2021版高考文科数学（人教A版）一轮复习教师用书：第一章　第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)常用的简单的逻辑联结词有“或”“且”“非”．

(2)命题p∧q、p∨q、﹁p的真假判断

2.全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

(2)全称命题和特称命题

常用结论

1．含逻辑联结词命题真假的判断

(1)p∧q中一假则假，全真才真．

(2)p∨q中一真则真，全假才假．

(3)p与﹁p真假性相反．

2．全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

二、习题改编

1．(选修1­1P26A组T3改编)命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)

A．∃x0∈R，x＋x0≤0　　 B．∃x0∈R，x＋x0<0

C．∀x∈R，x2＋x≤0  D．∀x∈R，x2＋x<0

解析：选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.

2．(选修1­1P18A组T1(3)改编)已知命题p：2是偶数，命题q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．故选B.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(　　)

(2)命题p和﹁p不可能都是真命题．(　　)

(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题．(　　)

(4)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)

(5)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√

二、易错纠偏

(1)全称命题或特称命题的否定出错；

(2)复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是                          ．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为        ．

解析：“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．

答案：若ab≠0，则a≠0且b≠0

　　　　　　全称命题、特称命题(多维探究)

角度一　全称命题、特称命题的真假

若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)

B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)

C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)

D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)

【解析】　由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，即∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)是假命题．

【答案】　C

全称命题与特称命题的真假判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．

角度二　全称命题、特称命题的否定

已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数

【解析】　由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．

【答案】　D

全称命题与特称命题的否定

确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．

角度三　与全(特)称命题有关的参数问题

(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是      ．

【解析】　因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.

【答案】　(－∞，－1]

将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．

1．(2020·甘肃静宁一中三模)下列命题正确的是(　　)

A．∃x0∈R，x＋2x0＋3＝0

B．x>1是x2>1的充分不必要条件

C．∀x∈N，x3>x2

D．若a>b，则a2>b2

解析：选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<0，故方程无实根，即∃x0∈R，x＋2x0＋3＝0错误，即A错误；

x2>1⇔x<－1或x>1，故x>1是x2>1的充分不必要条件，故B正确；

当x≤1时，x3≤x2，故∀x∈N，x3>x2错误，即C错误；

若a＝1，b＝－1，则a>b，但a2＝b2，故D错误．故选B.

2．(2020·河南商丘模拟)已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则(　　)

A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0

B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0

C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0

D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0

解析：选C.易知f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)在上是减函数，因为f(0)＝0，所以f(x)<0，所以命题p：∃x∈，f(x)<0是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0，故选C.

　　　　含有逻辑联结词的命题的真假判断(师生共研)

(2020·河北衡水中学3月大联考)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>x；命题q：“m≤1”是“函数f(x)＝x2－(m＋1)x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为(　　)

A．p∧q  B．(﹁p)∧q

C．(﹁p)∨q  D．p∧(﹁q)

【解析】　因为|x＋1|>x，对x∈R成立，故p为真命题；因为函数f(x)＝x2－(m＋1)·x－m2在区间(1，＋∞)内单调递增，所以≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p∧q，(﹁p)∧q，(﹁p)∨q均为假命题，p∧(﹁q)为真命题，故选D.

【答案】　D

(1)“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤

①确定命题的构成形式；

②判断其中命题p，q的真假；

③确定“p∨q”“p∧q”“﹁p”等形式命题的真假．

(2)含逻辑联结词命题真假的等价关系

①p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假；

②p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真；

③p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假；

④p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真；

⑤﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．

1．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知命题p：∃x∈R，sin x>1，命题q：∀x∈(0，1)，ln x<0，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q  B．p∧(﹁q)

C．p∨(﹁q)  D．(﹁p)∧q

解析：选D.因为－1≤sin x≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨(﹁q)为假，(﹁p)∧q为真，故选D.

2．已知命题p：“若x2－x>0，则x>1”；命题q：“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是(　　)

A．p∨(﹁q)  B．p∨q

C．p∧q  D．(﹁p)∧(﹁q)

解析：选B.若x2－x>0，则x>1或x<0，故p是假命题；若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p∨q是真命题，故选B.

　　　　由命题的真假确定参数的取值范围(典例迁移)

已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

【解】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，即－2<m<2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．

【迁移探究1】　(变结论)本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为        ．

解析：依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m<0；当q是真命题时，有－2<m<2，

由可得－2<m<0.

答案：(－2，0)

【迁移探究2】　(变结论)本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为        ．

解析：若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时所以m≤－2；

当p假q真时所以0≤m<2.

所以实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[0，2)．

答案：(－∞，－2]∪[0，2)

【迁移探究3】　(变条件)本例中的条件q变为：存在x0∈R，x＋mx0＋1<0，其他不变，则实数m的取值范围为        ．

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>0，

所以m>2或m<－2.由题意知，p，q均为假命题，

所以得0≤m≤2，

所以实数m的取值范围是[0，2]．

答案：[0，2]

根据命题真假求参数的步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

[注意]　要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究(2)，由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．

　(2020·河南师范大学附属中学开学考)已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(4，＋∞)  B．[1，4]

C．(－∞，1]  D．[e，4]

解析：选D.命题p等价于ln a≥x对x∈[0，1]恒成立，所以ln a≥1，解得a≥e；命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p∧q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.

[基础题组练]

1．已知命题p：∃x0>1，x－1>0，那么﹁p是(　　)

A．∀x>1，x2－1>0

B．∀x>1，x2－1≤0

C．∃x0>1，x－1≤0

D．∃x0≤1，x－1≤0

解析：选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：∀x>1，x2－1≤0.

2．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)

A．命题p是假命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

解析：选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.

3．(2020·吉林第三次调研测试)已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p∨q为真命题；若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件．故选A.

4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)  B．[0，4]

C．[4，＋∞)  D．(0，4)

解析：选D.因为命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0<a<4，故选D.

5．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为                    ．

解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．

答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1

6．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝        ．

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3<x<－1，

得x＝－2.

答案：－2

7．已知命题p：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数；命题q：不等式x2－2x>m－1的解集为R.若命题“p∨q”为真，则实数m的取值范围是      ；若“p∧q”为假，则实数m的取值范围是      ．

解析：对于命题p，由f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，得1－2m>0，解得m<；对于命题q，不等式x2－2x>m－1的解集为R等价于不等式(x－1)2>m的解集为R，因为(x－1)2≥0恒成立，所以m<0.若p∨q为真，则p，q中有一个为真，所以m<；若p∧q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥；若q为假，则m≥0，所以m≥0.

答案：　.

8．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧(﹁q)为真命题，求实数a的取值范围．

解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔0<a<1，

曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点⇔Δ＝(2a－3)2－4＞0⇔a<或a＞.

所以若p为真命题，则0<a<1；

若q为真命题，则a<或a＞.

因为p∧(﹁q)为真命题，

所以p为真命题，q为假命题．

由，解得≤a<1，

所以实数a的取值范围是.

[综合题组练]

1．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0<m<4，那么(　　)

A．“﹁p”是假命题  B．q是真命题

C．“p∨q”为假命题  D．“p∧q”为真命题

解析：选C.因为x2＋1<2x，即x2－2x＋1<0，也即(x－1)2<0，所以命题p为假；若mx2－mx＋1>0恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C.

2．(2020·湖北八校联考)下列说法正确的是(　　)

A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题

B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题

C．“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x>0”

D．“a＋1>b”是“a>b”的一个充分不必要条件

解析：选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；对于C，“∃x0∈R，x－x0<0”的否定是“∀x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；对于D，由a>b可推得a＋1>b，但由a＋1>b不能推出a>b，故D错误．

3．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为(　　)

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名

B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名

D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

解析：选D.由(﹁q)∧r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题(乙没得第二名)，且r为真命题(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.

4．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是        ．

解析：若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[(x－1)2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<1或m>2.

答案：(－∞，1)∪(2，＋∞)