2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十一章  计数原理、概率、随机变量及分布列

第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础知识整合

两个计数原理

两个计数原理的区别与联系

1．快递员去某小区送快递，该小区共有四个出入口，每个出入口均可进出，则该快递员进出该小区的方案种数为(　　)

A．6  B．8

C．16  D．14

答案　C

解析　方案种数为4×4＝16，故选C.

2．某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有(　　)

A．3种  B．6种

C．7种  D．9种

答案　C

解析　买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本有1种方案，因此共有方案3＋3＋1＝7(种)．

3．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是(　　)

A．2160  B．720

C．240  D．120

答案　B

解析　分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法．共有10×9×8＝720种分法．

4．(2019·九江模拟)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(　　)

A．40  B．16

C．13  D．10

答案　C

解析　分两类情况讨论：

第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．

5．高三某班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条祝福语，那么全班共写了________条祝福语．(用数字作答)

答案　1560

解析　由题意知两两彼此给对方写一条祝福语相当于每个同学都要写39条祝福语，所以全班共写了39＋39＋…＋39＝39×40＝1560条祝福语．

6．(2019·宁波模拟)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．

答案　260

解析　区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．

核心考向突破

考向一　分类加法计数原理

例1　(1)(2019·广西桂林模拟)如图，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能取其中一堆最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是(　　)

A．6  B．10

C．12  D．24

答案　B

解析　将图中左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3，右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两种情况讨论：若先取1，则有12345,12453,12435,14523,14235,14253，共6种取法；若先取4，则有45123,41235,41523,41253，共4种取法，故共有6＋4＝10种取法．

(2)(2020·河北保定摸底)甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为(　　)

A．8  B．7

C．6  D．5

答案　B

解析　根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有A＝2种情况，②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况，若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况，则不同的安排方法种数有2＋1＋4＝7种．故选B.

(3)(2019·沈阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．

答案　12

解析　若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．

使用分类加法计数原理时应注意的三方面

 (1)各类方法之间相互独立，每种方法都能完成这件事，且方法总数是各类方法数相加得到的．

 (2)分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类．

 (3)完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同类的方法都是不同的．

[即时训练]　1.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)

A．4种  B．10种

C．18种  D．20种

答案　B

解析　依题意，得可能剩余一本画册或一本集邮册两种情况．第一类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有4种；第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有C＝6(种)．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．

2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有(　　)

A．50个  B．45个

C．36个  D．35个

答案　C

解析　由题意，知十位上的数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8，共8类，在每一类中满足题目要求的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理，知符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个．

3．已知集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是(　　)

A．9  B．14

C．15  D．21

答案　B

解析　因为P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}．所以当x＝2时，y＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3,4,5,6,7,8,9，共有7种情况．故共有7＋7＝14种情况，即这样的点的个数为14.

考向二　分步乘法计数原理

例2　(1)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24  B．18

C．12  D．9

答案　B

解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路径．故选B.

(2)某体育彩票规定：从01至36共36个号中选出7个号为一注，每注2元．某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，若这个人把满足这种特殊要求的号买全，要花(　　)

A．3360元  B．6720元

C．4320元  D．8640元

答案　D

解析　从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选1个号有6种选法．由分步乘法计数原理，知共有8×9×10×6＝4320种选法，要花4320×2＝8640元．

(3)现安排一份5天的工作值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天或不值班，但相邻两天不能同一个人值班，则此值班表共有________种不同的排法．

答案　1280

解析　完成一件事是安排值班表，因而需一天一天地排，用分步计数原理，分步进行：

第一天有5种不同排法，第二天不能与第一天已排的人相同，所以有4种不同排法，依次类推，第三、四、五天都有4种不同排法，所以共有5×4×4×4×4＝1280种不同的排法．

利用分步乘法计数原理解题的策略

(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．

(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键，从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数．

[即时训练]　4.(2019·成都模拟)两对夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是(　　)

A．12  B．24

C．36  D．48

答案　B

解析　首尾要排两位爸爸有A＝2种排法；两个小孩排在一起，再与两位妈妈排列有A·A＝12种排法，根据分步乘法计数原理共有2×12＝24种排法．故选B.

5．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．

答案　240

解析　分步完成此事，第一步选1人去巴黎有4种方法，第二步选1人去伦敦有5种方法，第三步选1人去悉尼有4种方法，第四步选1人去莫斯科有3种方法，由分步乘法计数原理可知：共有4×5×4×3＝240种．

6．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．

答案　18　6

解析　一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理，知共有3×3×2＝18个不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　两个计数原理的综合应用

角度　　与数字有关的问题

例3　(1)(2019·山东济南模拟)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)

A．243      B．252

C．261    D．279

答案　B

解析　由分步乘法计数原理知：用0,1，…，9十个数字组成三位数(可有重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.

(2)(2020·北京西城区模拟)从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则所产生的不同对数值的个数为(　　)

A．56  B．54

C．53  D．52

答案　D

解析　在8个数字中任取2个不同的数字共可产生8×7＝56个对数值，在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，则满足条件的对数值共有56－4＝52个．

角度　　与几何有关的问题

例4　(1)从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有(　　)

A．8种  B．12种

C．16种  D．20种

答案　B

解析　正方体共有3组对面互不相邻．与正方体的每组对面相邻的面有4个，所以有3×4＝12(种)选法．

(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 (　　)

A．60  B．48

C．36  D．24

答案　B

解析　长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.

角度　　与涂色、种植有关的问题

例5　(1)用5种不同颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为(　　)

A．120  B．160

C．180  D．240

答案　C

解析　根据题意，因为规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，D有3种涂法，C有3种涂法，所以共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．故选C.

(2)(2019·四川泸州模拟)如图，将一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有3种不同的花供选种，要求在同一块中种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为(　　)

A．12  B．24

C．18  D．6

答案　C

解析　四块地种2种不同的花共有CA＝6种不同的种植方法，四块地种3种不同的花共有2A＝12种不同的种植方法，所以共有6＋12＝18种不同的种植方法，故选C.

利用两个计数原理解题时的三个注意点

(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．

(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．

(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．

[即时训练]　7.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)

A．48      B．18

C．24   D．36

答案　D

解析　分类讨论：

第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；

第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．

所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．

8．(2019·衡水二中检测)用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是(　　)

A．12  B．24

C．30  D．36

答案　C

解析　按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C×C＝24(种)，若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6(种)．综上可得不同的涂色方案的种数是30.

9．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0,0,2,1,5，为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车辆尾数为偶数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为(　　)

A．5  B．24

C．32  D．64

答案　D

解析　5日至9日，即5,6,7,8,9，有3天奇数日，2天偶数日，第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有23＝8种；第二步安排偶数日出行分两类：

第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2×2＝4种，

第二类，不安排甲的车，每天都有2种选择，共有22＝4种，

共计4＋4＝8种．

根据分步计数原理，不同的用车方案种数为8×8＝64.故选D.

10．(2019·合肥市模拟)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为(　　)

A．96  B．114

C．168  D．240

答案　C

解析　首先在a中种植，有4种不同方法，其次在b中种植，有3种不同方法，再次在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，最后在e中种植，有2种不同方法，所以不同的种植方法共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C.

赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216种．