2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第四章 第3讲 第2课时 简单的三角恒等变形
展开第2课时 简单的三角恒等变形
三角函数式的化简(师生共研)
化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ ；
(2)·＝ ．
【解析】 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
【答案】 (1)sin(α＋γ) (2)
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(2)三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
1．(2020·安徽芜湖模拟)化简：＝ ．
解析：＝＝
＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
三角函数式的求值(多维探究)
角度一 给角求值
计算＝ ．
【解析】
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】 2
角度二 给值求值
已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】 (1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.
因为sin2 α＋cos2 α＝1，所以cos2 α＝，
因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
角度三 给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，则2α－β的值为 ．
【解析】 法一：由已知可知cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以sin α＝，cos β＝.
因此cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.
因为α，β为锐角，所以α－β∈.
所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以sin(α－β)＞0，故α－β∈，
故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.
所以2α－β＝.
【答案】
三角函数求值的3种情况
1．计算：＝( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.
2．已知tan＝，且α为第二象限角，若β＝，则sin(α－2β)cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝( )
A．－ B.
C．－ D．
解析：选D.tan＝＝，所以tan α＝－，又α为第二象限角，所以cos α＝－，所以sin(α－2β)·cos 2β－cos(α－2β)sin 2β＝sin(α－4β)＝sin＝－cos α＝，故选D.
3．(2020·湖南长郡中学模拟改编)若α，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，则cos(α＋β)＝ ，α＋β＝ ．
解析：因为α，β为锐角，sin α＝，sin β＝，所以cos α＝，cos β＝，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝，α＋β＝.
答案：
[基础题组练]
1．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A. B.
C. D．
解析：选A.cos2＝
＝＝，又sin 2α＝，
所以原式＝＝，故选A.
2.＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选A.＝
＝＝＝.
3．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A．－ B.
C. D．
解析：选D.由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝2，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝＝＝.故选D.
4．已知cos＝－，则sin－cos α＝( )
A．± B．－
C. D．±
解析：选D.sin－cos α＝sin αcos ＋cos αsin －cos α＝sin，而cos＝1－2sin2＝－，则sin＝±，所以sin－cos α＝±，故选D.
5．若＝·sin 2θ，则sin 2θ＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选C.由题意知＝sin 2θ，
所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，
则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，
因此sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍)．
6．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝ ．
解析：法一：因为cos 2θ＝，
所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，
因为cos2θ＝，sin2θ＝，
所以sin4θ＋cos4θ＝.
法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ
＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.
答案：
7．(2020·陕西商洛模拟考试)已知sin α＋3cos α＝－，则tan 2α＝ ．
解析：因为(sin α＋3cos α)2＝sin2α＋6sin αcos α＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α－6sin αcos α＋cos2α＝0，则(3tan α－1)2＝0，即tan α＝.所以tan 2α＝＝.
答案：
8．tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)等于 ．
解析：tan 70°·cos 10°(tan 20°－1)
＝·cos 10°
＝·
＝＝＝－1.
答案：－1
9．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．
解：由cos β＝，β∈，
得sin β＝，tan β＝2.
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
因为α∈，β∈，
所以<α＋β<，
所以α＋β＝.
10．已知sin＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin的值．
解：(1)sin＝，
即sin αcos＋cos αsin＝，
化简得sin α＋cos α＝，①
又sin2α＋cos2α＝1，②
由①②解得cos α＝－或cos α＝，
因为α∈.所以cos α＝－.
(2)因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝，
则cos 2α＝1－2sin2α＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝－，
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝－.
[综合题组练]
1．(2020·江西省五校协作体试题)若θ∈，且2sin2θ＋sin 2θ＝－，则tan＝ ．
解析：由2sin2θ＋sin 2θ＝－，得1－cos 2θ＋sin 2θ＝－，得cos 2θ－sin 2θ＝，2cos＝，即cos＝，又θ∈，所以2θ＋∈，则tan＝，所以tan＝tan＝＝.
答案：
2．(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是 ．
解析：＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝.
答案：
3．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解：连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ
＝400sin 2θ.因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400(m2)．
此时AO＝DO＝10(m)．
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.
4．(综合型)已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，所以A＝2.
(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，
得sin α＝，又α∈，
所以cos α＝.
由f＝2cos(β－＋)＝2cos β＝，
得cos β＝，又β∈，所以sin β＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝－.
