2021版新高考数学一轮教师用书：第4章第3节　三角函数的图象与性质

第三节　三角函数的图象与性质

[考点要求]　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．

(对应学生用书第70页)

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).

余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin x的图象关于点(kπ，0)(k∈Z)中心对称．(　　)

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)

(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)

(4)y＝sin |x|与y＝|sin x|都是周期函数．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

二、教材改编

1．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A．

B．

C．

D．

D　[由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan 2x的定义域为.]

2．函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期是________．

π　[T＝＝π.]

3．y＝sin 的单调减区间是________．

(k∈Z)　[由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z得

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.]

4．y＝3sin (2x－)在区间[0，]上的值域是________．

[－，3]　[当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，

sin (2x－)∈[－，1]，故3sin (2x－)∈[－，3]，

即y＝3sin (2x－)的值域为[－，3].]

(对应学生用书第71页)

考点1　三角函数的定义域和值域

　1.三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求三角函数最值或值域的常用方法

(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解．

(2)化一法：把所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．

(3)换元法：把sin x，cos x，sin x cos x或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解．

　1.函数f(x)＝－2tan (2x＋)的定义域是(　　)

A．

B．

C．

D．

D　[由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，

即x≠＋(k∈Z)，故选D.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin (2x＋)－3cos x的最小值为________．

－4　[f(x)＝sin (2x＋)－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cosx＋1，

令cos x＝t，则t∈[－1，1].

f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2(t＋)2＋，

易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.

故f(x)的最小值为－4.]

3．已知函数f(x)＝sin (x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．

[，π]　[∵x∈[－，a]，

∴x＋∈[－，a＋]，

∵当x＋∈[－，]时，f(x)的值域为[－，1]，

∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.]

4．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________．

[－－，1]　[设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cos x，sin x cos x＝，且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为[－－，1].]

　求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型

(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值).

(2)形如y＝a sin2x＋b sinx＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值).

(3)形如y＝a sin3x＋b sin2x＋c sinx＋d，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值．

考点2　三角函数的单调性

　(1)形如y＝A sin (ωx＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx＋φ看成一个整体，再结合图象利用y＝sin x的单调性求解；(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．

　求三角函数的单调性

　(1)函数f(x)＝tan (2x－)的单调递增区间是(　　)

A．[－，＋](k∈Z)

B．(－，＋)(k∈Z)

C．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)

D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

(2)(2019·大连模拟)函数y＝sin x＋cos x(x∈[0，])的单调递增区间是________．

(1)B　(2)[0，]　[(1)由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，

得－＜x＜＋(k∈Z)，

所以函数f(x)＝tan (2x－)的单调递增区间为(－，＋)(k∈Z)，故选B.

(2)∵y＝sin x＋cos x＝sin (x＋)，

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).

∴函数的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，

又x∈[0，]，∴单调递增区间为[0，].]

　本例(2)在用整体思想求得函数y＝sin (x＋)的所有增区间后，采用对k赋值的方式，求得x∈[0，]上的单调增区间．

　根据函数的单调性求参数

　(1)已知ω＞0，函数f(x)＝sin 在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)

A．(0，2]　 B．

C．     D．

(2)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a] 是减函数，则a的最大值是(　　)

A．　　　B．     C．　　　D．π

(1)D　(2)C　[(1)由2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋，得＋≤x≤＋，k∈Z，

因为f(x)＝sin 在上单调递减，

所以解得因为k∈Z，ω＞0，所以k＝0，

所以≤ω≤，即ω的取值范围为.故选D.

(2)f(x)＝cos x－sin x＝－sin ，

当x－∈，即x∈时，

sin 单调递增，－sin 单调递减，

∴是f(x)在原点附近的单调递减区间，

结合条件得[0，a]⊆，

∴a≤，即amax＝，故选C.]

　已知单调区间求参数范围的3种方法

　1.若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________．

　[由已知得＝，∴T＝，∴ω＝＝.]

2．函数f(x)＝sin 的单调减区间为________．

(k∈Z)　[由已知，得函数为y＝－sin (2x－)，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin (2x－)的单调增区间即可．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所求函数的单调减区间为(k∈Z).]

考点3　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

　求解三角函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y＝sin x的对应性质，利用整体代换的思想求解．

　三角函数的周期性

　(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x|     B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos |x|     D．f(x)＝sin |x|

(2)若函数f(x)＝2tan (kx＋)的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．

(1)A　(2)2或3　[(1)对于选项A，作出y＝|cos 2x|的部分图象，如图1所示，则f(x)在(，)上单调递增，且最小正周期T＝，故A正确．

对于选项B，作出f(x)＝|sin 2x|的部分图象，如图2所示，则f(x)在(，)上单调递减，且最小正周期T＝，故B不正确．对于选项C，∵f(x)＝cos |x|＝cos x，

∴最小正周期T＝2π，故C不正确．

对于选项D，作出f(x)＝sin |x|的部分图象，如图3所示．显然f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.

图1　　　　　　　图2

]

图3

(2)由题意得，1＜＜2，∴k＜π＜2k，即＜k＜π，

又k∈Z，∴k＝2或3.]

　公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴”

(1)公式法求周期

①正弦型函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的周期T＝；

②余弦型函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)＋B的周期T＝；

③正切型函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)＋B的周期T＝.

(2)对称性求周期

①两对称轴距离的最小值等于；

②两对称中心距离的最小值等于；

③对称中心到对称轴距离的最小值等于.

(3)特征点法求周期

①两个最大值点之差的最小值等于T；

②两个最小值点之差的最小值等于T；

③最大值点与最小值点之差的最小值等于.

特征点法求周期实质上就是由图象的对称性求周期，因为最值点与函数图象的对称轴相对应．(说明：此处的T均为最小正周期)

　三角函数的奇偶性

　已知函数f(x)＝3sin (2x－＋φ)，φ∈(0，π).

(1)若f(x)为偶函数，则φ＝________；

(2)若f(x)为奇函数，则φ＝________．

(1)π　(2)　[(1)因为f(x)＝3sin (2x－＋φ)为偶函数，

所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，

又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.

(2)因为f(x)＝3sin (2x－＋φ)为奇函数，

所以－＋φ＝kπ，k∈Z，

又φ∈(0，π)，

所以φ＝.]

　若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

　三角函数的对称性

　(1)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象(　　)

A．关于点(，0)对称

B．关于点(，0)对称

C．关于直线x＝对称

D．关于直线x＝对称

(2)已知函数y＝sin (2x＋φ)(－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________．

(1)B　(2)－　[(1)因为函数f(x)＝2sin (ωx＋)(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，

即f(x)＝2sin (＋).

令＋＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，

故f(x)的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z)，

令＋＝kπ(k∈Z)，解得x＝－＋2kπ(k∈Z).

故f(x)的对称中心为(－＋2kπ，0)(k∈Z)，对比选项可知B正确．

(2)由题意得f()＝sin (＋φ)＝±1，

∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝kπ－(k∈Z).

∵φ∈(－，)，∴φ＝－.]

　三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法

若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称轴，则只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标，则只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x.

　1.[多选]设函数f(x)＝cos (x＋)，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在(，π)上单调递减

ABC　[A项，因为f(x)＝cos (x＋)的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；

B项，因为f(x)＝cos (x＋)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；

C项，f(x＋π)＝cos (x＋).

令x＋＝kπ＋(k∈Z)，

得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，

所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；

D项，因为f(x)＝cos (x＋)的单调递减区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，

单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，

所以(，)是f(x)的单调递减区间，[，π)是f(x)的单调递增区间，D项错误．]

2．(2019·成都模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f()成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)

A．(－，0)    B．(－，0)

C．(，0)    D．(，0)

A　[由f(x)＝sin (ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.

因为f(x)≤f()恒成立，

所以f(x)max＝f()，

即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，

由|φ|＜，得φ＝，

故f(x)＝sin (x＋).

令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，

故f(x)图象的对称中心为(2kπ－，0)(k∈Z)，

当k＝0时，f(x)图象的对称中心为(－，0).]