2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第11章第5节离散型随机变量及其分布列

第五节　离散型随机变量及其分布列

[最新考纲]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．

1．离散型随机变量的分布列

(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．

(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．

(3)设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…，ai，…，ar，随机变量X取ai的概率为pi(i＝1,2，…，r)，记作：P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)，

或把上式列表：

称为离散型随机变量X的分布列．

(4)性质：

①pi≥0，i＝1,2，…，r；

②p1＋p2＋…＋pr＝1.

2．超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么

P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．

如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．(　　)

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．设随机变量X的分布列如下：

则p为(　　)

A．　 B．　　　

C．　 D．

C　[由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]

2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)

A． B． 

C． D．

D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]

3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．

0,1,2,3　[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.]

4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．

　[因为X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列为

]

考点1　离散型随机变量的分布列的性质

　分布列性质的2个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．

　1.随机变量X的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．

　　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.]

2．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．

(1)求a；

(2)求P；

(3)求P.

[解]　(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，

所以a＝.

(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.

(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.

　由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．

[教师备选例题]

设离散型随机变量X的分布列为

(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；

(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；

(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．

[解]　(1)由分布列的性质知，

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.

首先列表为：

从而Y＝2X＋1的分布列为

(2)列表为

∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，

P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，

P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，

P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.

故η＝|X－1|的分布列为

(3)首先列表为

从而ξ＝X2的分布列为

考点2　求离散型随机变量的分布列

　离散型随机变量分布列的求解步骤

(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．

(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．

(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．

(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．

[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200,300,400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)

＝1－－＝＝.

故X的分布列为

　求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”．

[教师备选例题]

一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．

(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；

(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．

[解]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.

(2)由题意知，X的可能取值为1,2,3,4，且

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.

所以随机变量X的分布列是

　袋子中有1个白球和2个红球．

(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；

(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；

(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．

[解]　(1)X可能取值1,2,3.

P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X分布列为

(2)X可能取值为1,2,3,4,5.

P(X＝k)＝k－1×，k＝1,2,3,4，

P(X＝5)＝4.故X分布列为

(3)因为X～B，所以X的分布列为

P(X＝k)＝Ck5－k，k＝0,1,2,3,4,5.

考点3　超几何分布

　求超几何分布的分布列的步骤

　端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)求三种粽子各取到1个的概率；

(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．

[解]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则

P(A)＝＝.

(2)X的所有可能值为0,1,2，且

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝.

综上知，X的分布列为

[母题探究]

1．在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．

[解]　由题意知，至少有一个豆沙粽的概率

P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

2．若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．

[解]　由题意知X的所有可能值为1,2,3，且

P(X＝1)＝＝＝，

P(X＝3)＝＝＝，

P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.

综上可知，X的分布列为

　 超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．

[教师备选例题]

(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．

【解】　(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．

则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝3)＝＝，则P(X＝2)＝1－－－＝，

所以，随机变量X的分布列为

②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B＋C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，

故P(A)＝P(B＋C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.

所以，事件A发生的概率为.

　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

[解]　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列为

(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.

由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，

而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，

P(A3)＝P(X＝3)＝.

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为

P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.