2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第6章第2讲　等差数列及其前n项和

第2讲　等差数列及其前n项和

基础知识整合

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.

等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.

(7)若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.

(8)若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．

(9)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)．

(10)由公式Sn＝na1＋得＝a1＋d

＝n＋a1－，因此数列是等差数列，首项为a1，公差为等差数列{an}公差的一半．

(11)等差数列与函数的关系

①an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数．当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．

②Sn＝n2＋n.当d≠0时，它是关于n的二次函数．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

1．(2019·河北邯郸模拟)在等差数列{an}中，a3＋a4＝12，公差d＝2，则a9＝(　　)

A．14  B．15

C．16  D．17

答案　D

解析　⇒a1＝1，

∴a9＝a1＋8d＝1＋16＝17.故选D.

2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5  B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n  D．Sn＝n2－2n

答案　A

解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A.

3．(2019·湖北武汉调研)若等差数列{an}的前n项和Sn满足S4＝4，S6＝12，则S2＝(　　)

A．－1  B．0

C．1  D．3

答案　B

解析　根据等差数列的性质，可得S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，因此S2＝0.故选B.

4．(2019·宁夏银川模拟)在等差数列{an}中，S5＝25，a2＝3，则a7＝(　　)

A．13  B．12

C．15  D．14

答案　A

解析　∵S5＝＝5a3＝25，∴a3＝5，又a2＝3，∴d＝a3－a2＝2，∴a7＝a3＋4d＝5＋8＝13.故选A.

5．(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝________.

答案　100

解析　∵{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，∴公差d＝＝＝2，首项a1＝a3－2d＝5－2×2＝1，

∴S10＝10a1＋d＝100.

6．(2019·北京高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．

答案　0　－10

解析　∵a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，

∴a1＝－4，d＝1，

∴a5＝a1＋4d＝0，

∴an＝a1＋(n－1)d＝n－5.

令an<0，则n<5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后为正．

∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10.

核心考向突破

考向一　等差数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(1)(2019·西安八校联考)设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)

A．S4<S3  B．S4＝S3

C．S4>S1  D．S4＝S1

答案　B

解析　设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得

解得于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋×3＝－18，S4＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S4＝S3，S4<S1.故选B.

(2)(2019·潍坊模拟)在等差数列{an}中，公差d≠0，若lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，且a5＝10，则{an}的前5项和S5＝(　　)

A．40  B．35

C．30  D．25

答案　C

解析　因为lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，所以2lg a2＝lg a1＋lg a4⇒lg a＝lg a1a4⇒a＝a1a4⇒d2＝a1d，因为d≠0，所以a1＝d，又a5＝a1＋4d＝10，所以a1＝2，d＝2，S5＝5a1＋d＝30.选C.

(3)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.

答案　4

解析　由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，

所以S10＝10a1＋d＝100a1，

S5＝5a1＋d＝25a1，所以＝4.

等差数列计算中的两个技巧

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量转换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

[即时训练]　1.(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)

A．－12  B．－10

C．10  D．12

答案　B

解析　设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.故选B.

2．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．

答案　16

解析　解法一：由S9＝27⇒＝27⇒a1＋a9＝6⇒2a5＝6⇒2a1＋8d＝6且a5＝3.

又a2a5＋a8＝0⇒2a1＋5d＝0，

解得a1＝－5，d＝2.

故S8＝8a1＋d＝16.

解法二：同解法一得a5＝3.

又a2a5＋a8＝0⇒3a2＋a8＝0⇒2a2＋2a5＝0⇒a2＝－3.

∴d＝＝2，a1＝a2－d＝－5.

故S8＝8a1＋d＝16.

3．已知数列{an}中，a3＝7，a7＝3，且是等差数列，则a10＝________.

答案　

解析　设等差数列的公差为d，

∵是等差数列，＝，＝，

∴＝＋4d，即＝＋4d，解得d＝，故＝＋7d＝＋7×＝，解得a10＝.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　等差数列的性质

角度1　　等差数列项的性质

例2　(1)(2019·温州模拟)等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值是(　　)

A．14  B．15

C．16  D．17

答案　C

解析　因为{an}是等差数列，所以a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，所以a8＝24.所以a9－a11＝a8＋d－(a8＋3d)＝a8＝16.故选C.

(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是(　　)

A．S6  B．S7

C．S8  D．S9

答案　D

解析　由a2＋a5＋a8＝30可得3a5＝30，所以a5＝10，S6＝3(a1＋a6)不一定是定值；S7＝(a1＋a7)不一定是定值；S8＝4(a1＋a8)不一定是定值；S9＝＝＝90.选D.

等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ak(n＋m＝2k，n，m，k∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量．

[即时训练]　4.(2019·河南豫南、豫北联考)等差数列{an}中，a4＋a10＋a16＝30，则a18－2a14的值为(　　)

A．20  B．－20

C．10  D．－10

答案　D

解析　∵a4＋a10＋a16＝3a10＝30，∴a10＝10，又2a14＝a18＋a10，∴a18－2a14＝－a10＝－10，故选D.

5．(2019·福建漳州模拟)在等差数列{an}中，若S9＝18，Sn＝240，an－4＝30，则n的值为(　　)

A．14  B．15

C．16  D．17

答案　B

解析　由等差数列的性质知S9＝＝9a5＝18，∴a5＝2，又an－4＝30.∴Sn＝＝＝16n＝240，∴n＝15.故选B.

角度2　　等差数列前n项和的性质

例3　(1)(2019·四川双流中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40＝(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

答案　B

解析　由等差数列的性质知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差数列，设其公差为d，∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S20＝S10＋＝1＋＝.∴d＝(S20－S10)－S10＝，∴S40－S30＝1＋3×＝3，∴S40＝8.故选B.

(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.

答案　5

解析　设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得

又因为S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.

等差数列前n项和的性质

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则：

(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列；

 (2)也为等差数列；

 (3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

 (4)S2n－1＝(2n－1)an；

 (5)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．

[即时训练]　6.(2019·大同模拟)在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则a50＝(　　)

A．－22.5  B．－21.5

C．28.5  D．20

答案　C

解析　由(a51＋a52＋…＋a100)－(a1＋a2＋…＋a50)＝50×50d＝2700－200，得d＝1.由a1＋a100＋a2＋a99＋…＋a50＋a51＝50(a50＋a51)＝2700＋200＝2900，得a50＋a51＝58，即2a50＋d＝58，所以a50＝＝＝28.5.故选C.

7．(2019·汕头模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．4或5

答案　B

解析　由{an}为等差数列，得－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2，由于a1＝9，所以an＝－2n＋11，令an＝－2n＋11<0，得n>，所以Sn取最大值时的n为5，故选B.

考向三　等差数列的判定与证明　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例4　(1)(2019·辽宁大连模拟)数列{an}满足a1＝2，a2＝1并且＝－(n≥2)，则数列{an}的第100项为(　　)

A.  B.

C.  D.

答案　B

解析　∵＝－(n≥2)，∴＋＝，∴为等差数列，首项为＝，第二项为＝1，

∴d＝，∴＝＋99d＝50，∴a100＝.

(2)(2019·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.

①求a2，a3；

②证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．

解　①由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，

又因为a1＝1，所以a2＝6.

由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.

②证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，

得＝2，即－＝2，

所以数列是首项为＝1，公差为d＝2的等差数列，则＝1＋2(n－1)＝2n－1.

所以an＝2n2－n.

等差数列的判定方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立．

(3)通项公式法：验证an＝pn＋q.

(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.

提醒：在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断．

[即时训练]　8.(2019·河南郑州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝4,2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，当an＝298时，项数n＝(　　)

A．100  B．99

C．96  D．101

答案　A

解析　因为2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)，所以an－an－1＝an＋1－an.由a1＝1，a2＝4得d＝a2－a1＝3，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.由3n－2＝298，解得n＝100.故选A.

9．已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．

(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；

(2)求数列{an}的通项公式．

解　(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，

又a1＝1，∴a2＝.

2anan＋1＝4Sn－3，①

2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②

②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.

∵an≠0，∴an＋2－an＝2.

(2)由(1)可知：

数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，

∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，

则当n为奇数时，an＝n.

数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，

∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，

则当n为偶数时，an＝n－.

综上所述，an＝

学科素养培优（十）  破解等差数列前n项和的最值问题

1．(2019·长春市模拟)等差数列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，则其前n项和取最小值时，n的值为(　　)

A．6  B．7

C．8  D．9

答案　C

解析　∵|a6|＝|a11|且公差d>0，∴a6＝－a11，

∴a6＋a11＝a8＋a9＝0，且a8<0，a9>0，

∴a1<a2<…<a8<0<a9<a10<…

∴Sn取最小值时，n的值为8.故选C.

2．(2019·北京海淀模拟)等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为________时，Sn最大．

答案　7

解析　解法一：由S3＝S11，得

3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.

从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1.

又因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大．

解法二：由于f(x)＝ax2＋bx是关于x的二次函数，且(n，Sn)在二次函数f(x)的图象上，由S3＝S11，可知f(x)＝ax2＋bx的图象关于直线x＝＝7对称．由解法一可知a＝－<0，故当x＝7时，f(x)最大，即当n＝7时，Sn最大．

解法三：由解法一可知d＝－a1.要使Sn最大，

则有即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

解法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，

故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0，

所以a7>0，a8<0，所以当n＝7时，Sn最大．

答题启示

求等差数列前n项和最值的常用方法

(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.

(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．

(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足

的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小．若有零项，则使Sn取最值的n有两个．

对点训练

1．(2019·广东佛山模拟)设等差数列{an}满足3a8＝5a15，且a1>0，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为(　　)

A．S23  B．S24

C．S25  D．S26

答案　C

解析　设等差数列的公差为d，∵3a8＝5a15，∴3a1＋21d＝5a1＋70d，∴a1＋24d＝0.∵a1>0，∴d<0，∴a1＋24d＝a25>0，a1＋25d＝a26<0，∴数列{Sn}最大项为S25.故选C.

2．(2019·黑龙江哈尔滨模拟)已知数列{an}为等差数列，若<－1，且其前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为(　　)

A．11  B．19

C．20  D．21

答案　B

解析　∵Sn＝n2＋n有最大值，∴d<0，又<－1，∴a10>0，a11<0，∴a10＋a11<0，即a1＋a20<0，∴S20＝10(a1＋a20)<0，又S19＝＝19a10>0，∴使Sn>0的n的最大值为19.故选B.