2021届山东高考数学一轮创新教学案：第1章　第1讲　集合的概念与运算

第一章　集合与常用逻辑用语

第1讲　集合的概念与运算

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系有属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．

(4)常见数集的记法

2．集合间的基本关系

(1)基本关系

(2)结论

①空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集，符号表示为∅⊆A，∅B(B≠∅)．

②对于任意集合A，A⊆A.

③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

3．集合的基本运算

4．集合的运算性质

(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.

(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.

(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．

(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n个，非空子集个数为2n－1个，真子集有2n－1个，非空真子集的个数为2n－2个．

1．概念辨析

(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.(　　)

(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(　　)

(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．(　　)

(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x∈Z|－3＜2x－1≤3}，则A∪B＝(　　)

A．{－2,1}  B．{0,1,2}

C．{－2，－1,0,1,2}  D．{－2,0,1,2}

答案　D

解析　因为A＝{－2,1}，B＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0,1,2}，所以A∪B＝{－2,0,1,2}．

(2)设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．{x|0＜x≤1}  B．{x|0＜x＜1}

C．{x|1≤x＜2}  D．{x|0＜x＜2}

答案　B

解析　因为B＝{x|x≥1}，所以∁RB＝{x|x＜1}．因为A＝{x|0＜x＜2}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.

(3)已知集合A＝{x|x＝3n，n∈N}，B＝{x|x＝6m，m∈N}，则A与B的关系为________．

答案　BA

解析　任取x∈B，则x＝6m＝3·2m,2m∈N，所以x∈A，所以B⊆A，又3∈A但3∉B，所以BA.

(4)已知集合A＝，B＝{0，x2}，且A＝B，则集合A的子集为________．

答案　∅，{0}，{4}，{0,4}

解析　由题意得＝x2，y＝0，解得x＝2，

所以A＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．

题型 一　集合的基本概念与表示方法

1．(2019·厦门一中模拟)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)

A．a∈M，b∈P  B．a∈P，b∈M

C．a∈M，b∈M  D．a∈P，b∈P

答案　A

解析　解法一：设x0＝2n＋1，y0＝2k(n，k∈Z)，

则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，

x0y0＝(2n＋1)(2k)＝2(2nk＋k)∈P，

故a∈M，b∈P.

解法二：由已知得，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合，根据奇数＋偶数是奇数，奇数×偶数是偶数可知a∈M，b∈P.

2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A．9  B．8

C．5  D．4

答案　A

解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3，∵x∈Z，∴x＝－1,0,1，

当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，所以A中元素共有9个，故选A.

3．若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.

答案　0或1

解析　因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，

解得a＝0或a＝－1或a＝1.

当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；

当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；

当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．

综上知a＝0或1.

1.用描述法表示集合的两个关键点

    (1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．

(2)看这些元素满足什么共同特征．如举例说明1，集合M是所有奇数构成的集合，集合P是所有偶数构成的集合．如举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.

2.两个易错点

(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验.

    (2)忽视分类讨论．如举例说明2，要分x＝－1，x＝0和x＝1三种情况讨论，可以保证不重不漏．

1.设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)

A.1  B．2

C．3  D．4

答案　A

解析　若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素.

2.已知单元素集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋1＝0}，则a等于(　　)

    A.0  B．－4

C．－4或1  D．－4或0

    答案　D

    解析　因为集合A只有一个元素．所以一元二次方程x2－(a＋2)x＋1＝0有两个相等的实根，所以Δ＝(a＋2)2－4＝0，解得a＝－4或0.

题型 二　集合间的基本关系

    1.集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系为(　　)

    A.MN  B．NM

    C.M＝N  D．M N且NM

    答案　D

    解析　因为1∈M,1∉N，所以MN，因为0∈N,0∉M，所以NM.综上知，MN且NM.

    2.已知集合M＝，集合N＝，则(　　)

    A.MN  B．NM

    C.M＝N  D．以上都不对

    答案　A

    解析　∵＋＝π，k∈Z，

    －＝π，k∈Z，

    ∴任取x∈M，有x∈N，且∈N，但∉M，

    ∴MN.

    3.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．

    答案　(－∞，3]

    解析　因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.

    ②若B≠∅，则解得2≤m≤3.

    由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3.

    条件探究　将本例中的集合A改为“A＝{x|x<－2或x>5}”，则实数m的取值范围为________．

    答案　(－∞，2)∪(4，＋∞)

    解析　因为B⊆A，所以①当B＝∅时，即2m－1<m＋1时，m<2，符合题意．

    ②当B≠∅时，或

    解得或即m>4.

综上可知，实数m的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞).

1.判断集合间关系的三种方法

    2.根据集合间的关系求参数的策略

     (1)注意对集合是否为空集进行分类讨论

    因为∅⊆A对任意集合A都成立．如举例说明3中2m－1<m＋1时，B＝∅，B⊆A也成立．

     (2)借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．如举例说明3，当B≠∅时，由B⊆A，借助数轴，列出关于m的不等式组．

(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A＝{x|－2<x≤5}，B＝{x|m＋1≤x<2m－1}，若B≠∅，为使B⊆A，m须满足

1.(2020·广州市高三学情调研)已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0,1}，则实数a的值为(　　)

A.－1  B．0

C．1  D．2

答案　A

解析　由x2＋ax＝0，得x(x＋a)＝0，所以x＝0或x＝－a.所以由已知条件可得－a＝1，所以a＝－1.

2.已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)

A.a≥2  B．a>2

C．a<0  D．a≤0

答案　A

解析　∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x≤a}，∴为使A⊆B，a须满足a≥2.

3.满足{0,1,2}A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为________．

答案　7

解析　集合A除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.

题型 三　集合的基本运算　

角度1　集合的并、交、补运算

1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，则M∩N＝(　　)

A.{x|－4<x<3}  B．{x|－4<x<－2}

C.{x|－2<x<2}  D．{x|2<x<3}

答案　C

解析　由x2－x－6<0，得(x－3)(x＋2)<0，解得－2<x<3，即N＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}．故选C.

2.已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝(　　)

A.  B．(－∞，0)∪

C.  D．(－∞，0]∪

答案　D

解析　因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg (x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪.

3.(2019·合肥模拟)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁UB)＝________.

答案　{3}

解析　因为全集U＝{1,2,3,4}，且∁U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A＝{3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}，所以A∩(∁UB)＝{3}.

角度2　知集合的运算结果求参数

4.已知集合A＝{x|x2－ax≤0，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是(　　)

A.(1,2]  B．[1,2)

C.(0,2]  D．(0,1)∪(1,2]

答案　B

解析　因为集合A＝{x|0≤x≤a，a＞0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则A∩B＝{0,1}，所以1≤a＜2.所以a的取值范围是[1,2).

5.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}，若(∁UA)∩B＝∅，则m＝________.

答案　1或2

解析　A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.

x2＋(m＋1)x＋m＝0可化为(x＋1)(x＋m)＝0，

当m＝1时，B＝{－1}，符合题意；

当m≠1时，B＝{－1，－m}，为使B⊆A成立，须有－m＝－2，即m＝2.

综上知m＝1或2.

1.求集合交集、并集或补集的步骤

2.知集合的运算结果求参数问题的两个关键点

(1)分析运算结果并进行恰当转换．

如举例说明5中，由(∁UA)∩B＝∅，知B⊆A.

(2)化简集合为求参数创造有利条件．

如举例说明5中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B＝{－1，－m}.

1.(2019·天津高考)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　　)

A.{2}  B．{2,3}

C.{－1,2,3}  D．{1,2,3,4}

答案　D

解析　∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D.

2.(2019·中原名校模拟)集合M＝{y|y＝－x2，x∈R}，N＝{x|x2＋y2＝2，x∈R}，则M∩N＝(　　)

A.{(－1，－1)，(1，－1)}  B．{－1}

C.[－1,0]  D．[－，0]

答案　D

解析　由y＝－x2，x∈R得y≤0，所以集合M＝(－∞，0]，由x2＋y2＝2，x∈R得N＝[－，]，所以M∩N＝[－，0]，故选D.

3.(2019·辽宁五校模拟)已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是(　　)

A.(－2，＋∞)  B．(4，＋∞)

C.(－∞，－2]  D．(－∞，4]

答案　C

解析　集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2].

题型 四　集合的新定义问题

设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知M＝{y|y＝－x2＋2x,0＜x＜2}，N＝{y|y＝2x－1，x＞0}，则M⊗N＝________.

答案　∪(1，＋∞)

解析　因为M＝{y|y＝－x2＋2x,0＜x＜2}＝(0,1]，

N＝{y|y＝2x－1，x＞0}＝，

M∪N＝(0，＋∞)，M∩N＝，

所以M⊗N＝∪(1，＋∞)．

与集合相关的新定义问题的解题思路

(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．

(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．

如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.

答案　{0,6}

解析　由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}.

　组　基础关

1.设集合P＝{x|0≤x≤}，m＝，则下列关系中正确的是(　　)

A.m⊆P  B．mP

C．m∈P  D．m∉P

答案　D

解析　∵>，∴m∉P.

2.已知全集U＝R，则表示集合M＝{x|x2＋3x＝0}和N＝{－3,0,3}关系的示意图是(　　)

答案　D

解析　因为集合M＝{－3,0}，N＝{－3,0,3}，所以MN，故选D.

3.已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)

A.－1∉A  B．－11∈A

C.3k2－1∈A  D．－34∉A

答案　C

解析　令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k－1，解得k＝－∉Z，故－11∉A；令－34＝3k－1，解得k＝－11∈Z，故－34∈A；对于3k2－1，因为k∈Z时，k2∈Z，所以3k2－1∈A.故选C.

4.(2019·全国卷Ⅱ)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　　)

A.(－∞，1)  B．(－2,1)

C.(－3，－1)  D．(3，＋∞)

答案　A

解析　A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故选A.

5.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于(　　)

A.   B.

C．0  D．0或

答案　D

解析　当a＝0时，A＝，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4×a×2＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．综上可知，a＝0或.

6.(2020·茂名市摸底)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素的个数为(　　)

A.0  B．1

C．2  D．3

答案　C

解析　解方程组得或所以M∩N＝.所以M∩N中的元素的个数为2.

7.设全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则图中阴影部分表示的区间是(　　)

A．[0,1]

B.(－∞，－1]∪[2，＋∞)

C.[－1,2]

D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　A＝{x|x2－2x≤0}＝[0,2]，B＝{y|y＝cosx，x∈R}＝[－1,1]．图中阴影部分表示∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).

8.集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．

答案　4

解析　因为A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则所以a＝4.

9.设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|ax＝1，a∈R}，则使得B⊆A的a的所有取值构成的集合是________．

答案　{－1,0,1}

解析　因为B⊆A，所以①当B＝∅时，可知a＝0，显然成立．②当B＝{1}时，可得a＝1，符合题意．③当B＝{－1}时，可得a＝－1，符合题意．故满足条件的a的取值集合是{－1,0,1}.

10.已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a2019＋b2019＝________.

答案　－1

解析　∵＝{a2，a＋b,0}，∴a≠0.

∴b＝0，a2＝1，又a≠1，∴a＝－1，

∴a2019＋b2019＝－1.

　组　能力关

1.设集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，则下列关系中正确的是(　　)

A.M＝N  B．N⊆M

C.M⊆N  D．M∩N＝∅

答案　A

解析　因为集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，N＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．所以M＝N.

2.(2019·衡水模拟)已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，则c的取值范围是(　　)

A.(0,1]  B．[1，＋∞)

C.(0,2]  D．[2，＋∞)

答案　D

解析　因为集合A＝{x|log2x＜log22}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜c}，又由A∪B＝B，得A⊆B，所以c≥2.

3.已知集合A＝[1，＋∞)，B＝a≤x≤2a－1，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞)   B.

C.  D．(1，＋∞)

答案　A

解析　因为A∩B≠∅，所以解得a≥1.

4.对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝(　　)

A.[－3,0)∪(3，＋∞)

B.[－3,0)∪[3，＋∞)

C.[－3,3)

D.(－∞，－3]∪(3，＋∞)

答案　A

解析　由题意知，A－B＝{x|x＞3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}，故A*B＝(A－B)∪(B－A)＝[－3,0)∪(3，＋∞).

5.设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若A∩B＝B，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤－1或a＝1

解析　∵A∩B＝B，∴B⊆A.

又A＝{0，－4}，∴B的可能情况有∅，{－4}，{0}，{－4，0}．

①若B＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1.

②若B＝{－4}，则a∈∅.③若B＝{0}，则a＝－1.

④若B＝{－4,0}，则a＝1.

综上可知，a≤－1或a＝1.

6.设数集M＝{x，N＝{x，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，则集合M∩N的长度的最小值为________．

答案　

解析　由已知得，当m＝0且n＝1或n－＝0且m＋＝1时，M∩N的长度最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x，其长度为－＝.

当m＝且n＝时，M∩N＝{x，其长度为－＝.综上可知，M∩N的长度的最小值为.