2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：选修4－5第2讲不等式的证明

选修 4－5 不等式选讲
第2讲　不等式的证明
基础知识整合

1．比较法
比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．
名称
作差比较法
作商比较法
理论
依据
a>b⇔a－b>0
a a＝b⇔a－b＝0
b>0，>1⇒a>b
b<0，>1⇒a 适用
类型
适用于具有多项式特征的不等式的证明
主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明
证明
步骤
作差→变形→判断符号→得出结论
作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论
2．综合法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．
3．分析法
证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．
4．反证法
证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．
5．放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．
6．平均值不等式
如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
7．柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式
定理1　若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)柯西不等式的向量形式
定理2　设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．
2．如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
3．高考命题专家说：“放缩是一种能力．”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！

1．已知0 A．MN
C．M＝N D．不确定
答案　B
解析　由已知得00.故M>N.
2．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是(　　)
A．ac－b
C．|a|>|b|－|c| D．|a|<|b|＋|c|
答案　D
解析　|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|.故选D.
3．已知a，b，c，d均为正数，S＝＋＋＋，则一定有(　　)
A．0 C．2 答案　B
解析　S>＋＋＋＝1，S<＋＋＋＝2，
∴1 4．(2020·驻马店质检)若x1，x2，x3∈(0，＋∞)，则3个数，，的值(　　)
A．至多有一个不大于1 B．至少有一个不大于1
C．都大于1 D．都小于1
答案　B
解析　设x1≤x2≤x3，则≤1，≤1，≥1.故选B.
5．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的取值范围是________．
答案　[－2，2]
解析　根据柯西不等式
(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，可得(3a＋2b)2≤(a2＋b2)(32＋22)
∴－2≤3a＋2b≤2.
3a＋2b∈[－2，2]．
6．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值为________．
答案　9
解析　解法一：把a＋b＋c＝1代入＋＋，得
＋＋
＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．故＋＋的最小值为9.
解法二：由柯西不等式得：
(a＋b＋c)≥2，即＋＋≥9，当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．故＋＋的最小值为9.
核心考向突破
考向一　比较法证明不等式
例1　(2019·山东潍坊三模)已知函数f(x)＝|x－3|.
(1)解不等式f(2x＋4)≥4；
(2)若a，b∈R，|a|<1，|b|<1，
求证：f(ab＋2)>f(a－b＋3)．
解　(1)由f(2x＋4)≥4，得|2x＋1|≥4，
即2x＋1≥4或2x＋1≤－4，解得x≥或x≤－，
综上所述，不等式的解集为.
(2)证明：f(ab＋2)>f(a－b＋3)⇔|ab－1|>|a－b|，
因为|a|<1，|b|<1，所以a2<1，b2<1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝a2b2－2ab＋1－a2＋2ab－b2
＝a2b2－a2－b2＋1
＝(a2－1)(b2－1)>0，
所以|ab－1|2>|a－b|2，
则|ab－1|>|a－b|，
则f(ab＋2)>f(a－b＋3)．

比较法证明不等式的一般步骤
作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．
[即时训练]　1.(2019·西宁模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－2|，集合A＝{x|f(x)<3}．
(1)求A；
(2)若s，t∈A，求证：|1－|<|t－|.
解　(1)不等式f(x)<3等价于|2x＋1|＋|x－2|<3.(*)
设函数g(x)＝|2x＋1|＋|x－2|－3，
则g(x)＝其图象如图所示．

从图象可知，当且仅当x∈时，g(x)<0.
所以不等式(*)的解集为.
所以A＝.
(2)证明：因为s，t∈A，由(1)知s，t∈，
所以s2<1，t2<1.
因为2－2＝1＋－t2－＝(1－t2)(s2－1)<0，
所以2<2，所以|1－|<|t－|.
考向二　综合法证明不等式
例2　(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.
证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；
(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
证明　(1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以＋＋≤a2＋b2＋c2.
(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，
故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3
≥3＝3(a＋b)(b＋c)(c＋a)
≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．
所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

综合法是由因导果的证明方法．用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中基本不等式是最常用的．
[即时训练]　2.设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.
证明　因为a，b，c为正实数，由算术—几何平均不等式可得＋＋≥3，
即＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．
所以＋＋＋abc≥＋abc.
而＋abc≥2＝2(当且仅当a2b2c2＝3时，等号成立)，
所以＋＋＋abc≥2(当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立)．
考向三　分析法证明不等式
例3　(2019·福建泉州第二次质量检测)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)≤2的解集．
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，2≥a－b.
解　(1)f(x)＝＋
＝
由得－1≤x≤－；
由得－ 由得≤x≤1.
所以原不等式的解集为M＝[－1,1]．
(2)证明：要证2≥a－b，
只需证2≥|a－b|，即证4(1－ab)≥|a－b|2，
只需证4－4ab≥a2－2ab＋b2，即4≥a2＋2ab＋b2，
即证4≥(a＋b)2，只需证2≥|a＋b|，
因为a，b∈M，所以|a＋b|≤2，所以所证不等式成立．

对于一些难以看出综合推理出发点的题目，我们可以从要证的结论入手，通常采用分析法求证．分析法证明不等式是“执果索因”，要注意书写的格式和语言的规范．
[即时训练]　3.(2019·黑龙江哈三中一模)设a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.
求证：(1)a＋b＋c≥；
(2)＋＋≥(＋＋)．
证明　(1)要证a＋b＋c≥，由于a，b，c>0，
因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
(2)＋＋＝.
由于(1)中已证a＋b＋c≥.
因此要证原不等式成立，只需证明≥＋＋.
即证a＋b＋c≤1，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
而a＝≤，
b≤，c≤.
所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
所以原不等式成立．
考向四　反证法证明不等式
例4　(2019·湖南湘潭模拟)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
证明　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0
对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论．
[即时训练]　4.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)求函数f(x)的最小值a；
(2)根据(1)中的结论，若m3＋n3＝a，且m>0，n>0，求证：m＋n≤2.
解　(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|≥|x＋1－(x－1)|＝2，
当且仅当－1≤x≤1时取等号，
所以f(x)min＝2，即a＝2.
(2)证明：假设m＋n>2，则m>2－n，m3>(2－n)3.
所以m3＋n3>(2－n)3＋n3＝2＋6(1－n)2≥2.①
由(1)知a＝2，所以m3＋n3＝2.②
①②矛盾，所以m＋n≤2.
考向五　放缩法证明不等式
例5　(2019·包头模拟)已知x，y，z为三角形的三边长，求证：1<＋＋<3.
证明　∵x，y，z为三角形的三边长，
∴y＋z>x，x＋y>z，x＋z>y，
∴<，<，<，
∴＋＋<3，
又＋＋>＋＋＝1，
∴1<＋＋<3.

用放缩法证明不等式
将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．
[即时训练]　5.已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，且不等式f(x)≤4的解集为M.
(1)求M；
(2)若x∈M，y∈M，求证：＋≤1.
解　(1)当x≤－时，不等式f(x)≤4变为－2x－1＋1－2x≤4，解得x≥－1，此时－1≤x≤－.
当－ 当x>时，不等式f(x)≤4变为2x＋1＋2x－1≤4，
解得x≤1，此时 (2)证明：由题意，得x∈[－1,1]，y∈[－1,1]，
则0≤|x|≤1,0≤|y|≤1，不妨设|x|≥|y|，
＋≤＋＝≤＝1，故＋≤1.
考向六　柯西不等式的应用
例6　(2018·江苏高考)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值．
解　由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.

柯西不等式的一般结构为(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1×a的形式．
[即时训练]　6.(2019·广东四校开学联考)已知a，b，c∈R＋，满足abc＝1.求证：
(1)＋＋≥(a＋b＋c)2；
(2)＋＋≥.
证明　(1)左边＝3(a2＋b2＋c2)，
由柯西不等式，得(1＋1＋1)·(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2(取等号的条件是a＝b＝c，此时a＝b＝c＝1)，
所以＋＋≥(a＋b＋c)2，原不等式得证．
(2)由于a，b，c∈R＋，abc＝1，
设a＝，b＝，c＝，则xyz＝1，
所以＋＋＝＋＋，
则＋＋＝＋＋－3＝(x＋y＋z)－3
＝[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]·－3
由柯西不等式，得
[(y＋z)＋(x＋z)＋(x＋y)]·≥(1＋1＋1)2＝9(当且仅当x＝y＝z时等号成立，此时x＝y＝z＝1)，
所以＋＋≥－3＝，
故＋＋≥(当且仅当a＝b＝c时等号成立，此时a＝b＝c＝1)，则原不等式得证．