2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第二章　第7讲　函数的图象

第7讲　函数的图象

一、知识梳理

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

[注意]　(1)对于左(右)平移变换，可熟记为：左加右减，但要注意加(减)指的是自变量．

(2)对于上(下)平移变换，可熟记为：上加下减，但要注意加(减)指的是函数值．

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)；

②y＝f(x)y＝f(－x)；

③y＝f(x)y＝－f(－x)；

④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|；

②y＝f(x)y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝f(x)

→

y＝f(ax)．

②y＝f(x)

→

y＝af(x)．

常用结论

1．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．

二、习题改编

1．(必修1P24A组T7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案：C

2．(必修1P35例5(3)改编)函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)

A．y轴对称　　　　　　 B．x轴对称

C．原点对称  D．直线y＝x对称

答案：C

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

二、易错纠偏

(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；

(2)不注意函数的定义域出错．

1．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数        的图象．

解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.

答案：y＝f(－x＋1)

2.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是        ．

解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2，8]．

答案：(2，8]

　　　　　　作函数的图象(师生共研)

分别作出下列函数的图象．

(1)y＝|lg x|；

(2)y＝2x＋2；

(3)y＝x2－2|x|－1.

【解】　(1)y＝

图象如图①所示．

(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．

(3)y＝图象如图③所示．

函数图象的画法

[提醒]　(1)画函数的图象一定要注意定义域．

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

　分别作出下列函数的图象．

(1)y＝|x－2|(x＋1)；

(2)y＝.

解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，

y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；

当x<2，即x－2<0时，

y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.

所以y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．

(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．

　　　　　　函数图象的辨识(师生共研)

(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)

(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝

C．f(x)＝－1  D．f(x)＝x－

【解析】　(1)法一：显然f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，排除A；f＝＝>1，观察题图可知D正确．故选D.

法二：显然f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数，排除A；易知当x→0＋时，f(x)>0，排除C；f(π)＝>0，排除B，故选D.

(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.

【答案】　(1)D　(2)A

(1)抓住函数的性质，定性分析：

①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置；

②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③从周期性，判断图象的循环往复；

④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．

(2)抓住函数的特征，定量计算：

利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．

1．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是(　　)

A．甲是图①，乙是图②  B．甲是图①，乙是图④

C．甲是图③，乙是图②  D．甲是图③，乙是图④

解析：选B.由题知速度v＝反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．

2．(2020·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象大致是(　　)

解析：选D.先画出函数f(x)＝的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示．故选D.

3．(2020·济南市学习质量评估)函数y＝－ln|x|的图象大致为(　　)

解析：选D.令f(x)＝y＝－ln|x|，则f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数，排除选项B；当x>0且x→0时，y→＋∞，排除选项A；当x＝2时，y＝1－ln 2<1－ln e＝0，排除选项C.故选D.

　　　　　　函数图象的应用(多维探究)

角度一　研究函数的性质

对于函数f(x)＝lg(|x＋1|)，给出如下三个命题：

①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

【解析】　作出f(x)的图象，可知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确．

【答案】　B

对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

角度二　解不等式

函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在(－1，3)上的解集为(　　)

A．(1，3)  B．(－1，1)

C．(－1，0)∪(1，3)  D．(－1，0)∪(0，1)

【解析】　作出函数f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．

【答案】　C

利用函数的图象研究不等式的思路

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解．

角度三　求参数的取值范围

已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是        ．

【解析】　画出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示．

由图可知，当0<k<1时，y＝k和y＝f(x)的图象有3个交点，即方程f(x)＝k有三个不同的实根．

【答案】　(0，1)

求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是：

1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝

画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．

2．已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A.　　　　　 B.

C．(1，2)  D．(2，＋∞)

解析：选B.先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为.

3．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为        ．

解析：函数f(x)的图象大致如图所示．

因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，

所以2xf(x)<0.

由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．

答案：(－3，0)∪(0，3)

[基础题组练]

1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是(　　)

解析：选C.小明匀速行驶时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.

2．(2020·河北衡水中学第二次调研)函数y＝(2x－1)ex的图象大致是(　　)

解析：选A.因为x趋向于－∞时，y＝(2x－1)ex<0，所以C，D错误；因为y′＝(2x＋1)ex，所以当x<－时，y′<0，y＝(2x－1)ex在(－∞，－)上单调递减，所以A正确，B错误，故选A.

3.(2020·江西七校第一次联考)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f(2 018)＋f(2 019)＝(　　)

A．2　　　　　　　 B．1

C．－1  D．0

解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 018)＝f(2 018－673×3)＝f(－1)，f(2 019)＝f(2 019－673×3)＝f(0)，由题图知f(－1)＝－1，f(0)＝0，所以f(2 018)＋f(2 019)＝f(－1)＋f(0)＝－1.

4.(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)已知奇函数f(x)在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf(x)<0的解集为(　　)

A．(1，2)　　　　　　　　 B．(－2，－1)

C．(－2，－1)∪(1，2)  D．(－1，1)

解析：选C.因为函数f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，补全当x<0时的函数图象，如图．对于不等式xf(x)<0，当x>0时，f(x)<0，所以1<x<2；当x<0时，f(x)>0，所以－2<x<－1，所以不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)，故选C.

5．已知函数y＝f(－|x|)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象不可能是(　　)

解析：选C.函数y＝f(－|x|)＝当x<0时，y＝f(－|x|)＝f(x)，所以函数y＝f(－|x|)的图象在y轴左边的部分，就是函数y＝f(x)的图象，故可得函数y＝f(x)的图象不可能是C.

6.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于        ．

解析：由图象知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.

答案：2

7.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝        ．

解析：由题图可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，所以f(x)＝故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.

答案：－1

8．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是        ．

解析：如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，所以a的取值范围是[－1，＋∞)．

答案：[－1，＋∞)

9．作出下列函数的图象．

(1)y＝；

(2)y＝|log2(x＋1)|.

解：(1)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．

(2)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．

10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图象；

(3)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．

解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.

(2)f(x)＝x|x－4|

＝

f(x)的图象如图所示．

(3)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，即方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．

[综合题组练]

1．已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)

A．f(x1)＋f(x2)<0  B．f(x1)＋f(x2)>0

C．f(x1)－f(x2)>0  D．f(x1)－f(x2)<0

解析：选D.函数f(x)的图象如图所示，

且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．

又0<|x1|<|x2|，

所以f(x2)>f(x1)，

即f(x1)－f(x2)<0.

2．已知函数f(x)＝，x∈R，则不等式f(x2－2x)<f(3x－4)的解集是        ．

解析：由已知得，f(x)＝其图象如图所示：

由图可知，不等式f(x2－2x)<f(3x－4)等价于或解得≤x<2或1<x<，所以所求的解集为(1，2)．

答案：(1，2)

3．已知函数f(x)＝|x|(x－a)，a>0，

(1)作出函数f(x)的图象；

(2)写出函数f(x)的单调区间；

(3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值．

解：(1)f(x)＝

其图象如图所示．

(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，；单调递减区间是.

(3)由图象知，当>1，即a>2时，所求最小值f(x)min＝f(1)＝1－a；

当0<≤1，即0<a≤2时，

所求最小值f(x)min＝f＝－.

综上，f(x)min＝

4．已知函数f(x)＝2x，x∈R.

(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？

(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．

解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；

当0<m<2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解．

(2)令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，

因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，

所以H(t)>H(0)＝0.

因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．