2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第六章　第5讲　数列的综合应用

第5讲　数列的综合应用

　　　　等差数列与等比数列的综合问题(师生共研)

(2018·高考北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.

【解】　(1)设{an}的公差为d.

因为a2＋a3＝5ln 2，

所以2a1＋3d＝5ln 2.

又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.

(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，

所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以ea1＋e a2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.

等差数列、等比数列综合问题的解题策略

(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．

(2)注意细节．在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．

[提醒]　在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合．

　(2020·吉林第一次调研测试)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝3，an＋1＝2an＋1.

(1)证明：{an＋1}为等比数列；

(2)求{an}的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？说明理由．

解：(1)证明：因为a2＝3，a2＝2a1＋1，所以a1＝1，

因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，

所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知，an＋1＝2n，所以an＝2n－1，

所以Sn＝－n＝2n＋1－n－2，

所以n＋Sn－2an＝n＋2n＋1－n－2－2(2n－1)＝0，

所以n＋Sn＝2an，即n，an，Sn成等差数列．

　　　　　数列的实际应用与数学文化(师生共研)

(2020·重庆八中4月模拟)某地区2018年人口总数为45万．实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.

(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；

(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.9910≈0.9)

【解】　(1)由题意知，当1≤n≤10时，数列{an}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an＝45.5＋0.5×(n－1)＝0.5n＋45，则a10＝50；

当11≤n≤20时，数列{an}是公比为0.99的等比数列，则an＝50×0.99n－10.

故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为

an＝

(2)设Sn为数列{an}的前n项和．从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4 950×(1－0.9910)≈972.5.

所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为≈48.63，则＜49，

故到2038年结束后不需要调整政策．

数列实际应用中的常见模型

(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差．

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n＋1项an＋1的递推关系还是前n项和Sn与前n＋1项和Sn＋1之间的递推关系．

1．(2020·河南南阳模拟)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为(　　)

A．6斤　　　　　　　 B．7斤

C．9斤  D．15斤

解析：选D.设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{an}，

则有a1＝4，a5＝2，

所以a1＋a5＝6，

数列{an}的前5项和为S5＝5×＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.

2．1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成5等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的3只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？

解：假如我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列{an}，依题意，可知数列的递推公式：an＋1＝an－(an－1)－1，

即an＋1＝(an－1)，

整理变形，得an＋1＋4＝(an＋4)．

故{an＋4}是以为公比的等比数列，

所以a6＋4＝(a1＋4)，

欲使(a6＋4)∈N*，应有a1＋4＝55m(m∈N*)，

故最初至少有桃子a1＝55－4＝3 121个，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020个．

　　　　数列与函数、不等式的综合问题(师生共研)

设函数f(x)＝＋，正项数列{an}满足a1＝1，an＝f，n∈N＋，且n≥2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)对n∈N＋，求证：＋＋＋…＋<2.

【解】　(1)由an＝f，

所以an＝＋an－1，n∈N＋，且n≥2，

所以数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，

所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)＝.

(2)证明：由(1)可知

＝＝4，

Sn＝＋＋＋…＋

＝4[＋＋…＋(－)]

＝4

＝2－<2，得证．

数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略

(1)数列与函数的交汇问题

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法．

(2)数列与不等式的交汇问题

①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；

②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；

③比较方法：作差或者作商比较．

1．(2020·安徽蚌埠模拟)曲线y＝x＋ln x(n∈N＋)在x＝处的切线斜率为an，则数列的前n项的和为        ．

解析：对y＝x＋ln x(n∈N＋)求导，可得y′＝＋，由曲线y＝x＋ln x(n∈N＋)在x＝处的切线斜率为an，可得an＝＋＝n.所以＝＝－，则数列的前n项的和为1－＋－＋…＋－＝.

答案：

2．(2020·浙江杭州4月模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则a5＝        ，b10＝        ．

解析：因为an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，所以an，an＋1是方程x2－bnx＋2n＝0的两个根，

根据根与系数的关系，可得an·an＋1＝2n，an＋an＋1＝bn，

由an·an＋1＝2n，可得an＋1·an＋2＝2n＋1，

两式相除可得＝2，

所以a1，a3，a5，…成公比为2的等比数列，a2，a4，a6，…成公比为2的等比数列，又由a1＝1，得a2＝2，所以a5＝1×22＝4，a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32，

所以b10＝a10＋a11＝32＋32＝64.

答案：4　64

[基础题组练]

1．(2020·开封市定位考试)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B．1

C．－2  D．2

解析：选C.法一：因为a3＋4S2＝0，所以a1q2＋4a1＋4a1q＝0，因为a1≠0，所以q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2，故选C.

法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q＝－2，故选C.

2．(2020·宁夏银川一中一模)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝(　　)

A．26  B．52

C．78  D．104

解析：选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝4a7，所以a＝4a7≠0，解得a7＝4，

因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，

所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.故选B.

3．(2020·吉林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝ln x＋x2－8x的极值点，则S8＝(　　)

A．－38  B．38

C．－17  D．17

解析：选A.因为f(x)＝ln x＋x2－8x，所以f′(x)＝＋x－8＝＝，

令f′(x)＝0，解得x＝或x＝.

又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，

所以a6＝，a8＝，所以解得

所以S8＝8a1＋×d＝－38，故选A.

4．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于(　　)

A．n(2n＋3)  B．n(n＋4)

C．2n(2n＋3)  D．2n(n＋4)

解析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．

5．(2020·江西南昌模拟)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 019项的和为(　　)

A．672  B．673

C．1 346  D．2 019

解析：选C.由于{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，

故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，

所以{an}是周期为3的周期数列，

且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.

因为2 019＝673×3，

所以数列{an}的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.

6．(2019·高考北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝        ，Sn的最小值为          ．

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为即所以可得所以a5＝a1＋4d＝0，因为Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.

答案：0　－10

7．若数列{an}满足－＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝        ．

解析：由－＝0可得an＋1＝an，故{an}是公比为的等比数列，故{}是公比为的等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.

答案：32

8．(2020·河北石家庄4月模拟)数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝        ．

解析：由Hn＝＝2n，

得a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n·2n，　①

当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，　②

由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，

当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，

所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，所以Sn＝＝.

答案：

9．(2020·武汉市部分学校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.

(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；

(2)若T3＝13，求Sn.

解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，

则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.

由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①

由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②

联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.

(2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)，

所以1＋q＋q2＝13，

解得q＝3或q＝－4，

由a2＋b2＝3得d＝4－q，

所以d＝1或d＝8.

由Sn＝na1＋n(n－1)d，得Sn＝n2－n或Sn＝4n2－5n.

10．(2020·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.

(1)求数列{an}的通项公式an；

(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．

解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列{}为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即Sn＝n2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.

又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.

(2)由(1)知，bn＝＝，

所以Tn＝＝＝.

由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，

所以n的最小值为5.

[综合题组练]

1．(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)个圆环所需的最少移动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下4个环所需的最少移动次数a4为(　　)

A．7  B．10

C．12  D．22

解析：选A.因为数列{an}满足a1＝1，且an＝

所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，

所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.故选A.

2．已知an＝3n(n∈N＋)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N＋，k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是        ．

解析：Tn＝＝－＋，

所以Tn＋＝，

则原不等式可以转化为k≥＝恒成立，

令f(n)＝，

当n＝1时，f(n)＝－，当n＝2时，f(n)＝0，

当n＝3时，f(n)＝，当n＝4时，f(n)＝，即f(n)是先增加后减少，当n＝3时，取得最大值，所以k≥.

答案：k≥

3．(2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．

(1)已知等比数列{an}(n∈N＋)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列{an}为“M－数列”；

(2)已知数列{bn}(n∈N＋)满足：b1＝1，＝－，其中Sn为数列{bn}的前n项和．求数列{bn}的通项公式．

解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.

由得

解得

因此数列{an}为“M－数列”．

(2)因为＝－，所以bn≠0.

由b1＝1，S1＝b1，得＝－，则b2＝2.

由＝－，得Sn＝，

当n≥2时，由bn＝Sn－Sn－1，

得bn＝－，

整理得bn＋1＋bn－1＝2bn.

所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．

因此，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N＋)．

4．(2020·陕西宝鸡二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1＝1，Sn＋1－1＝Sn＋an，数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N＋.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若数列的前n项和为Wn，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Wn与的大小．

解：(1)由Sn＋1－1＝Sn＋an，

可得an＋1＝an＋1，又a1＝1，

所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，

可得an＝n.

因为数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝＜b1，n∈N*，

所以设公比为q，可得b1＝4b1q2，所以q＝±，

当q＝时，b1＝，可得b1＝＞.

当q＝－时，－b1＝，得b1＝－，不满足b2＜b1，舍去，

所以bn＝.

(2)＝＝－，

Wn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＜1.

Tn＝＝1－∈，则1＜≤2，故Wn＜.

类型一　判断等差数列和等比数列

类型二　求数列的前n项和