2021版新高考数学一轮教师用书：第4章第6节　正弦定理、余弦定理

第六节　正弦定理、余弦定理

[考点要求]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

(对应学生用书第82页)

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

2.三角形常用面积公式

(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；

(2)S＝ab sin C＝ac_sin_B＝bc_sin_A；

(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin  B．

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；

b＝a cos C＋c cos A；

c＝b cos A＋a cos B．

3．内角和公式的变形

(1)sin (A＋B)＝sin C；

(2)cos (A＋B)＝－cos C.

)

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)

(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)

(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)

A．2　 B．1

C．     D．

D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)

A．无解     B．两解

C．一解     D．解的个数不确定

B　[∵b sin A＝24sin 45°＝12，

∴12＜18＜24，即b sin A＜a＜b.

∴此三角形有两解．]

3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________．

等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin A cos A＝sin B cos B，

即sin 2A＝sin 2B，

所以2A＝2B或2A＝π－2B，

即A＝B或A＋B＝，

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．

2　[因为＝，所以sin B＝1，所以 B＝90°，

所以AB＝2，

所以S△ABC＝×2×2＝2.]

(对应学生用书第82页)

考点1　利用正、余弦定理解三角形问题

　应用正弦、余弦定理的解题技巧

(1)求边：利用公式a＝，b＝，c＝或其他相应变形公式求解．

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝，sin B＝，sin C＝或其他相应变形公式求解．

(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．

(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．

　(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－，则＝(　　)

A．6　　 B．5

C．4     D．3

(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinB sin C.

①求A；

②若a＋b＝2c，求sin C.

(1)A　[∵a sin A－b sin B＝4c sin C，

∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.

由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.

故选A.]

(2)[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.

由余弦定理得cos A＝＝.

因为0°＜A＜180°，

所以A＝60°.

②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin (120°－C)＝2sin C，

即＋cos C＋sin C＝2sin C，

可得cos (C＋60°)＝－.

由于0°＜C＜120°，

所以sin (C＋60°)＝，

故sin C＝sin (C＋60°－60°)

＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60°

＝.

　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．

　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＋a cos B＝0，则B＝________．

　[∵b sin A＋a cos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]

2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________．

9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，

在△ADC中，72＝x2＋()2－2x×cos α，①

在△ABD中，42＝x2＋()2－2x×cos (π－α)，②

①＋②得x＝，∴BC＝9.]

3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.

(1)求边长a；

(2)求AB边上的高CD的长．

[解]　(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，

由余弦定理cos C＝得

cos 120°＝，

即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.

(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由三角形的面积公式得

ab sin ∠ACB＝c×CD，

所以CD＝＝＝，

即AB边上的高CD＝.

法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，

由正弦定理得＝＝，

即sin A＝，

在Rt△ACD中，CD＝AC sin A＝5×＝，

即AB边上的高CD＝.

考点2　与三角形面积有关的问题

　三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．

　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解]　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos ，即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，或c＝4.

(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，

所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，

故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2，

所以△ABD的面积为.

法二：由余弦定理得cos C＝，

在Rt△ACD中，cos C＝，

所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，

所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.

法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，

所以CD＝，所以AD＝，

所以S△ABD＝×4××sin ∠DAB＝.

　(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．

　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．

6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝ac sin B＝×4×2×sin ＝6.

法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×c cos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]

2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.

(1)证明：A＝2B；

(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．

[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B＝sin B＋sin (A＋B)

＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，

于是sin B＝sin (A－B).

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，

所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，

因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.

(2)由S＝，得ab sin C＝，

故有sin B sin C＝sin A＝sin 2B＝sin B cos B，

由sin B≠0，得sin C＝cos B.

又B，C∈(0，π).所以C＝±B.

当B＋C＝时，A＝；

当C－B＝时，A＝.

综上，A＝或A＝.

考点3　判断三角形的形状

　判断三角形形状的2种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　)

A．锐角三角形     B．直角三角形

C．钝角三角形     D．不确定

B　[由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，

∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sinA＝sin2A.

∵A∈(0，π)，∴sinA＞0，∴sin A＝1，

即A＝，∴△ABC为直角三角形．]

　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．

　1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)

A．直角三角形     B．等腰非等边三角形

C．等边三角形     D．钝角三角形

C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]

2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形     B．锐角三角形

C．等腰直角三角形     D．钝角三角形

C　[因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]