉及与直线在x轴，y轴上的截距有关的问题，可设直线方程为截距式．

　1.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．

x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[设所求直线的方程为＋＝1.

∵A(－2,2)在直线上，∴－＋＝1.  ①

又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，

∴|a|·|b|＝1.  ②

由①②可得(1)或(2)

由(1)解得或方程组(2)无解．

故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．]

2．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.

　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，

所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)

＝a2－a＋4＝＋，

当a＝时，四边形的面积最小，

故实数a的值为.]