2021版新高考数学一轮教师用书：第1章第3节　全称量词与存在量词

第三节　全称量词与存在量词

[考点要求]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

(对应学生用书第6页)

1．全称量词和存在量词

2.全称命题和特称命题

含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)

(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)

(3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．(　　)

(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，非p(x)的真假性相反．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、教材改编

1．下列命题中全称命题的个数是(　　)

①任意一个自然数都是正整数；

②有的等差数列也是等比数列；

③三角形的内角和是180°.

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

[答案]　C

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，2x－1＞0

B．∀x∈N*，(x－1)2＞0

C．∃x∈R，lg x＜1

D．∃x∈R，tan x＝2

B　[对于B，当x＝1时，(x－1)2＝0，故B项是假命题．]

3．命题：“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定为________．

∀x∈R，x2－ax＋1≥0　[因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x0∈R，x－ax0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－ax＋1≥0”．]

4．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

[－8，0]　[当a＝0时，不等式显然成立．

当a≠0时，

依题意知

解得－8≤a＜0.

综上可知－8≤a≤0.]

(对应学生用书第7页)

考点1　全称命题、特称命题

　(1)全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与特称命题真假的判断方法

　全称命题、特称命题的否定

　(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0     D．∀x＜0，0≤x≤1

(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则¬p为(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，

所以x＜0或x＞1，

所以＞0的否定是0≤x≤1，

所以命题的否定是∃x＞0，0≤x≤1，故选B.

(2)由特称命题的否定可得¬p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]

　全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)，简记：改量词，否结论．

　全称命题、特称命题的真假判断

　(1)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，x2≥0

B．∀x∈R，2x－1＞0

C．∃x0∈R，lg x0＜1

D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2

(2)下列四个命题：

p1：∃x0∈(0，＋∞)，＜；

p2：∃x0∈(0，1)，logx0＞logx0；

p3：∀x∈(0，＋∞)，＞logx；

p4：∀x∈，＜logx.

其中的真命题是(　　)

A．p1，p3　　B．p1，p4　　C．p2，p3　　D．p2，p4

(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin ，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．

(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有＞成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝与对数函数y＝logx在上的图象可以判断p4是真命题．]

　因为命题p与¬p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

　1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)

A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n

B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n

C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0

D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0

D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]

2．下列命题中，真命题是(　　)

A．∀x∈R，x2－x－1＞0

B．∀α，β∈R，sin (α＋β)＜sin α＋sin β

C．∃x∈R，x2－x＋1＝0

D．∃α，β∈R，sin (α＋β)＝cos α＋cos β

D　[因为x2－x－1＝－≥－，所以A是假命题．当α＝β＝0时，有sin (α＋β)＝sin α＋sin β，所以B是假命题．x2－x＋1＝＋≥，所以C是假命题．当α＝β＝时，有sin (α＋β)＝cos α＋cos β，所以D是真命题，故选D.]

考点2　由命题的真假确定参数的取值范围

　根据命题真假求参数的方法步骤

(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况).

(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p和q均为假命题，求实数m的取值范围．

[解]　当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞).

　根据命题的真假求参数取值范围的策略

(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．

(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．

　已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)

A．     B．

C．     D．

A　[当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，

当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，

由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m，

所以m≥，故选A.]