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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第二章 第4讲 指数式、对数式的运算
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    2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书:第二章 第4讲 指数式、对数式的运算

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    4讲 指数式、对数式的运算

    一、知识梳理

    1根式

    (1)根式的概念

    xnax叫做an次方根其中n>1nN*.式子叫做根式这里n叫做根指数a叫做被开方数.

    an次方根的表示:

    xna

    (2)根式的性质

    ()na(nN*n>1)

    2有理数指数幂

    (1)幂的有关概念

    正分数指数幂:a(a>0mnN*n>1)

    负分数指数幂:a(a>0mnN*n>1)

    0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂无意义

    (2)有理数指数幂的运算性质

    ar·asars(a>0rsQ)

    ars(a>0rsQ)

    (ar)sars(a>0rsQ)

    (ab)rarbr(a>0b>0rQ)

    3对数

    概念

    如果axN(a>0a1)那么数x叫做以a为底N对数记作xlogaN其中a叫做对数的底数N叫做真数logaN叫做对数式

    性质

    对数式与指数式的互化:axNxlogaN(a>0a1)

    loga10logaa1alogaNN(a>0a1)

    运算法则

    loga(M·N)logaMlogaN

    a>0a1M>0N>0

    logalogaMlogaN

    logaMnnlogaM(nR)

    换底公式

    logab(a>0a1c>0c1b>0)

    推论

    logambnlogablogablogab·logbclogac(ab均大于0且不等于1c>0)

    二、习题改编

    1(必修1P74AT3改编)计算(1)lg lg 25       

    (2)2log510log50.25       

    答案:(1)2 (2)2

    2(必修1P54练习T3改编)化简(1)aaa       

    (2)2x       

    答案:(1)a (2)14x1

    一、思考辨析

    判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1) π4.(  )

    (2)()n都等于a(nN*)(  )

    (3)log2x22log2x.(  )

    (4)MN>0loga(MN)logaMlogaN.(  )

    答案:(1)× (2)× (3)× (4)×

    二、易错纠偏

    (1)忽视n的范围导致(aR)化简出错;

    (2)对数的运算性质不熟致误.

    1化简(x<0y<0)(  )

    A2x2y         B2xy

    C4x2y  D2x2y

    解析:D.因为x<0y<0

    所以(16x8·y4)(16)·(x8)·(y4)2x2|y|=-2x2y.

    2计算:lglg 8lg 7       

    解析:原式=lg 4lg 2lg 7lg 8lg 7lg 52lg 2(lg 2lg 5)2lg 2.

    答案:

          指数幂的化简与求值(师生共研)

    计算:

    (1)(0.002)10(2)1()0

    (2)(a>0b>0)

    】 (1)原式=(1)×150010(2)11010201=-.

    (2)原式=a1·b12ab1.

    [提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂也不能既有分母又含有负指数形式力求统一.

    1计算:-(0.002)       

    解析原式=-

    =-10

    10.

    答案10

    2化简4a·b÷的结果为       

    解析原式=ab

    =-6ab1=-.

    答案:-

    3已知xx3x2x23       

    解析:xx3xx129所以xx17所以x2x2249所以x2x247所以x2x2350.

    答案:50

          对数式的化简与求值(师生共研)

    计算下列各式:

    (1)2lg 5lg 2(lg 22lg 5)(lg 2)2

    (2)log225·log32·log59

    (3).

    】 (1)2lg 5lg 2(lg 22lg 5)(lg 2)22lg 5lg 2(lg 22lg 5lg 2)2lg 5lg 2(2lg 22lg 5)2lg 52lg 22.

    (2)法一:log225·log32·log59log252·log32·log5326log25·log32·log536.

    法二:log225·log32·log59····6.

    (3).

    [提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的不能出现log212log2[(3)×(4)]log2(3)log2(4)的错误.

    1计算2log63log64的结果是(  )

    Alog62         B2

    Clog63  D3

    解析:B.2log63log64log69log64log6362.故选B.

    2已知函数f(x)f(2log23)的值为(  )

    A24  B16

    C12  D8

    解析:A.因为3<2log23<4所以f(2log23)f(3log23)23log238×2log2324.

    3lglg20(5)2×       

    解析:原式=lg15×55.

    答案:

    42a5bm2m       

    解析:因为2a5bm>0所以alog2mblog5m

    所以logm2logm5logm102.所以m210

    所以m.

    答案:

    [基础题组练]

    1若实数a>0则下列等式成立的是(  )

    A(2)24      B2a3

    C(2)0=-1  D(a)4

    解析:D.对于A(2)2A错误;对于B2a3B错误;对于C(2)01C错误;对于D(a)4.

    2如果2loga(P2Q)logaPlogaQ,那么的值为(  )

    A.  B4

    C1  D41

    解析B.2loga(P2Q)logaPlogaQloga(P2Q)2loga(PQ).由对数运算性质得(P2Q)2PQP25PQ4Q20所以PQ(舍去)P4Q解得4.故选B.

    3lg 2lg(2x1)lg(2x5)成等差数列x的值等于(  )

    A1  B0

    C.  Dlog23

    解析D.由题意知lg 2lg(2x5)2lg(2x1)2(2x5)(2x1)2(2x)2902x3xlog23故选D.

    4(2020·福建厦门期末质)已知函数f(x)f(f(log23))(  )

    A9  B.-1

    C  D.-

    解析:B.由函数f(x)以及log23>1f(log23)=-=-2=-所以f(f(log23))f3×=-1故选B.

    5.(a>0)的值是           

    解析a3a.

    答案a

    6已知2x3log4y,则x2y的值为           

    解析2x3log4y

    xlog23ylog4log2

    所以x2ylog23log2log283.

    答案3

    7.           

    解析原式=

    1.

    答案1

    8化简下列各式:

    (1)0.120

    (2) ÷

    (3).

    (1)原式=3

    1003100.

    (2)原式= ÷

    ÷

    a÷aa.

    (3)法一:原式=

    法二:原式=.

    [综合题组练]

    1定义a·b设函数f(x)ln x·xf(2)f(  )

    A4ln 2  B4ln 2

    C2  D0

    解析:D.因为2×ln 2>0所以f(2)2×ln 22ln 2.

    因为×ln <0所以f=-2ln 2.

    f(2)f2ln 22ln 20.

    2化简:           

    解析原式=a ·b.

    答案

    3(2020·洛阳市第一次统考)若函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数则实数a           

    解析法一(定义法):因为函数f(x)ln(ex1)ax为偶函数所以f(x)f(x)

    ln(ex1)axln(ex1)ax

    所以2axln(ex1)ln(ex1)lnln=-x

    所以2a=-1解得a=-.

    法二(取特殊值):由题意知函数f(x)的定义域为Rf(x)为偶函数得f(1)f(1)

    所以ln(e11)aln(e11)a

    所以2aln(e11)ln(e11)lnln=-1所以a=-.

    答案:-

    4已知2x72yA2A的值是       

    解析:2x72yAxlog2Aylog7AlogA22logA7logA982A298.

    A>0A7.

    答案:7

     

     

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