2021版新高考数学一轮教师用书：第1章第2节　充分条件与必要条件

第二节　充分条件与必要条件

[考点要求]　1.通过对典型数学命题的梳理、理解充分条件、必要条件的意义，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.2.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．

(对应学生用书第4页)

充分条件、必要条件与充要条件

1．充分条件、必要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；

(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．

2．充分条件、必要条件与集合的关系

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　)

(3)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

二、教材改编

1．“θ＝0”是“sin θ＝0”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.

∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]

3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

B　[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.]

4．“x2－3x＋2≠0”是“x≠1”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”)

充分不必要　[因为“x＝1”是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件，故“x2－3x＋2≠0”是“x≠1”的充分不必要条件．]

(对应学生用书第4页)

考点1　充分、必要条件的判定

　充分条件和必要条件的3种判断方法

(1)定义法：可按照以下三个步骤进行

①确定条件p是什么，结论q是什么；

②尝试由条件p推结论q，由结论q推条件p；

③确定条件p和结论q的关系．

(2)等价转化法：对于含否定形式的命题，如¬p是¬q的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求q是p的什么条件．

(3)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．

　(1)(2019·浙江高考)设a＞0，b＞0，则“a＋b≤4 ”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件

C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(3)(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|＞||”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

(1)A　(2)B　(3)C　[(1)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5＞4，不满足a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件，选A.

(2)由x2－5x＜0得0＜x＜5，记A＝{x|0＜x＜5}，由|x－1|＜1得0＜x＜2，记B＝{x|0＜x＜2}，显然BA，

∴“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件，故选B.

(3)|＋|＞||⇔|＋|＞|－|⇔2＋2＋2·＞2＋2－2·⇔·＞0，由点A，B，C不共线，得〈，〉∈，故·＞0⇔，的夹角为锐角．故选C.]

　判断充要条件需注意3点

(1)要分清条件与结论分别是什么．

(2)要从充分性、必要性两个方面进行判断．

(3)直接判断比较困难时，可举出反例说明．

　1.已知x∈R，则“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的(　　)

A．充分必要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B　[x2－5x－6＝0⇔x＝－1或x＝6，

∵x＝－1⇒x＝－1或x＝6，而x＝－1或x＝6推不出x＝－1，

∴“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分而不必要条件，故选B.]

2．给定两个命题p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件     D．既不充分也不必要条件

A　[因为¬p是q的必要不充分条件，所以q⇒¬p，但¬pq，其等价于p⇒¬q，但¬qp，故选A.]

考点2　充分条件、必要条件的探究与证明

　充要条件的证明

(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．

(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．

　(1)对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是(　　)

A．m⊥n，n∥α     B．m∥β，β⊥α

C．m⊥β，n⊥β，n⊥α     D．m⊥n，n⊥β，β⊥α

(2)已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜的充要条件是xy＞0.

(1)C　[对于选项C，因为m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故选C.]

(2)[证明]　法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞，即＜.

必要性：由＜，得－＜0，即＜0.

因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.

所以＜的充要条件是xy＞0.

法二：＜⇔－＜0⇔＜0.

由条件x＞y⇔y－x＜0，故由＜0⇔xy＞0.

所以＜⇔xy＞0，

即＜的充要条件是xy＞0.

　判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p的一个充分不必要条件是q”应是“q推出p，而p不能推出q”．

　1.(2019·湘东五校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m＞　　　　　　 B．0＜m＜1

C．m＞0     D．m＞1

C　[若不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m＜0，解得m＞，因此当不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立时，必有m＞0，但当m＞0时，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m＞0.]

2．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

[证明]　必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

充分性：由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根．

故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

考点3　充分条件、必要条件的应用

　根据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

[0，3]　[由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}，

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

又S为非空集合，则

∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0，3].]

　利用充要条件求参数的2个关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

提醒：含有参数的问题，要注意分类讨论．

　设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．

3或4　[由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1，2，3，4.

当n＝1，2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1，3，

当n＝4时，方程有整数根2.

综上可知，n＝3或4.]