2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第7章第1节不等式的性质与一元二次不等式

第一节　不等式的性质与一元二次不等式

[最新考纲]　1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．

1．两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2．不等式的性质

(1)对称性：a>b⇔b<a；

(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；

(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；

a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；

(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；

a>b，c<0⇒ac<bc；

a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；

(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；

(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；

(7)倒数性质：设ab>0，则a<b⇔>.

3．“三个二次”的关系

1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；

若b＞a＞0，m＞0，则＞.

2．(x－a)(x－b)＞0或(x－a)(x－b)＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．

3．恒成立问题的转化：a＞f(x)恒成立⇒a＞f(x)max；a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)min.

4．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)a＞b⇔ac2＞bc2.(　　)

(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　　)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(　　)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．[0,3]　　　　　 B．(0,3)

C．(－∞，0]∪[3，＋∞)  D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

A　[要使函数f(x)＝有意义，

则3x－x2≥0，

即x2－3x≤0，

解得0≤x≤3.]

2．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)

A．A≥B B．A＞B

C．A≤B D．A＜B

B　[∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)

＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，

∴A＞B，故选B.]

3．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　)

A．a－c<b－d B．ac<bd

C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c

C　[由同向不等式具有可加性可知C正确．]

4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为，则a＋b＝________.

－14　[由题意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

则解得(经检验知满足题意)．

∴a＋b＝－14.]

考点1　比较大小与不等式的性质

　比较大小的5种常用方法

(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等)．

(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．

(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．

(4)不等式的性质法．

(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．

　1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0

C．ac＞bc D．≤

B　[(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]

2．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)

A．p<q　 B．p≤q

C．p>q D．p≥q

B　[法一： (作差法)p－q＝＋－a－b

＝＋＝(b2－a2)·

＝＝，

因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.

若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；

若a≠b，则p－q<0，故p<q.

综上，p≤q.故选B.

法二： (特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除选项D.故选B.]

3．(2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)

A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b

C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|

C　[法一：由函数y＝ln x的图像(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.

法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]

4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．

[5,10]　[法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，

即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.

于是得解得

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.

法二：(运用方程思想)由

得

∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.

法三：(借助线性规划)由

确定的平面区域如图阴影部分所示，

当f(－2)＝4a－2b过点A时，

取得最小值4×－2×＝5，

当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，

取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.]

　(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.

(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.

考点2　一元二次不等式的解法

　解一元二次不等式的一般步骤

　解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；

(2)ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．

[解]　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，

即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.

若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，

解得x<或x>1.

若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.

①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；

②当a>1时，<1，解(x－1)<0得<x<1；

③当0<a<1时，>1，解 (x－1)<0得1<x<.

综上所述：当a<0时，解集为；

当a＝0时，解集为{x|x>1}；

当0<a<1时，解集为；

当a＝1时，解集为∅；

当a>1时，解集为.

[母题探究]　将本例(2)中不等式改为x2－(a＋1)x＋a<0(a∈R)，求不等式的解集．

[解]　原不等式可化为(x－a)(x－1)<0，

当a>1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a<1时，原不等式的解集为(a,1)．

　解含参不等式的分类讨论依据

提醒：含参数讨论问题最后要综上所述．

[教师备选例题]

解不等式：x2－2ax＋2≤0(a∈R)．

[解]　对于方程x2－2ax＋2＝0，因为Δ＝4a2－8.

(1)当Δ＜0，即－＜a＜时，x2－2ax＋2＝0无实根．又二次函数y＝x2－2ax＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为∅；

(2)当Δ＝0，即a＝±时，x2－2ax＋2＝0有两个相等的实根，

当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}，

当a＝－时，原不等式的解集为{x|x＝－}；

(3)当Δ＞0，即a＞或a＜－时，x2－2ax＋2＝0有两个不相等的实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x|a－≤x≤a＋}．

综上，当a＞或a＜－时，解集为{x|a－≤x≤a＋}；当a＝时，解集为{x|x＝}；当a＝－时，解集为{x|x＝－}；当－＜a＜时，解集为∅.

　1.(2019·济南模拟)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为

，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为(　　)

A. B.

C．{x|－3<x<2} D．{x|x<－3或x>2}

C　[由题意知a>0，且，－是方程ax2－5x＋b＝0的两根，∴解得

∴bx2－5x＋a＝－5x2－5x＋30>0，

即x2＋x－6<0，

解得－3<x<2，故选C.]

2．不等式≥－1的解集为________．

　　[将原不等式移项通分得≥0，

等价于

解得x≤或x＞5.

∴原不等式的解集为.]

3．解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．

[解]　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，

即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

当a>0时，不等式的解集为∪；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；

当a<0时，不等式的解集为∪.

考点3　一元二次不等式恒成立问题

　在R上恒成立，求参数的范围

　 一元二次不等式在R上恒成立的条件

　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．

(－2,2]　[当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，

当a≠2时，则有

即∴－2<a<2.

综上，可得实数a的取值范围是(－2,2]．]

　本题在求解中常因忽略“a－2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．

　若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．(－3,0) B．[－3,0)

C．[－3,0] D．(－3,0]

D　[当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则

解得－3<k<0.

综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3,0]．]

　在给定区间上恒成立，求参数的范围

　 在给定某区间上恒成立，形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．

　[一题多解]已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，

即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．

有以下两种方法：

法一：(函数最值法)令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．

当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，

所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，

所以m<，所以0<m<；

当m＝0时，－6<0恒成立；

当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，

所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，

所以m<6，所以m<0.

综上所述，m的取值范围是.

法二：(分离参数法)因为x2－x＋1＝2＋>0，

又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.

因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．

所以m的取值范围是.

[母题探究]　若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？

[解]　由题意知f(x)<5－m有解，

即m<有解，则m<max，

又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6)．

　函数最值法、分离参数法及数形结合法是解决不等式在给定某区间上恒成立问题的三种常用方法．每种方法对于不同试题各有优劣，要牢牢掌握，灵活使用，特别是数形结合时，满足条件的图像要画全，画对．二次函数问题建议多考虑，对应二次函数图像，建议恒成立或能成立问题求参数范围时，首选分离参数法．

　若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，则a的取值范围为________．

 [－5，＋∞)　[由不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈(0,1]恒成立，得a≥－对一切x∈(0,1]恒成立．

设f(x)＝－，x∈(0,1]，

则只要a≥[f(x)]max即可．

由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，

所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.]

　给定参数范围的恒成立问题

　形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，即将原不等式转化为g(m)＞0或g(m)＜0恒成立问题．

　对任意的k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________．

{x|x<1或x>3}　[对任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]时恒成立．

只需g(－1)>0且g(1)>0，即

解得x<1或x>3.]

　解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．

　函数f(x)＝x2＋ax＋3.

(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．

[解]　(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，

需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2.

∴实数a的取值范围是[－6,2]．

(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：

①如图1，当g(x)的图像与x轴不超过1个交点时，

有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.

②如图2，g(x)的图像与x轴有2个交点，

但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，

即即

可得

解得a∈∅.

③如图3，g(x)的图像与x轴有2个交点，　

但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.

即即

可得∴－7≤a<－6，

综上，实数a的取值范围是[－7,2]．

(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.

当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．

只需即

解得x≤－3－或x≥－3＋.

∴实数x的取值范围是

(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．