2021版高考理科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第7讲　函数的图象

第7讲　函数的图像


一、知识梳理
1．利用描点法作函数的图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|．
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
(4)伸缩变换
①y＝f(x)
→
y＝f(ax)．
②y＝f(x)
→
y＝af(x)．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象对称的三个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．
(3)若函数y＝f(x)的定义域内任意自变量x满足：
f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

二、教材衍化
1．函数f(x)＝x＋的图象关于(　　)
A．y轴对称　　　　　　 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.
2．已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是(　　)

A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|
C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)
解析：选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．故选C.
3.

如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________．
解析：在同一直角坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1，1]．

答案：(－1，1]

一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)
(2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　)
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．　(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)
(5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)函数图象的平移、伸缩法则记混出错；
(2)不注意函数的定义域出错．
1．设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位得到，则h(x)＝________．
解析：与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－log2x，再将其图象右移1个单位得到h(x)＝－log2(x－1)的图象．
答案：－log2(x－1)
2.

已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝logf(x)的定义域是________．
解析：当f(x)＞0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)＞0时，x∈(2，8]．
答案：(2，8]



　　　　　　作函数的图像(师生共研)
作出下列函数的图像．
(1)y＝x2－2|x|－1.
(2)y＝.
(3)y＝|log2(x＋1)|.
【解】　

(1)先化简，再作图，
y＝图像如图所示．

(2)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图
所示．

(3)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．

函数图象的三种画法
(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．
(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．
[提醒]　(1)画函数的图象时一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

　　　　　函数图像的识别(多维探究)
角度一　知式选图
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝在[－π，π]的图像大致为(　　)

(2)(2020·淄博模拟)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的图象可能是(　　)

【解析】　(1)因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A；
因为f(π)＝＝>0，所以排除C；
因为f(1)＝，且sin 1>cos 1，
所以f(1)>1，所以排除B.故选D.
(2)当x→＋∞时，f(x)→－∞，
故排除D；
易知f(x)在R上连续，故排除B；
且f(0)＝ln 2－e－1＞0，故排除C，故选A.
【答案】　(1)D　(2)A
角度二　知图选式

(1)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
(2)(2020·洛阳第一次统考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a＞b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图像是(　　)


【解析】　(1)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
(2)由函数f(x)的大致图象可知3＜a＜4，－1＜b＜0，所以g(x)的图象是由y＝ax(3＜a＜4)的图象向下平移－b(0＜－b＜1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A中的图像，故选A.
【答案】　(1)A　(2)A
角度三　由实际问题的变化过程探究函数图象



广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线A→O→B→C→A→D→B运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y＝|O1P|2，y与x的函数关系式为y＝f(x)，则y＝f(x)的大致图像为　(　　)

【解析】　根据题图中信息，可将x分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x∈[0，π)时，函数值不变，y＝f(x)＝1；当x∈[π，2π)时，设与的夹角为θ，因为||＝1，||＝2，θ＝x－π，所以y＝(－)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x，所以y＝f(x)的图象是曲线，且递增；当x∈[2π，4π)时，＝－，设与的夹角为α，||＝2，||＝1，α＝2π－x，所以y＝|O1P|2＝(－)2＝5－4cos α＝5－4cos ，函数y＝f(x)的图象是曲线，且递减．
【答案】　A

识别函数图象的方法技巧
函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
[提醒]　由实际情景探究函数图象，关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．　

1．(2020·湖北七市(州)模拟)函数f(x)＝的大致图象为(　　)

解析：选B.易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇函数，则图象关于原点对称，排除A，f(1)＝3－＝>0，排除D，当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，故选B.
2.

已知函数f(x)的图象如图所示，则
f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝x2－2ln |x|
B．f(x)＝x2－ln |x|
C．f(x)＝|x|－2ln |x|
D．f(x)＝|x|－ln |x|
解析：选B.由函数图象可得，函数f(x)为偶函数，且x＞0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，，2，1，由此可得仅函数f(x)＝x2－ln |x|符合条件．故选B.
3．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析：选A.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．①中应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．

　　　　　　函数图像的应用(多维探究)
角度一　研究函数的性质
(1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是　(　　)
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
(2)对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．
【解析】　

(1)将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的．

(2)函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，由图象可得，其最小值为.
【答案】　(1)C　(2)

一般根据图像观察函数性质有以下几方面：一是观察函数图像是否连续以及最高点和最低点，确定定义域、值域；二是函数图像是否关于原点或y轴对称，确定函数是否具有奇偶性；三是根据图像上升与下降的情况，确定单调性．　
角度二　解不等式
若不等式(x－1)20，且a≠1)在x∈(1，2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，2] B．
C．(1，) D．(，2)

【解析】　要使当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2 当01时，如图，要使x∈(1，2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1 【答案】　A

当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．　
角度三　求参数的值或取值范围
设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】　

如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
【答案】　[－1，＋∞)

当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．　

1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(0，1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1，0)∪(0，1)

解析：选D.因为f(x)为奇函数，所以不等式＜0可化为＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)＜0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
2．设函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是(　　)
A．(16，32) B．(18，34)
C．(17，35) D．(6，7)
解析：选B.画出函数f(x)的图象如图所示．

不妨令a 则1－2a＝2b－1，则2a＋2b＝2.
结合图象可得4 所以18<2a＋2b＋2c<34.故选B.

　数形结合思想在函数问题中的应用

已知函数f(x)＝则对任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是(　　)
A．f(x1)＋f(x2)<0　　　 B．f(x1)＋f(x2)>0
C．f(x1)－f(x2)>0 D．f(x1)－f(x2)<0
【解析】　

函数f(x)的图像如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x1|<|x2|，所以f(x2)>f(x1)，即f(x1)－f(x2)<0.
【答案】　D

数形结合思想的主要方面是“以形助数”寻找解决问题的途径，在函数问题中数形结合思想的应用非常广泛．本例借助图形得出函数f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数的性质，进而得出结论f(x1)－f(x2)＜0.　
　函数y＝ln|x－1|的图像与函数y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于(　　)
A．3 B．6
C．4 D．2

解析：选B.由图象变换的法则可知，y＝ln x的图象关于y轴对称后和原来的一起构成y＝ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y＝ln|x－1|的图象；y＝－2cos πx的周期T＝2.如图所示，两图象都关于直线x＝1对称，且有3对交点，每对交点关于直线x＝1对称，故所有交点的横坐标之和为2×3＝6.

[基础题组练]
1．(2020·山西吕梁4月模拟)函数f(x)＝|x|sin x的图象大致是(　　)

解析：选A.函数f(x)＝|x|sin x为奇函数，图象关于原点对称，可排除，B，C；又f(π)＝|π|sin π＝0，故排除D.故选A.
2．已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是(　　)

解析：选D.在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，将函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数y＝f(x－1)的图象，因此A正确；作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，得到y＝f(－x)的图象，因此B正确；y＝f(x)在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象重合，C正确；y＝f(|x|)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，当0≤x≤1时，y＝f(|x|)＝，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确．故选D.
3．(2020·湖南娄底二模)函数f(x)＝的部分图象大致是(　　)

解析：选A.f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C和D，因为f(π)<0，所以排除B.故选A.
4.

若函数f(x)＝(ax2＋bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为(　　)
A．a＝1，b＝2
B．a＝1，b＝－2
C．a＝－1，b＝2
D．a＝－1，b＝－2
解析：选B.令f(x)＝0，则(ax2＋bx)ex＝0，解得x＝0或x＝－，由图象可知，－＞1，又当x＞－时，f(x)＞0，故a＞0，结合选项知a＝1，b＝－2满足题意，故选B.
5.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P以1 cm/s 的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2 cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为(　　)


解析：选A.当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，此时PB＝6－t，CQ＝8－2t，则S＝f(t)＝QC×BP＝(8－2t)×(6－t)＝t2－10t＋24；当4＜t≤6时，点P在AB上，点Q在CA上，此时AP＝t，P到AC的距离为t，CQ＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×t＝(2t－8)×t＝(t2－4t)；当6＜t≤9时，点P在BC上，点Q在CA上，此时CP＝14－t，QC＝2t－8，则S＝f(t)＝QC×CPsin ∠ACB＝(2t－8)(14－t)×＝(t－4)(14－t)．综上，函数f(t)对应的图象是三段抛物线，依据开口方向得图象是A，故选A.
6.若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于________．

解析：由图象可得a(－1)＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，所以a＝2，b＝5，
所以f(x)＝
故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1.
答案：－1
7．定义在R上的奇函数f(x)，满足f＝0，且在(0，＋∞)上是减少的，则xf(x)＞0的解集为________．
解析：因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减少的，且f＝0，
所以f＝0，且在区间(－∞，0)上是减少的，
因为当x＜0，若－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，
当x＞0，若0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，综上xf(x)＞0的解集为∪.
答案：∪
8．给定min{a，b}＝已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，则实数m的取值范围为________．

解析：函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4，5)．
答案：(4，5)
9．已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求当x＜0时，f(x)的解析式；
(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间；
(3)求f(x)在[－2，5]上的最小值，最大值．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，
因为x＞0时，f(x)＝x2－2x.
所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x.
因为y＝f(x)是R上的偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝x2＋2x.

(2)函数f(x)的图象如图所示：
由图可得：函数f(x)的增区间为(－1，0)和(1，＋∞)；减区间为(－∞，－1)和(0，1)．
(3)由(2)中函数图象可得：在[－2，5]上，
当x＝±1时，取最小值－1，
当x＝5时，取最大值15.
10．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)根据图象指出f(x)的减区间；
(4)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝

f(x)的图象如图所示．
(3)f(x)的减区间是[2，4]．
(4)从f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点，方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
[综合题组练]
1．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为(　　)
A．(1，3)　　　　　 B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)
解析：选C.f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；
当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得x∈∅.
当x∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．
故x∈(－1，0)∪(1，3)．
2．(2020·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0 A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(1，) D．(1，2)

解析：选C.作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)．

3．(2020·昆明检测)若平面直角坐标系内A、B两点满足：(1)点A、B都在f(x)图象上；(2)点A、B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，已知函数f(x)＝则f(x)的“和谐点对”有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象，看它与函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，即f(x)的“和谐点对”有2个．选B.

4．直线y＝k(x＋3)＋5(k≠0)与曲线y＝的两个交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2＝________．
解析：因为y＝＝＋5，其图象关于点(－3，5)对称．又直线y＝k(x＋3)＋5过点(－3，5)，如图所示．所以A，B关于点(－3，5)对称，所以x1＋x2＝2×(－3)＝－6，y1＋y2＝2×5＝10.

所以x1＋x2＋y1＋y2＝4.
答案：4
5．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)(x≠0)，则点P关于(0，1)点的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图象上，
即2－y＝－x－＋2，
即y＝f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，g′(x)＝1－.
因为g(x)在(0，2]上为减函数，
所以1－≤0在(0，2]上恒成立，
即a＋1≥x2在(0，2]上恒成立，所以a＋1≥4，即a≥3，
故实数a的取值范围是[3，＋∞)．
6．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．
解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1 令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，
当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；
当0 即a2－1≤×2－1，
解得a≤，所以a的取值范围是.