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2021版新高考数学一轮教师用书：第1章第4节 相等关系与不等关系
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第四节 相等关系与不等关系
[考点要求] 1.了解现实世界及日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(对应学生用书第8页)
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；
(7)倒数性质：设ab>0，则a.
4．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
5．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
6．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；
若b＞a＞0，m＞0，则＞.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．ab≤≤.
4.≤≤≤(a＞0，b＞0).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
B [∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，
∴A＞B，故选B.]
2．若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
D [因为x<0，
所以－x>0，－x＋≥2＝2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋≤－2.]
3．函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为________．
4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
(对应学生用书第9页)
考点1 比较大小与不等式的性质
比较大小的5种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
(4)不等式的性质法．
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc D．≤
B [(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]
2．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p
B [法一： (作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p
法二： (特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p
A．ln (a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
C [法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln (a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b
4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[5，10] [法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法二：(运用方程思想)由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.]
(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.
(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.
考点2 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A． B．
C．3 D．9
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
(3)[一题两空]已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________．
(1)C (2)2＋2 (3)7 [(1)∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝×＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
(3)∵x>，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．
即x＝时，ymin＝7.]
[母题探究] [一题两空]把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为________，此时x＝________．
3 1 [因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]
(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋3b)≤，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝，b＝0时，a(a＋3b)的最大值为，从而错选B.
(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2).
常数代换法求最值
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4 [因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．]
[母题探究]
1．若本例条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．
[解] (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．
[解] 因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，等号成立．
常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．
[教师备选例题]
设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．
－2 [∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]
(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．＋ B．＋
C．3＋2 D．＋
A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．
则＋的最小值为＋.故选A.]
消元法求最值
对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).
(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5
≥5＋2＝5＋2.
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时取等号．
∴a＋2b的最小值为5＋2.故选A.]
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝，然后借助配凑法求最值．
(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．3 B．
C．1 D．0
C [由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
故最大值为1.]
利用两次基本不等式求最值
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
4 [由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.]
由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
4 [因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，
故的最小值是4.]
考点3 利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解] (1)当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，
①当x∈[50，80)时，l＝y·＝≥＝16，
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.
②当x∈[80，120]时，l＝y·＝－2为减函数，
所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
[解] (1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．
由题意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500，
所以年存储成本费T(x)＝60x＋，
若该化工厂每次订购300吨甲醇，
所以年存储成本费为
T(300)＝60×300＋＝68 000.
(2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋，x＞0，
所以T(x)＝60x＋≥2＝60 000，
当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号．
所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．
第四节 相等关系与不等关系
[考点要求] 1.了解现实世界及日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.了解基本不等式的证明过程.3.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
(对应学生用书第8页)
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2．等式的性质
(1)对称性：若a＝b，则b＝a.
(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.
(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.
(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.
3．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac
(5)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n≥2，n∈N)；
(6)开方法则：a>b>0⇒>(n≥2，n∈N)；
(7)倒数性质：设ab>0，则a
4．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
5．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
6．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1．若a＞b＞0，m＞0，则＜；
若b＞a＞0，m＞0，则＞.
2.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
3．ab≤≤.
4.≤≤≤(a＞0，b＞0).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．( )
(2)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(3)函数f(x)＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值为4.( )
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
二、教材改编
1．设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为( )
A．A≥B B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
B [∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－4)
＝x2－6x＋9－x2＋6x－8＝1＞0，
∴A＞B，故选B.]
2．若x<0，则x＋( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
D [因为x<0，
所以－x>0，－x＋≥2＝2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋≤－2.]
3．函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值为________．
4 [当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号．]
4．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.
25 [设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
则y＝x(10－x)≤＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]
(对应学生用书第9页)
考点1 比较大小与不等式的性质
比较大小的5种常用方法
(1)作差法：直接作差判断正负即可(常用变形手段：因式分解、配方、有理化、通分等).
(2)作商法：直接作商与1的大小比较，注意两式的符号．
(3)函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．
(4)不等式的性质法．
(5)特殊值排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．
1.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c B．(a－b)c2≥0
C．ac＞bc D．≤
B [(不等式的性质法)a，b，c∈R，且a＞b，可得a－b＞0，因为c2≥0，所以(a－b)c2≥0.故选B.]
2．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p
B [法一： (作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p
法二： (特殊值排除法)令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除选项A、C; 令a＝－1，b＝－2，则p
A．ln (a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
C [法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln (a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b
4．设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．
[5，10] [法一：(待定系数法)设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法二：(运用方程思想)由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.]
(1)尽管特值法可以较快的排除干扰选项，但直接应用该法作出正确判断是有风险的，如T2，T3.
(2)利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件，如T1，T4.
考点2 利用基本不等式求最值
配凑法求最值
配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.
(1)(2019·大连模拟)已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A． B．
C．3 D．9
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
(3)[一题两空]已知x>，则y＝4x＋的最小值为________，此时x＝________．
(1)C (2)2＋2 (3)7 [(1)∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝·3a(a＋3b)≤＝×＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝时，a(a＋3b)的最大值是3.
(2)∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
(3)∵x>，∴4x－5>0.
y＝4x＋＝4x－5＋＋5≥2＋5＝7.
当且仅当4x－5＝，即x＝时上式“＝”成立．
即x＝时，ymin＝7.]
[母题探究] [一题两空]把本例(3)中的条件“x>”，改为“x<”，则y＝4x＋的最大值为________，此时x＝________．
3 1 [因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x＋＝－＋5≤－2＋5＝－2＋5＝3.
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故y＝4x＋的最大值为3.此时x＝1.]
(1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a(a＋3b)≤，当且仅当a＝a＋3b，且4a＋3b＝6，即a＝，b＝0时，a(a＋3b)的最大值为，从而错选B.
(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T(1)，T(2).
常数代换法求最值
常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
(2)把确定的定值(常数)变形为1.
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4 [因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4.当且仅当a＝b时，等号成立．]
[母题探究]
1．若本例条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值．
[解] (1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
2．若将本例条件改为a＋2b＝3，如何求解＋的最小值．
[解] 因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当a＝b时，等号成立．
常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．
[教师备选例题]
设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．
－2 [∵a＋b＝2，b>0，
∴＋＝＋＝＋
＝＋＋≥＋2＝＋1，当且仅当＝时等号成立．
又a＋b＝2，b>0，
∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]
(2019·深圳市福田区模拟)已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．＋ B．＋
C．3＋2 D．＋
A [已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则＋＝[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋≥＋2＝＋.
当且仅当＝，a＋b＝2时取等号．
则＋的最小值为＋.故选A.]
消元法求最值
对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元).
(2019·嘉兴期末)已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
A [∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，
∴a＝＞0，∴b＞2，
∴a＋2b＝＋2b＝2(b－2)＋＋5
≥5＋2＝5＋2.
当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时取等号．
∴a＋2b的最小值为5＋2.故选A.]
求解本题的关键是将等式“2a＋b＝ab－1”变形为“a＝，然后借助配凑法求最值．
(2019·新余模拟)已知正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2－c＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为( )
A．3 B．
C．1 D．0
C [由正实数a，b，c满足a2－2ab＋9b2＝c，得＝＝＝≤，当且仅当＝，即a＝3b时，取最大值.
又因为a2－2ab＋9b2－c＝0，
所以此时c＝12b2，
所以＋－＝≤＝1，
故最大值为1.]
利用两次基本不等式求最值
当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．
已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为________．
4 [由题意a＞b＞0，则a－b＞0，
所以b(a－b)≤＝，
所以a2＋≥a2＋≥2＝4，
当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以a2＋的最小值为4.]
由于b＋(a－b)为定值，故可求出b(a－b)的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．
若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为________．
4 [因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，
故的最小值是4.]
考点3 利用基本不等式解决实际问题
利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
[解] (1)当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，
①当x∈[50，80)时，l＝y·＝≥＝16，
当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.
②当x∈[80，120]时，l＝y·＝－2为减函数，
所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．
当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．
(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；
(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？
[解] (1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)＝＋，其中A为年需求量，B为每单位物资的年存储费，C为每次订货费．
由题意可得：A＝6 000，B＝120，C＝2 500，
所以年存储成本费T(x)＝60x＋，
若该化工厂每次订购300吨甲醇，
所以年存储成本费为
T(300)＝60×300＋＝68 000.
(2)因为年存储成本费T(x)＝60x＋，x＞0，
所以T(x)＝60x＋≥2＝60 000，
当且仅当60x＝，即x＝500时，取等号．
所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．
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