2021版高考理科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第5讲　指数与指数函数

第5讲　指数与指数函数

一、知识梳理

1．根式

(1)根式的概念

①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N＋..式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a⇒

(2)根式的性质

①()n＝a(n∈N＋.，且n>1)；

②＝

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；

②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

常用结论

1．指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

2.

指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．

二、教材衍化

1．化简(x<0，y<0)＝________．

解析：因为x<0，y<0，所以4＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.

答案：－2x2y

2．函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．

解析：作出y＝2x与y＝2－x＝的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．

答案：y轴

3．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为________．

解析：令x－2＝0，则x＝2，f(2)＝3，即A的坐标为(2，3)．

答案：(2，3)

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝()n＝a.(　　)

(2)(－1)＝(－1)＝.(　　)

(3)函数y＝a－x是R上的增函数．(　　)

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　)

(5)函数y＝2x－1是指数函数．(　　)

(6)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

二、易错纠偏

(1)忽略n的范围导致式子(a∈R)化简出错；

(2)不能正确理解指数函数的概念致错；

(3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况；

(4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错．

1．计算＋＝________．

解析：＋＝(1＋)＋(－1)＝2.

答案：2

2．若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________．

解析：由题意知即a＝2.

答案：2

3．若函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________．

解析：当a>1时，a＝2；当0<a<1时a－1＝2，

即a＝.

答案：2或

4．函数y＝2的值域为________．

解析：因为≠0，

所以2>0且2≠1.

答案：(0，1)∪(1，＋∞)

　　　　　　指数幂的化简与求值(自主练透)

1．化简·(a>0，b>0)＝________．

解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.

答案：

2．计算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．

解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.

答案：－

3．化简：÷×＝________(a>0)．

解析：原式＝÷×＝a(a－2b)××＝a2.

答案：a2

指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．

(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．

(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．

(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

[提醒]　运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．　

　　　　　　指数函数的图象及应用(典例迁移)

(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　)

(2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上递减，则k的取值范围为________．

【解析】　(1)函数f(x)＝21－x＝2×，递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求．

(2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在(－∞，0]上递减，所以k的取值范围为(－∞，0]．

【答案】　(1)A　(2)(－∞，0]

【迁移探究1】　(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

解析：

函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点．

答案：{0}∪[1，＋∞)

【迁移探究2】　(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．

解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．

由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．

答案：(－∞，－1]

应用指数函数图象的4个技巧

(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.

(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．

(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．　

1.

函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a>1，b<0　　　 B．a>1，b>0

C．0<a<1，b>0  D．0<a<1，b<0

解析：选D.由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

2．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________．

解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点．

(1)当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即

0＜a＜；

(2)当a＞1时，如图②，而y＝2a＞1不符合要求．

所以0＜a＜.

答案：

　　　　　　指数函数的性质及应用(多维探究)

角度一　指数函数单调性的应用

(1)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　　)

A．b<a<c  B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

(2)若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则满足f(x－1)＞－e2的x的取值范围是(　　)

A．(－2，＋∞)    B．(－1，＋∞)

C．(2，＋∞)    D．(3，＋∞)

【解析】　(1)因为a＝2，b＝4＝2，由函数y＝2x在R上为增函数知，b<a；又因为a＝2＝4，c＝25＝5由函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数知，a<c.综上得b<a<c.故选A.

(2)由f(x)＝ex－ae－x为奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即e－x－aex＝ae－x－ex，得a＝1，所以f(x)＝ex－e－x，则f(x)在R上单调递增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故选B.

【答案】　(1)A　(2)B

角度二　指数型复合函数的单调性

(1)函数f(x)＝的减区间为________．

(2)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________．

【解析】　(1)设u＝－x2＋2x＋1，

因为y＝在R上为减函数，

所以函数f(x)＝的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．

又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，

所以f(x)的减区间为(－∞，1]．

(2)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t为R上的增函数，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．

【答案】　(1)(－∞，1]　(2)(－∞，4]

角度三　指数函数性质的综合问题

已知函数f(x)＝.

(1)若f(x)有最大值3，求a的值；

(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．

【解】　(1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，

由于f(x)有最大值3，

所以g(x)应有最小值－1，

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.

(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，

由指数函数的性质知，

要使y＝的值域为(0，＋∞)．

应使g(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，

因此只能a＝0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)

故f(x)的值域为(0，＋∞)时，a的值为0.

(1)利用指数函数的性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．　

1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是　(　　)

A．a＜b＜c　　　　　　 B．a＜c＜b

C．b＜a＜c  D．b＜c＜a

解析：选C.因为指数函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上为减函数，

所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，

又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，

所以a＜c，

故选C.

2．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．

解析：因为f(x)为偶函数，

当x<0时，－x>0，则f(x)＝f(－x)＝2－x－4.

所以f(x)＝

当f(x－2)>0时，有或

解得x>4或x<0.

所以不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

答案：{x|x>4或x<0}

3．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)．

(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)讨论f(x)的单调性．

解：(1)f(x)的定义域是R，令y＝，得ax＝－，因为≠1在定义域内恒成立，所以y≠1.

因为ax>0，所以－>0，

解得－1<y<1，

所以f(x)的值域为(－1，1)．

(2)因为f(－x)＝＝＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

(3)f(x)＝＝1－.

设x1，x2是R上任意两个实数，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

因为x1<x2，

所以当a>1时，a x2>ax1>0，

从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)为R上的增函数；

当0<a<1时，ax1>a x2>0，

从而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，

所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)为R上的减函数．

[基础题组练]

1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a<b<c　　　　　　　 B．a<c<b

C．c<a<b  D．b<c<a

解析：选B.因为a＝log20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a<c<b.故选B.

3．(2020·安徽皖江名校模拟)若ea＋πb≥e－b＋π－a，则有(　　)

A．a＋b≤0  B．a－b≥0

C．a－b≤0  D．a＋b≥0

解析：选D.令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上是增加的，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D.

4．已知函数f(x)＝则函数f(x)是(　　)

A．偶函数，在[0，＋∞)上是增加的

B．偶函数，在[0，＋∞)上是减少的

C．奇函数，且是增加的

D．奇函数，且是减少的

解析：选C.易知f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.

5．设x>0，且1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1  B．0<a<b<1

C．1<b<a  D．1<a<b

解析：选C.因为1<bx，所以b0<bx，

因为x>0，所以b>1，

因为bx<ax，所以>1，

因为x>0，所以>1，

所以a>b，所以1<b<a.故选C.

6．函数y＝ax－b(a>0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是________．

解析：因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0，1)．

答案：(0，1)

7．不等式<恒成立，则a的取值范围是________．

解析：由题意，y＝是减函数，

因为<恒成立，

所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，

所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，

所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，

即(a－2)(a－2＋4)<0，

即(a－2)(a＋2)<0，

故有－2<a<2，即a的取值范围是(－2，2)．

答案：(－2，2)

8．已知实数a，b满足等式＝，下列五个关系式：

①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.

其中可能成立的关系式有________．(填序号)

解析：

函数y1＝与y2＝的图象如图所示．

由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.

故①②⑤可能成立，③④不可能成立．

答案：①②⑤

9．设f(x)＝.

(1)判断函数f(x)的奇偶性；

(2)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性．

解：(1)根据题意，f(x)＝，

则f(－x)＝＝＝＝f(x)，

所以函数f(x)为偶函数．

(2)因为f(x)＝＝－x＋，

所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－，

因为x＞0，所以2x＋1＞2，

所以＜1，

所以－1＋＜0，

所以f′(x)＜0，

故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减少的．

10．已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)当a＝1时，求函数f(x)在x∈[－3，0]上的值域；

(2)若关于x的方程f(x)＝0有解，求a的取值范围．

解：(1)当a＝1时，f(x)＝2·4x－2x－1

＝2(2x)2－2x－1，

令t＝2x，x∈[－3，0]，则t∈.

故y＝2t2－t－1＝2－，

t∈，故值域为.

(2)关于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，

设2x＝m>0，

等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，

记g(m)＝2am2－m－1，

当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立．

当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，

过点(0，－1)，不成立．

当a>0时，开口向上，

对称轴m＝>0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a>0.

[综合题组练]

1．已知0<b<a<1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是(　　)

A．ba  B．aa

C．ab  D．bb

解析：选C.因为0<b<a<1，所以y＝ax和y＝bx均为减函数，所以ab>aa，ba<bb，

又因为y＝xb在(0，＋∞)上为增函数，所以ab>bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.

2．已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是(　　)

A．a<0，b<0，c<0

B．a<0，b≥0，c>0

C．2－a<2c

D．2a＋2c<2

解析：选D.

作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，

因为a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，

结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，

所以0<2a<1.

所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，

所以f(c)<1，所以0<c<1.

所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1，

又因为f(a)>f(c)，

所以1－2a>2c－1，

所以2a＋2c<2，故选D.

3．设y＝f(x)在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK(x)＝给出函数f(x)＝2x＋1－4x，若对于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，则(　　)

A．K的最大值为0

B．K的最小值为0

C．K的最大值为1

D．K的最小值为1

解析：选D.根据题意可知，对于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，则f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．

令2x＝t，则t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值为1，所以K≥1，故选D.

4．设a>0，且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a的值为________．

解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)，

则原函数化为y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．

①当0<a<1，x∈[－1，1]时，t＝ax∈，

此时f(t)在上为增函数．

所以f(t)max＝f＝－2＝14.

所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.

②当a>1时，x∈[－1，1]，t＝ax∈，

此时f(t)在上是增函数．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．综上得a＝或3.

答案：或3

5．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

即＝0，解得b＝1，

所以f(x)＝.

又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，

由上式易知f(x)在R上为减函数，

又因为f(x)是奇函数，

从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．

因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.

即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，

从而Δ＝4＋12k<0，

解得k<－.

故k的取值范围为.