2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第2讲　排列与组合

第2讲　排列与组合

基础知识整合

1．排列与排列数

(1)排列

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

(2)排列数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A.

2．组合与组合数

(1)组合

 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

(2)组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C.

3．排列数、组合数的公式及性质

解决排列与组合问题的“四项基本原则”

(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．

(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．

(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．

(4)先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．

1．若A＝10A，则n＝(　　)

A．1  B．8

C．9  D．10

答案　B

解析　原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理，得n＝8.

2．(2019·厦门模拟)5名男同学、6名女同学排成一排，要求男同学顺序一定且女同学顺序也一定，不同排法种数为(　　)

A．C  B．2C

C.   D.

答案　A

解析　共11名同学排成一排有11个位置．从11个位置中选出5个位置，共有C种选法，每一种选法的5个位置让男同学按着一定顺序去排，余下6个位置让女同学按一定顺序去排．

3．若原来站成一排的4个人重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置上，则不同的站法种数为(　　)

A．4  B．8

C．12  D．24

答案　B

解析　根据题意，分两步考虑：第一步，先从4个人里选1人，其位置不变，其他3人都不站在自己原来的位置上，站法有C＝4(种)；第二步，对于都不站在自己原来的位置上的3个人，有2种站法．故不同的站法共有4×2＝8(种)，故选B.

4．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是(　　)

A．20  B．19

C．10  D．9

答案　B

解析　“error”由5个字母组成，共有3个相同，这相当于5个人站队，只要给e，o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A，error拼写错误的种数为A－1＝19.

5．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　　)

A．84种  B．98种

C．112种  D．140种

答案　D

解析　由题意分析邀请的不同方法有：CC＋C＝112＋28＝140(种)．

6．用0～9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)

A．324  B．328

C．360  D．648

答案　B

解析　首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有AAA＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．

核心考向突破

考向一　排列问题

例1　有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．

(1)选其中5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排一排，女生必须站在一起；

(5)全体排一排，男生互不相邻；

(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；

(7)全体排一排，甲必须排乙前面；

(8)全部排一排，甲不排在左端，乙不排在右端．

解　(1)A＝2520种方法．

(2)A＝5040种方法．

(3)解法一：先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种方法．

解法二：先排排头和排尾有A种方法，其余位置有A种排法，故共有A－A＝3600种方法．

(4)将女生看成一个整体，用捆绑法，共有A·A＝576种方法．

(5)先排女生有A种，再将男生插空有A种，故共有A·A＝1440种方法．

(6)将甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲、乙有A种方法，再排中间三人有A种方法，最后将他们看作一个整体与剩下的2人全排列，有A种方法，故共有A·A·A＝720种方法．

(7)＝2520种方法．

(8)A－2A＋A＝3720种方法．

1．求解有限制条件排列问题的主要方法

2．解决有限制条件排列问题的策略

(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置．

(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类．

[即时训练]　1.用0,1,2,3,4,5这6个数字，

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？

(2)能组成多少个奇数数字互不相邻的六位数(无重复数字)?

解　(1)符合要求的四位偶数可分为三类．

第一类：0在个位时，有A个；

第二类：2在个位时，千位从1,3,4,5中选定1个，有A种，十位和百位从余下的数字中选，有A种，于是有A·A个；

第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A·A个．

由分类加法计数原理得，共有A＋2A·A＝156个．

(2)先排0,2,4，再让1,3,5插空，总的排法共AA＝144种，其中0在排头，将1,3,5插在后3个空的排法共有A·A＝12种，此时构不成六位数，故符合要求的六位数的个数为144－12＝132.

考向二　组合问题

例2　某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选择？

(1)只有一名女生当选；

(2)两队长当选；

(3)至少有一名队长当选；

(4)男生甲和女生乙当选；

(5)最多有两名女生当选．

解　(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选，故共有C·C＝350种．

(2)两队长当选，共有C·C＝165种．

(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故共有C·C＋C·C＝825种．(或采用排除法：C－C＝825种)

(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，有C＝165种．

(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C·C＋C·C＋C＝966种．

1．组合问题常见的两类题型

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

2．有限制条件的组合问题的解题思路

从限制条件入手．因组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单．常见情况有：

①某些元素必选；

②某些元素不选；

③把元素分组，根据在各组中分别选多少，分类；

④排除法．

[即时训练]　2.(2020·山西康杰中学模拟)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、历史两科中选考一科，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，则考生的选考方法共有(　　)

A．6种  B．12种

C．18种  D．24种

答案　B

解析　从物理、历史两科中选考一科，有C＝2种方法，从化学、生物、政治、地理四科中选考两科，有C＝6种方法，所以考生共有2×6＝12种选考方法．故选B.

3．(2018·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答)．

答案　16

解析　根据题意，没有女生入选有C＝4种选法，从6位学生中任意选3人有C＝20种选法，故至少有1位女生入选的不同选法共有20－4＝16种．

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　排列、组合的综合应用

角度　　特殊元素(位置)问题

例3　(1)(2019·福建漳州联考)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有(　　)

A．34种  B．48种

C．96种  D．144种

答案　C

解析　特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C·A·A＝96(种)排法．故选C.

(2)(2020·山西大同摸底)从10种不同的作物种子中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法种数为(　　)

A．CA  B．CA

C．CA  D．CA

答案　C

解析　先排第1号瓶，从除甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有C种选法，再排剩余的瓶子，有A种方法，故不同的放法共有CA种，故选C.

角度　　相邻、相间问题

例4　(1)(2019·江西吉安联考)某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在同一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有(　　)

A．12种  B．24种

C．18种  D．36种

答案　D

解析　元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有C＝3种选法，再将2个“元素”安排坐四部电梯有A＝12种安排方法，则不同的乘坐方式有3×12 ＝36种．故选D.

(2)(2019·湖北联考)某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．

答案　10

解析　设停车位有n个，

这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种，

恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一个插入到将(n－3)个停车位排放好所成的(n－2)个间隔中，故有AA种，

因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，

所以A＝AA，解得n＝10.

角度　　分组、分配问题

例5　(1)(2019·合肥模拟)现有三本相同的语文书和一本数学书，分发给三个学生，每个学生至少分得一本，不同分法的种数为(　　)

A．36  B．9

C．18  D．15

答案　B

解析　分配方案为2,1,1，其中有且仅有一个学生拿两本书，若他拿两本语文书，则此时共有CA种分法；若他拿一本语文书一本数学书，则此时共有C种分法．因此共有CA＋C＝9种不同的分法．故选B.

(2)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．

答案　360

解析　将6名教师分组，分三步完成：

第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．

根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．

再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，

故共有60×6＝360种不同的分法．

[即时训练]　4.(2020·惠州摸底)旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为(　　)

A．24  B．18

C．16  D．10

答案　D

解析　分两种情况，第一种：最后体验甲景区，则有A种可选的路线；第二种：不在最后体验甲景区，则有CA种可选的路线．所以小李可选的旅游路线数为A＋CA＝10.故选D.

5．(2019·衡水中学高三上学期四调)某校毕业典礼由6个节目组成，考虑到整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种．

答案　120

解析　①当甲排在首位，丙丁捆绑，自由排列，共有A×A＝48种．

②当甲排在第二位，首位不能是丙和丁，共有3×A×A＝36种．

③当甲排在第三位，前两位分别是丙丁和不是丙丁两种情况，共有A×A＋A×A×A＝36种，因此共有48＋36＋36＝120种．

6．(2019·湖南师范大学附中模拟)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名高级教师(不同姓)到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为________．

答案　360

解析　解法一：根据6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少去1人，可分四种情况：

①甲校安排1名教师，分配方案种数有

C(CCA＋CCA)＝150；

②甲校安排2名教师，分配方案种数有

C(CCA＋CC)＝140；

③甲校安排3名教师，分配方案种数有

CCCA＝60；

④甲校安排4名教师，分配方案种数有

CCC＝10；

由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)分配方案．

解法二：由6名教师到三所学校，每所学校至少去1人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.

②对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC＝20(种)；李老师分配到四人组且该组不去甲校有CCA＝40(种)，则第一种情况共有20＋40＝60(种)．

②对于第二种情况，李老师分配到一人组有CCCA＝40(种)，李老师分配到三人组有CCCA＝120(种)，李老师分配到两人组有CCCA＝80(种)，所以第二种情况共有40＋80＋120＝240(种)．

③对于第三种情况，共有CCCC＝60(种)；

综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)分配方案．

学科素养培优（二十一）

相同元素的分配问题(隔板法)

将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中．

(1)若每个盒子中至少有一个小球，则不同放法有多少种？

(2)若每盒可空，则不同的放法有多少种？

解　(1)将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“|”看作隔板，则如图○○|○○○○|○○○○|○○，隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数．这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应一种放法，所以不同的放法有C＝165(种)．

(2)因为每盒可空，所以隔板之间允许无球，那么插入法就无法应用，现建立如下数学模型．将三块隔板与12个球排成一排，则如图○○○||○○○○○|○○○○中的隔板将这一排球分成四块．从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即图中1,2,3,4四个盒子相应放入3个，0个，5个，4个小球．这样每一种隔板与球的排列法，就对应了球的一种放法．排列的位置有15个，先从这15个位置中选出3个位置放隔板有C种排法，再在余下的位置放球，只有一种放法，所以隔板与球的排列法有C种，即球的放法有C＝455(种)．

答题启示

隔板法的解题步骤

(1)定个数：确定名额的个数、分成的组数以及各组名额的数量．

(2)定空位：将元素排成一列，确定可插隔板的空位数．

(3)插隔板：确定需要的隔板个数，根据组数要求，插入隔板，利用组合数求解不同的分法种数．

(4)回顾反思：隔板法的关键在于准确确定空位个数以及需要的隔板个数，使用这种方法需要注意两个方面的问题：一是要根据题意确定能否转化为“每组至少一个”的问题，以便确定能否利用隔板法；二是要注意准确确定空位数以及需要的隔板数，一般来说，两端不能插隔板．

对点训练

1．某市拟成立一个由6名高中学生成立的调查小组，并准备将这6个名额分配给本市的4所重点中学，要求每所重点中学都有学生参加，那么不同名额分配方法的种数是(　　)

A．10  B．20

C．24  D．28

答案　A

解析　如图所示，6个名额排成一列，6个名额之间有5个空，任找3个空插入隔板就是一种名额分配方法，故共有C＝10(种)分配方法．

2．(2020·汕头市高三上学期期末)把分别写有1,2,3,4,5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．

答案　36

解析　先将卡片分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡片，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这5个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有C＝6种情况，再对应到3个人，有A＝6种情况，则共有6×6＝36种分法．