2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、知识梳理

1．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2x＋cos2x＝1．

(2)商数关系：tan x＝.

2．三角函数的诱导公式

常用结论

1．同角三角函数关系式的常用变形

(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.

2．诱导公式的记忆口诀

“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．

二、教材衍化  

1．已知sin α＝，≤α≤π，则tan α＝(　　)

A．－2　　　　　　　　 B．2

C.  D．－

解析：选D.因为cos α＝－＝－＝－，所以tan α＝＝－.

2．化简＝        ．

解析：＝＝sin 2θ.

答案：sin 2θ

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)

(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)

(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

二、易错纠偏

(1)不注意角的范围出错；

(2)诱导公式记忆不熟出错．

1．已知cos(π＋α)＝，则tan α＝(　　)

A.   B.

C．±  D．±

解析：选C.因为cos(π＋α)＝，

所以cos α＝－，

则α为第二或第三象限角，

所以sin α＝±＝±.

所以tan α＝＝＝±.

2．若sin(π＋α)＝－，则sin(7π－α)＝        ，cos＝        ．

解析：由sin(π＋α)＝－sin α＝－，得sin α＝，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝，cos＝cos＝cos＝cos＝sin α＝.

答案：　

　　　　　同角三角函数的基本关系式(多维探究)

角度一　公式的直接应用

(1)(2020·河南洛阳模拟)已知α∈(0，π)，cos α＝－，则tan α＝(　　)

A.　　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为        ．

【解析】　(1)因为cos α＝－且α∈(0，π)，

所以sin α＝＝，

所以tan α＝＝－.故选D.

(2)由tan α＝－，

得sin α＝－cos α，且sin α>0，cos α<0，

将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，

所以cos α＝－，sin α＝，

故sin α＋cos α＝－.

【答案】　(1)D　(2)－

利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．

角度二　sin α，cos α的齐次式问题

已知＝－1，求下列各式的值：

(1)；

(2)sin2α＋sin αcos α＋2.

【解】　由已知得tan α＝.

(1)＝＝－.

(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.

关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次

整式的化简求值的解题策略

已知tan α，求关于sin α与cos α的齐n次分式或齐二次整式的值．

角度三　sin α±cos α，sin αcos α之间的关系

已知α∈(－π，0)，sin α＋cos α＝.

(1)求sin α－cos α的值；

(2)求的值．

【解】　(1)由sin α＋cos α＝，

平方得sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，

整理得2sin αcos α＝－.

所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝.

由α∈(－π，0)，知sin α<0，又sin α＋cos α>0，

所以cos α>0，则sin α－cos α<0，

故sin α－cos α＝－.

(2)＝＝

＝＝－.

sin α±cos α与sin αcos α关系的应用技巧

(1)通过平方，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α之间可建立联系，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)．

(2)对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，可以知一求二．

1．(2020·长春模拟)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)

A．－   B.

C．－  D．

解析：选B.因为<α<，所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，所以cos α－sin α＝.故选B.

2．若3sin α＋cos α＝0，则的值为        ．

解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，＝＝

＝＝.

答案：

3．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝        ．

解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.

答案：－

　　　　　　诱导公式的应用(典例迁移)

(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＝        ．

(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于        ．

【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°

＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)

＝－sin 120°cos 210°

＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)

＝sin 60°cos 30°＝×＝.

(2)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.

【答案】　(1)　(2)

【迁移探究】　(变问法)若本例(2)的条件不变，则＝        ．

解析：由题可知tan θ＝3，

原式＝

＝

＝＝＝＝3.

答案：3

(1)诱导公式用法的一般思路

①化负为正，化大为小，化到锐角为止；

②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等；

②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

1．若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是(　　)

A．cos(A＋B)＝cos C

B．sin(A＋B)＝－sin C

C．cos＝sin

D．sin＝－cos

解析：选C.因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，cos＝cos＝sin ，sin＝sin＝cos.

2．cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝        ．

解析：cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝－cos 1 020°sin 1 050°＝cos 60°sin 30°＝.

答案：

3．已知cos＝a，则cos＋sin的值是        ．

解析：因为cos＝cos

＝－cos＝－a.

sin＝sin＝cos＝a，

所以cos＋sin＝0.

答案：0

核心素养系列10　数学运算——三角函数式的化简与求值

数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

已知sin α＝，求tan(α＋π)＋的值．

【解】　因为sin α＝＞0，所以α为第一或第二象限角．

tan(α＋π)＋＝tan α＋

＝＋＝.

(1)当α是第一象限角时，cos α＝＝，

原式＝＝.

(2)当α是第二象限角时，cos α＝－＝－，

原式＝＝－.

综合(1)(2)知，原式＝或－.

三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．

1．已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为(　　)

A．2  B．－2

C.  D．±2

解析：选D.因为sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，tan＝＝±2.故选D.

2．化简：＝        ．

解析：＝＝＝cos α.

答案：cos α

[基础题组练]

1．计算：sin ＋cos ＝(　　)

A．－1　　　　　　　　　 B．1

C．0  D．－

解析：选A.原式＝sin＋cos＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1.

2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)

A．－  B．－

C.  D．

解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，

所以－sin θ＝－cos θ，

所以tan θ＝，因为|θ|＜，所以θ＝.

3．已知f(α)＝，则f＝(　　)

A.   B.

C.  D．－

解析：选A.f(α)＝＝＝＝cos α，则f＝cos＝.

4．已知sin α＋cos α＝，则tan α＋的值为(　　)

A．－1  B．－2

C.  D．2

解析：选D.因为sin α＋cos α＝，所以(sin α＋cos α)2＝2，所以sin αcos α＝.所以tan α＋＝＋＝＝2.故选D.

5．设α是第三象限角，tan α＝，则cos(π－α)＝        ．

解析：因为α为第三象限角，tan α＝，

所以cos α＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝.

答案：

6．化简：·sin(α－)·cos(－α)＝        ．

解析：·sin(α－)·cos(－α)＝·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.

答案：－cos2α

7．已知sincos＝，且0＜α＜，则sin α＝        ，cos α＝        ．

解析：sincos＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.

因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.

又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝.

答案：　

8．已知α为第三象限角，

f(α)＝.

(1)化简f(α)；

(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．

解：(1)f(α)＝

＝＝－cos α.

(2)因为cos(α－)＝，

所以－sin α＝，

从而sin α＝－.

又α为第三象限角，

所以cos α＝－＝－，

所以f(α)＝－cos α＝.

[综合题组练]

1．已知－＜α＜0，sin α＋cos α＝，则的值为(　　)

A.   B.

C.  D．

解析：选B.因为－＜α＜0，

所以cos α＞0，sin α＜0，可得cos α－sin α＞0，

因为(sin α＋cos α)2＋(cos α－sin α)2＝2，

所以(cos α－sin α)2＝2－(sin α＋cos α)2＝2－＝，

cos α－sin α＝，cos2α－sin2α＝×＝，

所以的值为.

2．若k∈Z时，的值为(　　)

A．－1  B．1

C．±1  D．与α取值有关

解析：选A.当k为奇数时，

＝＝－1；

当k为偶数时，

＝＝－1.

3．化简＝        ．

解析：原式＝

＝

＝＝

＝1.

答案：1

4．若＝2，则cos α－3sin α＝        ．

解析：因为＝2，所以cos α＝2sin α－1，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋(2sin α－1)2＝1，5sin2α－4sin α＝0，解得sin α＝或sin α＝0(舍去)，所以cos α－3sin α＝－sin α－1＝－.

答案：－