2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第9章第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程

第一节　直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[最新考纲]　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0.

(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．

2．斜率公式

(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.当α＝90°时，直线斜率不存在．

(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.

3．直线方程的五种形式

1．直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系

如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．

2．求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

3．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)

(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．已知两点A(－3，)，B(，－1)，则直线AB的斜率是(　　)

A.　　　　　　　　 B．－

C.   D．－

D　[kAB＝＝－，故选D.]

2．过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为(　　)

A.x－3y＋6＋＝0

B.x－3y－6＋＝0

C.x＋3y＋6＋＝0

D.x＋3y－6＋＝0

A　[直线的斜率k＝tan 30°＝.

由点斜式方程得y－2＝(x＋1)，即x－3y＋6＋＝0，故选A.]

3．如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

C　[法一：由Ax＋By＋C＝0得y＝－x－.

又AC＜0，BC＜0，故AB＞0，从而－＜0，－＞0，

故直线不通过第三象限．故选C.

法二：取A＝B＝1，C＝－1，则直线x＋y－1＝0，其不过第三象限，故选C.]

4．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．

4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0　[若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0.

若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1，

所以直线方程为x＋y＋1＝0.]

考点1　直线的倾斜角与斜率

　求倾斜角的取值范围的一般步骤

(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．

(2)利用三角函数的单调性，借助图像，确定倾斜角α的取值范围．

提醒：求倾斜角时要注意斜率是否存在．

　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)　[(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.由于α∈，所以≤cos α≤，因此k＝2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是.

(2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，

要使过点P的直线l与线段AB有公共点，

只需k≥1或k≤－，即直线l斜率的取值范围为(－∞，－]∪[1，＋∞)．]

[母题探究]

1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．

[解]　∵P(－1,0)，A(2,1)，

B(0，)，

∴kAP＝＝，kBP＝＝.

如图可知，直线l斜率的取值范围为.

2．若将本例(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．

[解]　如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，

由图像知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．

　(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想；

(2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．

　1.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于(　　)

A.1±或0   B.或0

C.   D.或0

A　[∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，

∴kAB＝kAC，

即＝，即a(a2－2a－1)＝0，

解得a＝0或a＝1±.故选A.]

2．直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．

　[直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，

所以k＝tan α≥1.

又y＝tan α在上是增函数，因此≤α<.]

考点2　直线方程的求法

　求直线方程的2种方法

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

(2)待定系数法：即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组)，再求出参数，最后将其代入直线方程．

　求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；

(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.

[解]　(1)法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.

若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.

法二：由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，

设直线方程为y－2＝k(x－3)，

令y＝0，得x＝3－，

令x＝0，得y＝2－3k，

由已知3－＝2－3k，

解得k＝－1或k＝，

∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，

即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.

(2)设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－×3＝－.

又直线经过点A(－1，－3)，

因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

即3x＋4y＋15＝0.

(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.

解方程组

求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．

设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，

解方程组得两直线交点为

(k≠－2，否则与已知直线平行)．

则B点坐标为.

由已知2＋2＝52，

解得k＝－，

∴y＋1＝－(x－1)，

即3x＋4y＋1＝0.

综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.

　求直线方程应注意2点

(1)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．

(2)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．

[教师备选例题]

求适合下列条件的直线的方程：

(1)在y轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是；

(2)经过点(－，3)，且倾斜角为直线x＋y＋1＝0的倾斜角的一半；

(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

[解]　(1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝.

∴cos α＝±，直线的斜率k＝tan α＝±.

又直线在y轴上的截距是－5，

由斜截式得直线方程为y＝±x－5.

即3x－4y－20＝0或3x＋4y＋20＝0.

(2)由x＋y＋1＝0得此直线的斜率为－，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为.

又过点(－，3)，所以所求直线方程为y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0.

(3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.

当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，

即kx－y＋(10－5k)＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.

此时直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

　已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：

(1)BC边所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

[解]　(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.

(2)设BC边的中点D(x，y)，则x＝＝0，y＝＝2.

BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC的斜率k1＝－，则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．

所求直线方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.

考点3　直线方程的综合应用

　处理直线方程综合应用的2大策略

(1)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．

(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．

　(1)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝________.

(2)过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．

①当△AOB面积最小时，求直线l的方程；

②当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．

(1)　[由题意知直线l1，l2恒过定点(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，又0<a<2，所以当a＝时，面积最小．]

(2)[解]　设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，

因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.

①＋＝1≥2＝，所以ab≥16，

当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，

所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，

此时直线l的方程为＋＝1，即x＋4y－8＝0.

②因为＋＝1，a＞0，b＞0，

所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)

＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.

　本例(2)借助直线方程间接给出等量关系“＋＝1”，在求最值中基本不等式起了“穿针引线”的作用．

　1.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

5　[由动直线x＋my＝0求得定点A(0,0)，动直线mx－y－m＋3＝0，即y－3＝m(x－1)，所以得定点B(1,3)．当m＝0时，两条动直线垂直，当m≠0时，因为·m＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，所以|PA|·|PB|的最大值是5.]

2．已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，则当||·||取得最小值时直线l的方程为________．

x＋y－3＝0　[设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，

直线l的方程为＋＝1，所以＋＝1.

||·||＝－·

＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)

＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5

＝(2a＋b)－5＝＋≥4，

当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.]