2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第十二章　第3讲　合情推理与演绎推理

第3讲　合情推理与演绎推理

一、知识梳理

1．推理

(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．

(2)分类：推理

2．合情推理

3.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．

(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．

(3)模式：

三段论

常用结论

1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不一定正确，若要确定其正确性，则需要证明．

2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．

3．应用三段论解决问题，要明确什么是大前提、小前提，如果前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．

二、习题改编

1．(选修1­2P25例3改编)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2”．

其中类比得到的结论正确的是      ．

答案：①②

2．(选修1­2P23例2改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是      ．

解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则

a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；

a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2.

答案：an＝n2

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、易错纠偏

(1)归纳推理没有找出规律；

(2)类比推理类比规律错误．

1．数列2，5，11，20，x…中的x等于      ．

解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.

答案：32

2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为        ．

解析：＝＝·＝×＝.

答案：1∶8

　　　　　　归纳推理(多维探究)

角度一　与数字(数列)有关的推理

观察下列等式：

1－＝，

1－＋－＝＋，

1－＋－＋－＝＋＋，

…

据此规律，第n个等式可为        ．

【解析】　等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.

【答案】　1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋

角度二　与式子有关的推理

设函数f(x)＝(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝，

f2(x)＝f(f1(x))＝，

f3(x)＝f(f2(x))＝，

f4(x)＝f(f3(x))＝，

…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝        ．

【解析】　根据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝.

【答案】　

角度三　与图形变化有关的推理

我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n) 个小正方形，则f(n)的表达式为(　　)

A．f(n)＝2n－1  B．f(n)＝2n2

C．f(n)＝2n2－2n  D．f(n)＝2n2－2n＋1

【解析】　我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.

【答案】　D

(1)归纳推理的常见类型及求解策略

①数的归纳．包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，还需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

②形的归纳．主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．

(2)运用归纳推理的思维步骤

1.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为(　　)

A．528  B．1 020 

C．1 038  D．1 040

解析：选D.a1＝1，a2＝2，a3＝4＝22，a4＝8＝23，a5＝16＝24，…，所以an＝2n－1，a5＋a11＝24＋210＝1 040，故选D.

2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2 018个图形用的火柴根数为(　　)

A．2 014×2 017  B．2 015×2 016

C．3 024×2 018  D．3 027×2 019

解析：选D.由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1；

第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)；

第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；

…

由此，可以推出第n个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2 018个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 018)＝3×＝3 027×2 019.

　　　　　　类比推理(典例迁移)

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．

【解】　如题图所示，在Rt△ABC中，

∠C＝90°.

设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.

类似地，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S＋S＋S成立．

【迁移探究】　(变条件)若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2 A＋cos2 B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．

解：如图，在Rt△ABC中，

cos2A＋cos2B＝＋＝＝1.

于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，四面体P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.

1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝(　　)

A．2πr4  B．3πr4 

C．4πr4  D．6πr4

解析：选A.二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，因为(2πr4)′＝8πr3，所以“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.

2．在正项等差数列{an}中有＝成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为                  ．

解析：由等差数列的性质知，

＝＝，

＝＝，

所以＝.

在正项等比数列{bn}中，类似的有：

＝＝＝，＝＝，

所以＝，

所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为

＝.

答案：＝

　　　　　　演绎推理(师生共研)

数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an.

【证明】　(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，

即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.

故＝2·，(小前提)

故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义)

(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，

所以Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

＝4an(n≥2)．

又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，

所以对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.

演绎推理的推证规则

(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．

(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．

　已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．

证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，

则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，

所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，

[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，

因为x1<x2，

所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．

所以y＝f(x)为R上的单调递增函数．

核心素养系列22　逻辑推理——推理中的核心素养

(2019·高考全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)

A．甲、乙、丙  B．乙、甲、丙 

C．丙、乙、甲  D．甲、丙、乙

【解析】　依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.

【答案】　A

本题体现数学素养中的逻辑推理，表现为人们在数学活动中进行交流的基本思维品质，处理此类问题常采用辨证推理的思想．

　(2020·河北省九校第二次联考)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，

甲说：“是C或D作品获得一等奖”；

乙说：“B作品获得一等奖”；

丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；

丁说：“是C作品获得一等奖”．

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是       

解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是B.

答案：B

[基础题组练]

1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确  B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．

2．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{ }的公比为(　　)

A.  B．q2 

C.  D．

解析：选C.由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq，所以 ＝b1q，所以等比数列{ }的公比为，故选C.

3．(2020·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参加奥赛，其中只有一位获奖，有人走访四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是(　　)

A．甲  B．乙 

C．丙  D．丁

解析：选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.

4．(2020·荆州质检)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：

①2＋4＝6；

②8＋10＋12＝14＋16；

③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；

…

按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为(　　)

A．29  B．30 

C．31  D．32

解析：选C.由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3，5，7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．

5．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是        ．

解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线－＝1的切点弦方程为－＝1.

答案：－＝1

6．按照图①～图③的规律，第10个图中圆点有      个．

解析：因为根据图形，第一个图有4个点，第二个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．

答案：40

7．(2020·河北石家庄模拟)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据上述规律，第n个不等式可能为        ．

解析：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据上述规律，第n个不等式的左端是n＋1项的和1＋＋＋…＋，右端分母依次是2，3，4，…，n＋1，分子依次是3，5，7，…，2n＋1，故第n个不等式为1＋＋＋…＋<.

答案：1＋＋＋…＋<

8．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

证明：因为△ABC为锐角三角形，

所以A＋B>，

所以A>－B，

因为y＝sin x在上是增函数，

所以sin A>sin＝cos B，

同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，

所以sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

[综合题组练]

1．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列

的数记为ai，j，比如a3，2＝9，a4，2＝15，a5，4＝23，若ai，j＝2 017，则i＋j＝(　　)

A．64  B．65 

C．71  D．72

解析：选D.奇数数列an＝2n－1＝2 017⇒n＝1 009，按照蛇形数列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.

2．(应用型)(2020·湖北八校联考模拟)祖暅是我国南北朝时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆＋＝1(a>b>0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于                ．

解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V＝2(V圆柱－V圆锥)＝2(π×b2×a－π×b2a)＝π×b2a.

答案：π×b2a