2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第六章　第1讲　数列的概念及简单表示法

第1讲　数列的概念及简单表示法

一、知识梳理

1．数列的有关概念

(1)数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．

(2)数列的分类

(3)数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．

2．数列的通项公式

(1)数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

(2)已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝

常用结论

1．数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在正整数集或其子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值．

2．在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则

二、教材衍化  

1．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C.  D．

解析：选D.a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.

2．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝        ．

答案：5n－4

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　　)

(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示．(　　)

(3)数列{an}和集合{a1，a2，a3，…，an}是一回事．(　　)

(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点．(　　)

(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个．(　　)

(6)若数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＝Sn－Sn－1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×

二、易错纠偏

(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集N＋或其子集{1，2，…，n}；

(2)根据Sn求an时忽视对n＝1的验证．

1．在数列－1，0，，，…，中，0.08是它的第        项．

解析：依题意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．

答案：10

2．已知Sn＝2n＋3，则an＝        ．

解析：因为Sn＝2n＋3，那么当n＝1时，a1＝S1＝21＋3＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不满足(*)式，所以an＝

答案：

　　　　由数列的前几项求数列的通项公式(师生共研)

(1)数列1，3，6，10，15，…的一个通项公式是(　　)

A．an＝n2－(n－1)　　　　 B．an＝n2－1

C．an＝  D．an＝

(2)已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是        ．

【解析】　(1)设此数列为{an}，则由题意可得a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，a5＝15，…仔细观察数列1，3，6，10，15，…可以发现：1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4.…所以第n项为1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝，所以数列1，3，6，10，15，…的通项公式an＝.

(2)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子数比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…故其通项公式可以为an＝(－1)n·.

【答案】　(1)C　(2)an＝(－1)n·

解决此类问题，需抓住下面的特征：

(1)各项的符号特征，通过(－1)n或(－1)n＋1来调节正负项．

(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．

(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征．

(4)拆项、添项后的特征．

(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律．

[注意]　根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的！

1．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝        ．

解析：数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.

答案：

2．数列，，，，…的一个通项公式是        ．

解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a－a－1＝4，所以a＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝.

答案：an＝

　　　　　由an与Sn的关系求通项公式an(师生共研)

(1)(2020·河南三市联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝，若a4＝32，则a1的值为(　　)

A.   B.

C.  D．

(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则a1＝        ，{an}的通项公式为        ．

【解析】　(1)因为Sn＝，a4＝32，

所以S4－S3＝－＝32，

所以a1＝，故选A.

(2)数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，

当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，

所以(2n－1)an＝2，所以an＝.

当n＝1时，a1＝2，上式也成立．

所以an＝.

【答案】　(1)A　(2)2　an＝

(1)已知Sn求an的三个步骤

①先利用a1＝S1求出a1；

②用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

③注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．

①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；

②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．　

1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝        ．

解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.所以an＝

答案：

2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝        ．

解析：由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝a1＋，所以a1＝1，所以{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.

答案：(－2)n－1

　　　　由递推关系求数列的通项公式(师生共研)

分别求出满足下列条件的数列的通项公式．

(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N＋)；

(2)a1＝1，an＋1＝2nan(n∈N＋)；

(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)．

【解】　(1)an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1)＝0＋1＋3＋…＋(2n－5)＋(2n－3)＝(n－1)2，

所以数列的通项公式为an＝(n－1)2.

(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，

将这n－1个等式叠乘，

得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2，

所以数列的通项公式为an＝2.

(3)因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以该数列的通项公式为an＝2·3n－1－1.

由递推关系求数列的通项公式的常用方法

1．在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1，则an＝        ．

解析：a1＝2，an＋1＝an＋2n－1⇒an＋1－an＝2n－1⇒an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1，

则an＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1

＝＋2＝2n－1＋1.

答案：2n－1＋1

2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝        ．

解析：由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2)．

所以an＝···…···a1

＝···…·××1＝，(*)

又a1也满足(*)式，所以an＝.

答案：

　　　　　　数列的函数特征(多维探究)

角度一　数列的单调性

已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)

A．(3，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．(0，＋∞)

【解析】　因为an＋1－an＝－＝，由数列{an}为递减数列知，对任意n∈N＋，an＋1－an＝＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N＋恒成立，所以k∈(0，＋∞)．故选D.

【答案】　D

(1)解决数列单调性问题的三种方法

①用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

②用作商比较法，根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断；

③结合相应函数的图象直观判断．

(2)求数列最大项或最小项的方法

①可以利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项；

②利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项．　

角度二　数列的周期性

等差数列{an}的公差d＜0，且a＝a，则数列{an}的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为(　　)

A．5  B．6

C．5或6  D．6或7

【解析】　由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，

因为d＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，

又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.

因为d＜0，所以{an}是递减数列，

所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.

【答案】　C

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

　已知数列{an}满足an＝(n－λ)2n(n∈N＋)，若{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是        ．

解析：因为数列{an}是递增数列，所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，化为λ＜n＋2，对任意的n∈N＋都成立．所以λ＜3.

答案：(－∞，3)

核心素养系列13　逻辑推理——数列的通项公式

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比推理；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎推理．

已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.  D．

【解析】　法一(归纳推理)：因为Sn＝n2an，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an，

故an＋1＝an，

当n＝2时，a1＋a2＝4a2，a1＝1，

所以a2＝.所以a1＝1＝，

a2＝＝，

a3＝a2＝×＝＝，

a4＝a3＝×＝＝，

a5＝a4＝×＝＝，

由此可猜想an＝.

法二(演绎推理)：因为a1＝1，Sn＝n2an，所以n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，即(n＋1)(n－1)an＝(n－1)2an－1，

所以＝，

所以··…·

＝××·…·×，

即＝，所以an＝.

【答案】　B

本题是从特殊到一般的归纳，是不完全归纳，解答此类问题的具体策略：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．

1．在数列1，2，，，，…中2是这个数列的第        项．

解析：数列1，2，，，，…，即数列，，，，，…，

所以该数列的通项公式为an＝＝，

所以＝2＝，

所以n＝26，故2是这个数列的第26项．

答案：26

2．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N＋)，则a2 020等于        ．

解析：因为a1＝1，所以a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a2 020＝a2＝0.

答案：0

[基础题组练]

1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)

A．3不是数列{an}的项

B．3只是数列{an}的第2项

C．3只是数列{an}的第6项

D．3是数列{an}的第2项和第6项

解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故选D.

2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，则a5＝(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选A.由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，所以a5＝a3·a2＝.

3．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.

4．已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　)

A．a3＝－1  B．a2 019＝

C．S3＝3  D．S2 019＝2 019

解析：选A.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S6＝3，S2 019＝.

5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B.由题意知，Sn＋nan＝2，

当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，

所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，

从而···…·＝··…·，

则an＝，当n＝1时上式成立，

所以an＝.

6．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝        ．

解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为.

答案：

7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为        ．

解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，

当n＝1时，a1＝6；

当n≥2时，

故当n≥2时，an＝，

所以an＝

答案：an＝

8．(2020·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝        ．

解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1，

所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n.

答案：n

9．已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝

(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2，

由于a1不适合此式，所以an＝

10．(2020·安徽合肥四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.

[综合题组练]

1．(2020·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝        ．

解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n.

答案：n

2．(2020·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝        ．

解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－，

又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3，

则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3××＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1.

答案：－1

3．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N＋)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N＋)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理a3＝3，a4＝4.

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n.

4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N＋.

(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N＋，求a的取值范围．

解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，

即Sn＋1＝2Sn＋3n，

由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，

又b1＝S1－3＝a－3，

因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N＋.

(2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N＋，

于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，

an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2

＝2n－2，

所以，当n≥2时，

an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9，

又a2＝a1＋3＞a1，a≠3.

所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)．