2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第3章第7节定积分与微积分基本定理

第七节　定积分与微积分基本定理

[最新考纲]　1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．

1．定积分的有关概念与几何意义

(1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点δi(i＝1,2，…，n)，作和式s′＝f(δ1)Δx1＋f(δ2)Δx2＋…＋f(δi)Δxi＋…＋f(δn)Δxn.当每个小区间的长度Δx趋于0时，s′的值趋于一个常数A.我们称常数A叫作函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝A.

在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

2．定积分的性质

(1)1dx＝b－a；

(2)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；

(3)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；

(4)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a<c<b)．

3．微积分基本定理

如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿­莱布尼茨公式．通常称F(x)是f(x)的一个原函数．

为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)|，

即f(x)dx＝F(x)|＝F(b)－F(a)．

函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有

(1)若f(x)为偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.

(2)若f(x)为奇函数，则f(x)dx＝0.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)

(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(　　)

(3)若f(x)dx＜0，那么由y＝f(x)的图像，直线x＝a，直线x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

二、教材改编

1．已知质点的速率v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是(　　)

A．10t　　　　　　 B．5t

C．t   D．t

B　[S＝vdt＝10tdt＝5t2＝5t.]

2．dx＝________.

1　[dx＝ln(x－1) ＝ln e－ln 1＝1. ]

3. dx＝________.

　[dx表示由直线x＝0，x＝－1，y＝0以及曲线y＝所围成的图形的面积，

∴dx＝.]

4．曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．

　[如图，阴影部分的面积即为所求．

由得A(1,1)．

故所求面积为S＝ (x－x2)dx

＝＝.]

考点1　定积分的计算

　计算定积分的步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．

(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．

(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．

　1.计算dx的值为(　　)

A.　　　　　　　 B.＋ln 2

C.＋ln 2   D.3＋ln 2

B　[dx＝

＝2＋ln 2－

＝＋ln 2.故选B.]

2.(sin x－cos x)dx＝________.

2　[(sin x－cos x)dx＝(－cos x－sin x)

3.|x－1|dx＝________.

　[|x－1|dx＝(1－x)dx＝) ＝1－＝.]

　运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点

(1)对被积函数要先化简，再求积分．

(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．

(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．

考点2　定积分的几何意义

　(1)根据题意画出图形．

(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限．

(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．

(4)计算定积分，写出答案．

　利用定积分的几何意义计算定积分

　(1)计算：dx＝________.

(2)若dx＝，则m＝________.

(1)π　(2)－1　[(1)由定积分的几何意义知，

dx表示圆(x－1)2＋y2＝4和x＝1，x＝3，y＝0围成的图形的面积，∴dx＝×π×4＝π.

(2)根据定积分的几何意义dx表示圆(x＋1)2＋y2＝1和直线x＝－2，x＝m和y＝0围成的图形的面积，又dx＝为四分之一圆的面积，结合图形知m＝－1.]

　正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．

　求平面图形的面积

　由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．

4－ln 3　[由xy＝1，y＝3，

可得A.

由xy＝1，y＝x，可得B(1,1)，

由y＝x，y＝3，得C(3,3)，

由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成图形的面积为

dx＋(3－x)dx＝(3x－ln x) ＋＝(3x－1－ln 3) ＋＝4－ln 3.]

[逆向问题]　已知曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边图形的面积为，则k＝________.

2　[由得或

则曲线y＝x2与直线y＝kx(k＞0)所围成的曲边梯形的面积为

(kx－x2)dx＝|＝－k3＝，

即k3＝8，所以k＝2.]

　利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．

　1.曲线y＝－x＋2，y＝与x轴所围成的面积为________．

　[如图所示，由y＝及y＝－x＋2可得交点横坐标为x＝1.由定积分的几何意义可知，由y＝，y＝－x＋2及x轴所围成的封闭图形的面积为dx＋(－x＋2)dx＝x|＋|＝.]

2.如图所示，由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成图形的面积为________．

　[由y＝－x2＋4x－3，得y′＝－2x＋4，

∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2，

∴抛物线在A点处的切线方程为y＝4x－3，

在B点处的切线方程为y＝－2x＋6，

联立方程

解得

∴两切线交点的横坐标为，

∴S＝ [(4x－3)－(－x2＋4x－3)]dx＋[(－2x＋6)－(－x2＋4x－3)]dx＝x2dx＋ (x2－6x＋9)dx

＝x3＋＝＋＝.]

考点3　定积分在物理中的应用

　定积分在物理中的2个应用

(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.

(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a运动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.

　(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而

刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　)

A．1＋25ln 5　　　　　　 B．8＋25ln

C．4＋25ln 5   D．4＋50ln 2

(2)一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时，F(x)做的功为(　　)

A. J   B. J

C. J   D.2 J

(1)C　(2)C　[(1)由v(t)＝7－3t＋＝0，

可得t＝4，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s，

在此期间行驶的距离为

v(t)dt＝dt

＝|

＝4＋25ln 5.

(2)变力F在位移方向上的分力为Fcos 30°，故F(x)做的功为W＝(5－x2)cos 30°dx

＝(5－x2)dx

＝|

　如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数

是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝－v(t)dt.

　物体A以速度v＝3t2＋1(t的单位：s，v的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5 m处以v＝10t(t的单位：s，v的单位：m/s)的速度与A同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A的出发地的距离是______m.

130　[设A追上B时，所用的时间为t0，

则SA＝SB＋5，

即∫ (3t2＋1)dt＝ (10t)dt＋5，

∴(t3＋t) )

＝5＋5，

∴t＋t0＝5＋1

即t0＝5，,∴SA＝5＋5＝5×52＋5＝130m.]