2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第一章　第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、知识梳理

1．命题

在数学中，可以判断真假，用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

常用结论

1．充要条件的两个结论

(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．

(2)若p是q的充分不必要条件，则綈q是綈p的充分不必要条件．

2．一些常见词语及其否定

二、教材衍化

1．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．“若x<y，则x2<y2”　 B．“若x>y，则x2>y2”

C．“若x≤y，则x2≤y2”  D．“若x≥y，则x2≥y2”

解析：选C.根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．故选C.

2．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(5)q不是p的必要条件时，“p q”成立．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

二、易错纠偏

(1)不明确命题的条件与结论；

(2)对充分必要条件判断错误；

(3)含有大前提的命题的否命题易出错．

1．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题(　　)

A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．

2．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．

解析：綈p：a≥0；綈q：a2≤a，即0≤a≤1，故綈p是綈q的必要不充分条件．

答案：必要不充分

3．已知命题“对任意a，b∈R，若ab>0，则a>0”，则它的否命题是____________．

答案：存在a，b∈R，若ab≤0，则a≤0.

　　　　　　四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)

(2020·陕西西安模拟)命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若－1<x<1，则x2<1

C．若x>1或x<－1，则x2>1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

【解析】　命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若綈q，则綈p”的形式，所以“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.

【答案】　D

(1)判断命题真假的两种方法

(2)由原命题写出其他三种命题的方法

由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．

1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(　　)

A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0

B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0

C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0

D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0

解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.

2．(2020·甘肃酒泉敦煌中学一诊)有下列四个命题，其中真命题是(　　)

①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；

③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．

A．①②  B．①②③④

C．②③④  D．①③④

解析：选B.①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；

②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“若a·b≠a·c，则a不垂直(b－c)”，由a·b≠a·c可得a(b－c)≠0，据此可知a不垂直(b－c)，该命题为真命题；

③若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，为真命题，则其逆否命题为真命题；

④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题．

综上可得，真命题是①②③④.故选B.

　　　　　　充分条件、必要条件的判断(师生共研)

(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cos x＋bsin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】　(1)由x2－5x<0可得0<x<5，由|x－1|<1可得0<x<2.由于区间(0，2)是(0，5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．

(2)b＝0时，f(x)＝cos x，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cos x＋bsin x，又cos(－x)＝cos x，sin(－x)＝－sin x，所以cos x－bsin x＝cos x＋bsin x，则2bsin x＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数” 的充分必要条件，故选C.

【答案】　(1)B　(2)C

充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC” 是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，

所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．

2．设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.2－x≥0，则x≤2，(x－1)2≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的必要不充分条件．

3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，

所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，

因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.

　　　　　　充分条件、必要条件的应用(典例迁移)

已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．

【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由p是q的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【迁移探究1】　(变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使p是q的充要条件．

解：若p是q的充要条件，则P＝S，

所以所以

即不存在实数m，使p是q的充要条件．

【迁移探究2】　(变结论)本例条件不变，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，

因为綈p是綈q的必要不充分条件，

所以p⇒q且q⇒p.

所以[－2，10][1－m，1＋m]．

所以或

所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．

已知充分、必要条件求参数取值范围的解题策略

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后列出有关参数的不等式(组)求解．

(2)涉及参数问题，直接解决较为困难时，可用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，如将綈p，綈q之间的关系转化成p，q之间的关系来求解．

[注意]　(1)注意对区间端点值的处理；

(2)注意条件的等价变形．

　设p：－<x<(m>0)；q：x<或x>1，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为______．

解析：因为p是q的充分不必要条件，又m>0，所以≤，所以0<m≤2.

答案：(0，2]

思想方法系列1　等价转化思想在充要条件中的应用

等价转化思想就是对原问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，把要解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题，从而使问题得到圆满解决的思维方式．

已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若綈p是綈q的充分不必要条件，则m的取值范围为______．

【解析】　条件p：－2≤x≤10，条件q：1－m≤x≤1＋m，又綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．故有，所以0<m≤3.

【答案】　(0，3]

本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．

1．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

法二(等价转化法)：因为x＝y⇒cos x＝cos y，而cos x＝cos y x＝y，所以“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，故“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

2．(2020·江西九江模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分条件　　　　　　 B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件．故选B.

 [基础题组练]

1．已知命题p：若x≥a2＋b2，则x≥2ab，则下列说法正确的是　(　　)

A．命题p的逆命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

B．命题p的逆命题是“若x＜2ab，则x＜a2＋b2”

C．命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”

D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x＜2ab”

解析：选C.命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p的否命题是“若x＜a2＋b2，则x＜2ab”，故C正确，D错误．

2．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B.a≠0 ab≠0，但ab≠0⇒a≠0，因此p是q的必要不充分条件．

3．已知a，b，c是实数，下列结论正确的是(　　)

A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件

B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件

C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件

D．“|a|>|b|”是“a>b”的充要条件

解析：选C.对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是a<b，所以充分性不成立；对于B，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是a2<b2，所以必要性不成立；对于C，由ac2>bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是a<b，所以充分性不成立，当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选C.

4．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系中，下列说法正确的是(　　)

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．

A．①③  B．②

C．②③  D．①②③

解析：选A.本题考查命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题中的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定然后互换所得，故①正确，②错误，③正确．

5．“(x＋1)(y－2)＝0”是“x＝－1且y＝2”的________条件．

解析：因为(x＋1)(y－2)＝0，所以x＝－1或y＝2，所以(x＋1)(y－2)＝0 x＝－1且y＝2，x＝－1且y＝2⇒(x＋1)(y－2)＝0，所以是必要不充分条件．

答案：必要不充分

6．已知命题p：x≤1，命题q：<1，则綈p是q的______．

解析：由题意，得綈p：x>1，q：x<0或x>1，故綈p是q的充分不必要条件．

答案：充分不必要条件

7．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，

当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得

解得－3≤a<0，故－3≤a≤0.

答案：[－3，0]

8．已知命题p：(x＋3)(x－1)>0；命题q：x>a2－2a－2.若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解：已知p：(x＋3)(x－1)>0，可知p：x>1或x<－3，因为綈p是綈q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，得a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，即a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

[综合题组练]

1．(创新型)(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

2．(2020·辽宁丹东质量测试(一))已知x，y∈R，则“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选B.当“x＋y≤1”时，如x＝－4，y＝1，满足x＋y≤1，但不满足“x≤且y≤”．当“x≤且y≤”时，根据不等式的性质有“x＋y≤1”．故“x＋y≤1”是“x≤且y≤”的必要不充分条件．故选B.

3．(2020·湖南雅礼中学3月月考)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4 ，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≤1  B．a<1

C．a>3  D．a≥3

解析：选D.|x－1|<a⇒－a<x－1<a⇒1－a<x<1＋a，因为不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，所以(0，4)⊆(1－a，1＋a)，所以⇒⇒a≥3.故D正确．

4．下列命题中为真命题的序号是______．

①若x≠0，则x＋≥2；

②命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1；

③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；

④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．

解析：当x<0时，x＋≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．

答案：②④