2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第1章第3讲　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础知识整合

1．全称量词和存在量词

(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：∀x∈M，p(x).

(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0).

2．含有一个量词的命题的否定

1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定

2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与¬p→真假相反．

3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．

4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．

5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．

6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．

1．命题p：“∀x∈N*，x≤”的否定为(　　)

A．∀x∈N*，x> B．∀x∉N*，x>

C．∃x∉N*，x> D．∃x∈N*，x>

答案　D

解析　全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D．

2．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么(　　)

A．命题p一定是真命题

B．命题q一定是真命题

C．命题q一定是假命题

D．命题q可以是真命题也可以是假命题

答案　D

解析　∵¬p是真命题，∴p是假命题，又p∧q是假命题，∴q可真可假，故选D．

3．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,3] B．(－1,3)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

答案　D

解析　因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”等价于“x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝ (a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.

4．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(¬q)表示(　　)

A．甲、乙两人数学成绩都低于100分

B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分

C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分

D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分

答案　D

解析　因为命题q：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p∨(¬q)表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D．

5．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是(　　)

A．命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|＝5，则x≠5”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1<0”

D．命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题

答案　D

解析　A中，命题“若|x|＝5，则x＝5”的否命题为“若|x|≠5，则x≠5”，故A不正确；B中，由x2－5x－6＝0，解得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B不正确；C中，“∃x0∈R,3x＋2x0－1>0”的否定是“∀x∈R,3x2＋2x－1≤0”，故C不正确；D中，命题“若x＝y，则sinx＝siny”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D正确，故选D．

6．(2019·广东深圳三校联考)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是(　　)

A．p∧q B．p∧(¬q)

C．(¬p)∧(¬q) D．(¬p)∧q

答案　D

解析　命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0<a<4，综上，可得实数a∈[0,4)，因此p是假命题，则¬p是真命题；

命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p)∧q是真命题．故选D．

核心考向突破

考向一　含有逻辑联结词命题真假的判断

例1　(1)在一次驾照考试中，甲、乙两位学员各试驾一次．设命题p是“甲试驾成功”，q是“乙试驾成功”，则命题“至少有一位学员没有试驾成功”可表示为(　　)

A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)

C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q

答案　A

解析　命题“至少有一位学员没有试驾成功”包含以下三种情况：“甲、乙均没有试驾成功”“甲试驾成功，乙没有试驾成功”“乙试驾成功，甲没有试驾成功”．故选A．

(2)(2020·安庆模拟)设命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)

A．p∧(¬q) B．(¬p)∧q

C．p∧q D．(¬p)∨q

答案　A

解析　命题p：∃x0∈(0，＋∞)，x0＋>3，当x0＝3时，x0＋＝>3，命题p为真；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，当x＝4时，42＝24，命题q为假，所以p∧(¬q)为真，故选A．

判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤

(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．

(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．

(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p和¬p真假相反”，作出判断．

[即时训练]　1.(2019·衡水模拟)已知命题p：∃x>e，x>ln x；命题q：∀a>1，b>1，logab＋2logba≥2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．(¬p)∧q B．p∧q

C．p∧(¬q) D．p∨(¬q)

答案　A

解析　因为∀x>e，x<1<ln x，因此命题p是假命题；因为∀a>1，b>1，logab>0，logba>0，所以logab＋2logba＝logab＋≥2＝2，当且仅当logab＝时取等号．因此q是真命题．则为真命题的是(¬p)∧q.故选A．

2．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是________.

①p为真  ②¬q为假

③p∧q为假  ④p∨q为真

⑤(¬p)∧(¬q)为真  ⑥¬(p∨q)为真．

答案　③⑤⑥

解析　p，q均为假，故p∧q为假，p∨q为假，(¬p)∧(¬q)为真，¬(p∨q)为真．

角度　　全称命题、特称命题的否定

例2　(1)(2019·贵州联考)已知命题p：∀x >0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为(　　)

A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1

B．∃x0>0，使得(x0 ＋1)e x0≤1

C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1

D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1

答案　B

解析　命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1的否定为∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1，故选B．

(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

答案　B

解析　根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．

[即时训练]　3.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2

C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n<x

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n<x

答案　D

解析　先将条件中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，再否定结论．故选D．

4．命题“奇数的立方是奇数”的否定是____________________.

答案　存在一个奇数，它的立方不是奇数

解析　此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．

角度　　全称命题、特称命题真假的判断

例3　以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使>2

答案　B

解析　选项A中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A是假命题；选项B中，当x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；选项C中，因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；选项D中，对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．故选B．

全称命题与特称命题真假性的两种判断方法

不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.

[即时训练]　5.(2020·江西师大附中月考)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(－x)≠f(x) B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)

C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0) D．∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)

答案　C

解析　设命题p：∀x∈R，f(x)＝f(－x)，∵f(x)不是偶函数，∴p是假命题，则¬p是真命题，又¬p：∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)，故选C．

考向三　利用复合命题的真假求参数范围

例4　(1)(2019·山西大同质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得x＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．[1,4] B．[1，e]

C．[e,4] D．[4，＋∞)

答案　C

解析　若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]．故选C．

(2)(2019·金华联考)已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1>0的解集为R.若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是________.

答案　(1,2]∪[3，＋∞)

解析　p为真命题，有解得m>2.

q为真命题，有Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1<0，解得1<m<3.

由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．

当p真q假时，由得m≥3；

当p假q真时，由得1<m≤2.

综上，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．

根据命题真假求参数的方法步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况；本例(2)中有两种情况)．

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

[即时训练]　6.已知命题p：关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q：函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________.

答案　∪[1，＋∞)

解析　由关于x的不等式ax>1(a>0，a≠1)的解集是{x|x<0}，知0<a<1；

由函数y＝lg (ax2－x＋a)的定义域为R，知

不等式ax2－x＋a>0的解集为R，

则解得a>.

因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，

所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，

故或

解得a≥1或0<a≤，

故实数a的取值范围是∪[1，＋∞)．