2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第10章第1节算法与算法框图

第一节　算法与算法框图

[最新考纲]　1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解算法框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．

1．常用算法框图及其功能

2．三种基本逻辑结构

(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为

(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为

(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为

3．基本算法语句

任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．

4．赋值语句

(1)一般形式：变量＝表达式．

(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．

5．条件语句

(1)If－Then－Else语句的一般格式为：

If　条件　Then

  语句1

Else

  语句2

End If

(2)If－Then语句的一般格式是：

If　条件　Then

  语句

End If

6．循环语句

(1)For语句的一般格式：

For循环变量＝初始值To终值

  循环体

Next

(2)Do Loop语句的一般格式：

Do

循环体

Loop While　条件为真

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)一个程序框一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．(　　)

(2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．(　　)

(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．(　　)

(4)在赋值语句中，x＝x＋1是错误的．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．如图所示的算法框图的运行结果为(　　)

A．2　　 B．2.5　　　　

C．3　　 D．3.5

B　[因为a＝2，b＝4，所以输出S＝＋＝2.5.故选B.]

第1题图　 　　　　　第2题图

2．执行如图所示的算法框图，若输出的S为4，则输入的x应为(　　)

A．－2 B．16

C．－2或8 D．－2或16

D　[算法框图是求函数S＝ 的函数值，S＝4时，x＝－2或16.故选D.]

3．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)

A．－10 B．6 

C．14 D．18

B　[由题意知：i＝2，S＝20－2＝18；i＝4，S＝18－4＝14；i＝8，S＝14－8＝6，

满足i＞5的条件，结束循环，输出S的值为6，故选B.]

第3题图　　　　　　　　　第4题图

4．已知函数y＝|x－3|，如图所示算法框图表示的是给定x值，求其相应函数值y的算法．请将该算法框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．

x＜3？　y＝x－3　[由y＝|x－3|＝及算法框图知，

①处应填x＜3？，②处应填y＝x－3.]

考点1　算法框图的执行问题

　解决“输入、输出型”问题的思路

(1)要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构．注意区分当型循环和直到型循环，循环结构中要正确控制循环次数，要注意各个框的顺序．

(2)要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题．

(3)按照题目的要求完成解答并验证．

　1.阅读如图所示的算法框图，若输入的a，b，c的值分别是21,32,75，则输出的a，b，c分别是(　　)

A．75,21,32　　　　 B．21,32,75

C．32,21,75 D．75,32,21

A　[当a＝21，b＝32，c＝75时，依次执行算法框图中的各个步骤：x＝21，a＝75，c＝32，b＝21，所以a，b，c的值依次为75,21,32.]

第1题图　　　　　　　第2题图

2．(2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的算法框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于(　　)

A．2－ B．2－

C．2－ D．2－

C　[输入的ε为0.01，x＝1，s＝0，x＝＞0.01，不满足条件；

s＝0＋1＋，x＝＞0.01，不满足条件；

…

s＝0＋1＋＋…＋，x＝＝0.007 812 5<0.01，满足条件，

输出s＝1＋＋…＋＝2＝2－，故选C.]

3．(2019·银川一模)执行如图所示的算法框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为(　　)

A．6 

B．10 

C．8 

D．4

C　[执行算法框图，可知：

第一次循环：n＝1＋3＝4，S＝2×1＋4＝6；

第二次循环：n＝4＋3＝7，S＝2×6＋7＝19；

第三次循环：n＝7＋3＝10，S＝2×19＋10＝48，

要使得输出的结果为48，根据选项可知k＝8，故选C.]

4．(2019·珠海二模)如图的算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法框图，若输入的a，b分别为176,320，则输出的a为(　　)

A．16 B．18 

C．20 D．15

A　[由a＝176，b＝320，a≠b，且不满足a>b，

则b＝320－176＝144，

由a>b，则a＝176－144＝32，

由a<b，则b＝144－32＝112，

由a<b，则b＝112－32＝80，

由a<b，则b＝80－32＝48，

由a<b，则b＝48－32＝16，

由a>b，则a＝32－16＝16，

由a＝b，退出循环，输出a＝16.故选A.]

　(1)解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到程序终止．(2)对于算法案例，可依据算法框图将抽象的数学问题转变为具体步骤化的逻辑思维问题．

考点2　算法框图的功能识别

　辨析算法框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．

　1.已知某算法的算法框图如图所示，则该算法的功能是(　　)

A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和

B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和

C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和

D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和

C　[由算法框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.]

第1题图　　　   　　　　第2题图

2．如图所示的算法框图所实现的功能是(　　)

A．输入a的值，计算(a－1)×32 021＋1的值

B．输入a的值，计算(a－1)×32 020＋1的值

C．输入a的值，计算(a－1)×32 019＋1的值

D．输入a的值，计算(a－1)×32 018＋1的值

B　[由算法框图，可知a1＝a，an＋1＝3an－2，由i的初值为1，末值为2 019，可知，此递推公式共执行了2 019＋1＝2 020次，又由an＋1＝3an－2，得an＋1－1＝3(an－1)，得an－1＝(a－1)×3n－1.即an＝(a－1)×3n－1＋1，

故a2 021＝(a－1)×32 021－1＋1＝(a－1)×32 020＋1，故选B.]

3．如果执行如图的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则(　　)

A．A＋B为a1，a2，…，aN的和

B．为a1，a2，…，aN的算术平均数

C．A和B分别是a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数

D．A和B分别是a1，a2，…，aN中最小的数和最大的数

C　[易知A，B分别为a1，a2，…，aN中最大的数和最小的数．故选C.]

考点3　算法框图的补充与完善

　具体解题方法有以下两种：一是先假定空白处填写的条件，再正面执行程序，来检验填写的条件是否正确；二是根据结果进行回溯，直至确定填写的条件是什么．

 　(1)(2019·全国卷Ⅰ)如图是求的算法框图，图中空白框中应填入(　　)

A．A＝ B．A＝2＋

C．A＝ D．A＝1＋

(2)(2017·全国卷Ⅰ)如图所示的算法框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入(　　)

A．A>1 000和n＝n＋1   B．A>1 000和n＝n＋2

C．A≤1 000和n＝n＋1   D．A≤1 000和n＝n＋2

(1)A　(2)D　[(1)执行第1次，A＝，k＝1≤2，是，因为第一次应该计算＝，k＝k＋1＝2，循环，执行第2次，k＝2≤2，是，因为第二次应该计算＝，k＝k＋1＝3，循环，执行第3次，k＝3≤2，否，输出A，故循环体为A＝，故选A.

秒杀速解：认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A＝.

(2)因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内填入“n＝n＋2”．由算法框图知，当内的条件不满足时，输出n，所以内填入“A≤1 000”．故选D.]

　确定控制循环变量的思路，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．

[教师备选例题]

1．如图是计算1＋＋＋…＋的值的算法框图，则图中①②处应填写的语句分别是(　　)

A．n＝n＋2，i>16　  B．n＝n＋2，i≥16

C．n＝n＋1，i>16　  D．n＝n＋1，i≥16

A　[式子1＋＋＋…＋中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列．

由31＝1＋(k－1)×2，得k＝16，即数列共有16项．]

2．如图1是某县参加2019年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．如图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写(　　)

图1　　　　　　　图2

A．i<6？　 B．i<7？　

C．i<8？　 D．i<9?

C　[统计身高在160～180 cm的学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．]

　1.(2019·开封一模)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－，利用如图算法框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是(　　)

A．n≤2 012 B．n≤2 015

C．n≤2 017 D．n≤2 018

C　[通过分析，本算法框图为“当型”循环结构，

判断框内为满足循环的条件，

循环前，A＝，n＝1；

第1次循环，A＝1－2＝－1，n＝1＋1＝2；

第2次循环，A＝1＋1＝2，n＝2＋1＝3；

第3次循环，A＝1－＝，n＝3＋1＝4；

…

所以，程序运行时计算A的值是以3为周期循环，

当程序运行后输出A＝2时，n＋1能被3整除，此时不满

足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C.故选C.]

第1题图　　　　　　　　第2题图

2．(2019·郑州二模)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知f(x)＝2 019x2 018＋2 018x2 017＋…＋2x＋1，算法框图设计的是求f(x0)的值，在M处应填的执行语句是(　　)

A．n＝2 018－i B．n＝2 019－i

C．n＝i＋1 D．n＝i＋2

B　[由已知中的算法框图可知：该算法框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合算法框图的功能可知： n的值为多项式的系数，为2 019,2 018,2 017，…，1，由算法框图可知，处理框处应该填入n＝2 019－i.故选B.]