2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第五章　第1讲　平面向量的概念及线性运算

第1讲　平面向量的概念及线性运算

一、知识梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．

(2)任意向量a的模都是非负实数，即|a|≥0.

2．向量的线性运算

3.向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．

常用结论

1．两特殊向量

(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．

(2)非零向量a的同向单位向量为.

2．几个重要结论

(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．

(2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

(3)若G为△ABC的重心，则有

①＋＋＝0；②＝(＋)．

二、习题改编

1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝        ，＝        ．(用a，b表示)

解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.

答案：b－a　－a－b

2．(必修4P118A组T2(3)改编)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为        ．

解析：如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

答案：矩形

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)

(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)

(3)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)对向量共线定理认识不准确；

(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．

1．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件．

2．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　)

A．－＋　　　　　 B．－－

C. －  D．＋

答案：A

　　　　　平面向量的有关概念(师生共研)

给出下列命题：

①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；

②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则四边形ABCD为平行四边形；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是        ．

【解析】　①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．

②是错误的，|a|＝|b|，但a，b的方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反．

③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．

④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

【答案】　③

平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．

(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．

1．给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；

④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．

其中叙述错误的命题的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C.对于②：当a＝0时，不成立；对于③：当a，b之一为零向量时，不成立；对于④：当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.

2．下列与共线向量有关的命题：

①相反向量就是方向相反的向量；

②a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；

③两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．

其中错误命题的序号为        ．

解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以命题③是正确的．

答案：①②

　　　　　　平面向量的线性运算(师生共研)

(1)(一题多解)(2020·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)

A.a＋b   B.a＋b

C.a－b  D．a－b

(2)(2020·河南八市联考改编)在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段的中点，若＝λ＋μ，则λ＝        ，μ＝        ．

【解析】　(1)通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.

优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.

优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.

(2)取AB的中点F，连接CF，则由题意可得CF∥AD，且CF＝AD.

因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以λ＝，μ＝.

【答案】　(1)A　(2)　

向量线性运算的解题策略

(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

1．下列四个结论：

①＋＋＝0；

②＋＋＋＝0；

③－＋－＝0；

④＋＋－＝0.

其中一定正确的结论的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C.①＋＋＝＋＝0，①正确；②＋＋＋＝＋＋＝，②错；③－＋－＝＋＋＝＋＝0，③正确；④＋＋－＝＋＝0，④正确．故①③④正确．

2．已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为        ．

解析：因为D为边BC的中点，所以＋＝2，

又＋＋＝0，

所以＝＋＝2，

所以＝－2，

所以λ＝－2.

答案：－2

　　　　　　平面向量共线定理的应用(典例迁移)

设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，

所以，共线，又它们有公共点B，

所以A，B，D三点共线．

(2)因为ka＋b与a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

所以k－λ＝λk－1＝0，所以k2－1＝0，

所以k＝±1.

【迁移探究】　(变条件)若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？

解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ<0)，

所以所以k＝±1.

又λ<0，k＝λ，所以k＝－1.

故当k＝－1时，两向量反向共线．

[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点．

1．已知向量a与b不共线，＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)，则与共线的条件是(　　)

A．m＋n＝0  B．m－n＝0

C．mn＋1＝0  D．mn－1＝0

解析：选D.由＝a＋mb，＝na＋b(m，n∈R)共线，得a＋mb＝λ(na＋b)，即所以mn－1＝0.

2.(一题多解)(2020·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选C.通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C.

优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋，因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.

[基础题组练]

1．向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则a－b＝(　　)

A．－4e1－2e2  B．－2e1－4e2

C．e1－3e2  D．3e1－e2

解析：选C.结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.

2．已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)

A．点P在线段AB上  B．点P在线段BC上

C．点P在线段AC上  D．点P在△ABC外部

解析：选C.由＋＋＝，得＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．

3．(2020·唐山二模)已知O是正方形ABCD的中心．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则＝(　　)

A．－2  B．－

C．－  D．

解析：选A.＝＋＝＋＝－＋＝AB－，所以λ＝1，μ＝－，因此＝－2.

4．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选D.设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).

因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，

所以y∈，

因为＝x＋(1－x)，

所以x＝－y，所以x∈.

5．已知平面内四点A，B，C，D，若＝2，＝＋λ，则λ的值为        ．

解析：依题意知点A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.

答案：

6．若||＝8，||＝5，则||的取值范围是        ．

解析：＝－，当，同向时，||＝8－5＝3；当，反向时，||＝8＋5＝13；当，不共线时，3<||<13.综上可知3≤||≤13.

答案：[3，13]

7．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.

其中正确命题的个数为        ．

解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①错；

＝＋＝a＋b，故②正确；

＝(＋)＝(－a＋b)

＝－a＋b，故③正确；

所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．

所以正确命题的序号为②③④.

答案：3

8．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若＝a，＝b，＝2.

(1)用a，b表示；

(2)证明：A，M，C三点共线．

解：(1)＝＋＋＝a＋b＋＝a＋b，

又E为AD中点，

所以＝＝a＋b，

因为EF是梯形的中位线，且＝2，

所以＝(＋)＝＝a，

又M，N是EF的三等分点，所以＝＝a，

所以＝＋＝a＋b＋a

＝a＋b.

(2)证明：由(1)知＝＝a，

所以＝＋＝a＋b＝，

又与有公共点M，所以A，M，C三点共线．

[综合题组练]

1．已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)

A.＋   B.－

C.＋  D．＋

解析：选A.如图所示，设BC的中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选A.

2.如图，A，B分别是射线OM，ON上的点，给出下列向量：①＋2；②＋；③＋；④＋；⑤－.若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有(　　)

A．①②  B．②④

C．①③  D．③⑤

解析：选B.在ON上取点C，使得OC＝2OB，以OA，OC为邻边作平行四边形OCDA，则＝＋2，其终点不在阴影区域内，排除A，C；取OA上一点E，作AE＝OA，作EF∥OB，交AB于点F，则EF＝OB，由于EF<OB，所以＋的终点不在阴影区域内，排除选项D.

3．(2020·广州综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且＝2，则△PAB与△PBC的面积的比值是        ．

解析：因为＝2，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上的高相等，所以＝＝.

答案：

4．(2020·江西临川一中、南昌二中5月联考)在△ABC中，＝，＝2，＝λ＋μ，则λ＋μ＝        ．

解析：因为＝，＝2，所以P为△ABC的重心．

易知D为BC的中点，所以＝＋.

所以＝＝＋.

所以＝＋.

所以＝－＝－＋.

因为＝λ＋μ，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝－.

答案：－