2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第八章　第1讲　空间几何体的结构、三视图和直观图

第1讲　空间几何体的结构、三视图和直观图

一、知识梳理

1．空间几何体的结构特征

2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看到的线画实线，看不到的线画虚线．

[注意]　(1)画三视图时，能看见的线用实线表示，不能看见的线用虚线表示．(2)同一物体，若放置的位置不同，则所得的三视图可能不同．

上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．

2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”Ｋ

二、习题改编

1．(必修2P10B组T1改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(　　)

A．棱台  B．四棱柱 

C．五棱柱  D．六棱柱

解析：选C.由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．

2．(必修2P8A组T1(1)改编)在如图所示的几何体中，是棱柱的为        ．(填写所有正确的序号)

答案：③⑤

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)

(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　)

(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(　　)

(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)

(6)菱形的直观图仍是菱形．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

二、易错纠偏

(1)对空间几何体的结构特征认识不到位；

(2)不能由三视图确定原几何体的结构特征；

(3)斜二测画法的规则不清致误．

1．下列结论中错误的是(　　)

A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱

B．正棱台的对角面一定是等腰梯形

C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线

D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体

解析：选A.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以A选项错误．B，C，D说法均正确．

2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)

解析：选B.根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．

3.在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为        ，面积为        cm2.

解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.

答案：矩形　8

　　　　　空间几何体的结构特征(师生共研)

(1)下列结论正确的是(　　)

A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B．六条棱长均相等的四面体是正四面体

C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台

(2)以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面．

其中正确命题的个数为(　　)

A．0  B．1 

C．2  D．3

【解析】　(1)底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错．

(2)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对．

【答案】　(1)B　(2)B

空间几何体概念辨析问题的常用方法

1．把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面，则这个圆锥的高为(　　)

A．10  B．10 

C．10  D．5

解析：选B.设圆锥的底面半径为r，高为h，因为半圆的弧长等于圆锥的底面周长，半圆的半径等于圆锥的母线，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝＝10.

2．若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直，则称之为直角四面体，以长方体ABCD­A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点，可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为(　　)

A．2，8  B．4，12 

C．2，12  D．12，8

解析：选A.因为矩形的对角线相等，所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体．因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的，所以长方体中有8个直角四面体．

　　　　　　空间几何体的三视图(多维探究)

角度一　由空间几何体的直观图识别三视图

(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

【解析】　由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.

【答案】　A

已知几何体，识别三视图的步骤

(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

(2)根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；

(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．

角度二　由空间几何体的三视图还原直观图

(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2  B．2 

C．3  D．2

【解析】　由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2.故选B.

【答案】　B

由三视图确定几何体的步骤

1．(2020·福州市第一学期抽测)如图，为一圆柱切削后的几何体及其正视图，则相应的侧视图可以是(　　)

解析：选B.由题意，根据切削后的几何体及其正视图，可得相应的侧视图的切口为椭圆，故选B.

2．(2020·唐山市五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为(　　)

解析：选A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.

　　　　　　空间几何体的直观图(师生共研)

(1)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A.a2   B.a2 

C.a2  D．a2

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)

A．正方形  B．矩形

C．菱形  D．一般的平行四边形

【解析】　(1)如图①②所示的实际图形和直观图，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a，

所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.故选D.

(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.

所以OC＝

＝＝6(cm)，

所以OA＝OC，

故四边形OABC是菱形，故选C.

【答案】　(1)D　(2)C

平面图形与其直观图的关系

(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．

(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．

　如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是        cm.

解析：由题意知正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB＝ cm，对应原图形平行四边形的高为2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.

答案：8

[基础题组练]

1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是(　　)

A．圆柱  B．圆锥 

C．四面体  D．三棱柱

解析：选A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．

2．下列说法正确的有(　　)

①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；

②经过球面上不同的两点只能作一个大圆；

③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；

④圆锥的轴截面是等腰三角形．

A．1个  B．2个 

C．3个  D．4个

解析：选A.①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显④是正确的．

3．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)

A．①③  B．①④ 

C．②④  D．①②③④

解析：选A.由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．

4．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是(　　)

A．三棱锥

B．四棱锥

C．三棱柱

D．组合体

解析：选B.如图所示，

在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.

5．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为        ．

解析：由于该矩形的面积S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积S′＝S＝5(cm2)．

答案：5 cm2

6．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为        cm.

解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.

在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．

所以AB＝＝13(cm)．

答案：13

7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为                                                             ．

解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E，F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝，又PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正视图的周长为2＋2.

答案：2＋2

8．如图1，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图2为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

(2)求PA的长．

解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.

(2)由侧视图可求得PD＝＝＝6 (cm)．

由正视图可知AD＝6 cm，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝ ＝　＝6 (cm)．

[综合题组练]

1．(2020·陕西西安陕师大附中等八校3月联考)已知正三棱柱ABC­A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径长为(　　)

A.  B．25 

C．2  D．31

解析：选B.将正三棱柱ABC­A1B1C1沿侧棱AA1展开两次，如图所示：

在展开图中，AA1的最短距离是大矩形对角线的长度，也即为三棱柱的侧面上绕两圈所走路程的最小值．

由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为＝4.

所以矩形的长等于4×6＝24，宽等于7.

由勾股定理求得d＝＝25.故选B.

2．(2020·吉林第三次调研测试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为2，则正视图的面积为(　　)

A．2  B．1 

C.  D．2

解析：选A.由题中三视图可知该几何体为四棱锥P­ABCD，其中底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD.

所以××2x＝2，解得x＝2.所以正视图的面积S＝×2×2＝2.故选A.

3．(一题多解)(2020·河南非凡联盟4月联考)某组合体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是图(2)中粗线所表示的平面图形，其中四边形O′A′B′C′为平行四边形，D′为C′B′的中点，则图(2)中平行四边形O′A′B′C′的面积为        ．

解析：法一：由题图易知，该几何体为一个四棱锥(高为2，底面是长为4，宽为3的矩形)与一个半圆柱(底面圆半径为2，高为3)的组合体，所以其俯视图的外侧边沿线组成一个长为4，宽为3的矩形，其面积为12，由斜二测知识可知四边形O′A′B′C′的面积为4×sin 45°＝3.

法二：由斜二测画法可先还原出俯视图的外轮廓是长为4，宽为3的矩形，其面积为4×3＝12，结合直观图面积是原图形面积的，即可得结果．

答案：3

4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是        ．

解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF、DC最长，且DC＝AF＝＝3.

答案：3