2021届山东高考数学一轮创新教学案：第3章　第3讲　三角函数的图象与性质

第3讲　三角函数的图象与性质

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

1．概念辨析

(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(　　)

(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．(　　)

(3)函数f(x)＝sin的最小正周期为2π.(　　)

(4)sin20°<sin70°<sin120°.(　　)

(5)三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√

2．小题热身

(1)函数y＝tan2x的定义域是(　　)

A．{x  B．{x

C．{x  D．{x

答案　D

解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

所以y＝tan2x的定义域是{x.

(2)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)

A．y＝cos  B．y＝sin

C．y＝tan2x  D．y＝sin

答案　A

解析　对于A，y＝cos＝－sin2x，最小正周期为π且图象关于原点对称；对于B，y＝sin＝cos2x的图象不关于原点对称；对于C，y＝tan2x的周期是；对于D，y＝sin的图象不关于原点对称．

(3)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．

答案　[2kπ－π，2kπ](k∈Z)

解析　y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．

(4)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.

答案　5　＋2kπ(k∈Z)

解析　函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

题型一　三角函数的定义域和值域

1．函数y＝lg (sin2x)＋的定义域为________．

答案　∪

解析　由解得

所以－3≤x＜－或0<x<.

所以函数的定义域为∪.

2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．

答案　1

解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.

∵x∈，∴cosx∈[0,1]，

∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.

3．(2019·长沙质检)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．

答案　

解析　令t＝sinx－cosx，则t＝sin∈[－，]．由(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx得

sinxcosx＝(1－t2)，

所以y＝t＋(1－t2)，t∈[－，]的值域即为所求．

因为y＝t＋(1－t2)＝－(t－1)2＋1，

当t＝－时，ymin＝－－，

当t＝1时，ymax＝1，

所以原函数的值域为.

1.三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．如举例说明1.

2.三角函数最值或值域的三种求法

1.函数y＝＋的定义域为________．

答案　{x

解析　由得所以2kπ＋π≤x<2kπ＋，k∈Z.所以y＝＋的定义域为{x.

2.(2019·湖北七市联考)函数f(x)＝cos(ω>0)在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是________．

答案　

解析　当x∈[0，π]时，ωx＋∈，又因为函数f(x)的值域为，所以可得ωπ＋∈，解得ω∈.

题型二　三角函数的单调性　

1.(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)

A.f(x)＝|cos2x|  B．f(x)＝|sin2x|

C.f(x)＝cos|x|  D．f(x)＝sin|x|

答案　A

解析　作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图．

由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.

2.已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

答案　C

解析　由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则f＝0，所以sin＝0，

解得φ＝，故f(x)＝sin，

令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．条件探究　将本例中的函数的定义域改为[0，π]，则其单调递增区间为________．

答案　和

解析　记A＝{x，B＝[0，π]．

观察数轴可知A∩B＝∪，

所以函数y＝f(x)，x∈[0，π]的单调递增区间为和.

3.若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是________．

答案　

解析　函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z.

则k∈Z，

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z，

且4k－>0，k∈Z，

得k＝1，所以ω∈.

求三角函数单调区间的两种方法

(1)复合函数法

(2)图象法

画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．如举例说明1.

1.(2019·中山模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

答案　B

解析　由kπ－<－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z.所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为，k∈Z.

2.已知函数f(x)＝x2－cosx，则f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小关系是(　　)

A.f(0)<f(0.6)<f(－0.5)

B.f(0)<f(－0.5)<f(0.6)

C.f(0.6)<f(－0.5)<f(0)

D.f(－0.5)<f(0)<f(0.6)

答案　B

解析　因为函数f(x)＝x2－cosx是偶函数，且在(0，π)上是增函数，所以f(0)<f(0.5)＝f(－0.5)<f(0.6)，故选B.

3.(2019·天津市红桥区模拟)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是________．

答案　

解析　f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)

＝－sin.

由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

取k＝0，得f(x)的一个减区间为.

由f(x)在[－a，a]上是减函数，得

∴a≤，故a的最大值为.

题型三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　

角度1　三角函数的周期性

1.(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)

A.   B.

C．π  D．2π

答案　C

解析　由已知得f(x)＝＝＝sinxcosx＝sin2x，所以f(x)的最小正周期T＝＝π.故选C.

角度2　三角函数的奇偶性

2.若函数f(x)＝cos(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.

答案　

解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.

角度3　三角函数图象的对称性

3.(2019·广东七校联考)已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象(　　)

A.关于点对称  B．关于点对称

C.关于直线x＝对称  D．关于直线x＝对称

答案　A

解析　因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，所以sin＝1.所以cos＝0.所以函数y＝cos(2x＋φ)的图象关于点对称.

1.周期的计算方法

利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．如举例说明1.

2.函数具有奇偶性的充要条件

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；

函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)．如举例说明2；

函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．

3.与三角函数有关的图象的对称性问题

对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．如举例说明3.

1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sinωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A.2   B.

C．1   D.

答案　A

解析　由题意及函数f(x)＝sinωx(ω>0)的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.

2.(2019·北京中关村中学月考)下列函数中，对任意的x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是(　　)

A.f(x)＝sinx  B．f(x)＝sinxcosx

C.f(x)＝cosx  D．f(x)＝cos2x－sin2x

答案　D

解析　由f(x)＝f(－x)可知函数是偶函数，且f(x－π)＝f(x)，则函数的周期为π.A项中的函数是奇函数，故错误；B项中f(x)＝sinxcosx＝sin2x，为奇函数，故错误；C项中的函数为偶函数，但是该函数的周期为2π，故错误；D项中f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x，该函数是周期为π的偶函数，故选D.

3.关于函数y＝tan，下列说法正确的是(　　)

A.是奇函数

B.在区间上单调递减

C.为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为π

答案　C

解析　y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误.

　组　基础关

1.函数y＝cos是(　　)

A.周期为π的奇函数  B．周期为π的偶函数

C.周期为2π的奇函数  D．周期为2π的偶函数

答案　A

解析　因为y＝cos＝cos＝－sin2x，故选A.

2.设a＝cos，b＝sin，c＝cos，则(　　)

A.a>c>b  B．c>b>a

C．c>a>b  D．b>c>a

答案　A

解析　sin＝sin＝－sin＝sin＝cos，cos＝cos＝cos＝cos，因为y＝cosx在上是减函数，所以cos>cos>cos，即a>c>b.

3.函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间内的图象是(　　)

答案　D

解析　y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|

＝结合选项图形知，D正确.

4.已知函数f(x)＝tan2x，则下列说法不正确的是(　　)

A.y＝f(x)的最小正周期是π

B.y＝f(x)在上单调递增

C.y＝f(x)是奇函数

D.y＝f(x)的对称中心是(k∈Z)

答案　A

解析　函数y＝f(x)的最小正周期是，故A错误．当x∈时，2x∈，此时函数f(x)＝tan2x为增函数，故B正确．因为f(－x)＝tan2(－x)＝－tan2x＝－f(x)，所以f(x)＝tan2x是奇函数，故C正确．由2x＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，所以f(x)＝tan2x的对称中心是，k∈Z，故D正确.

5.(2019·福建六校联考)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f(－x)，则f＝(　　)

A.2或0  B．0

C.－2或0  D．－2或2

答案　D

解析　因为f＝f(－x)对任意x∈R都成立，所以函数f(x)的图象的一个对称轴是直线x＝，所以f＝±2.

6.已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，f是奇函数，则(　　)

A.f(x)在上单调递减

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)在上单调递增

D.f(x)在上单调递增

答案　B

解析　因为f(x)＝cos(x＋φ)，所以f＝cos，又因为f是奇函数，所以＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z，又0＜|φ|<，所以φ＝，f(x)＝cos，当x∈时，x＋∈，f(x)单调递减，当x∈时，x＋∈，f(x)先减后增，故选B.

7.(2019·衡水联考)函数f(x)＝sin－在区间(0，π)内的所有零点之和为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　设t＝2x＋，则由x∈(0，π)，得t∈.由f(x)＝0得sint＝，结合函数y＝sint的图象可知此方程有两个实根t1和t2，且t1＋t2＝3π，所以函数f(x)在(0，π)内有两个零点x1和x2，且2x1＋＋2x2＋＝3π，所以x1＋x2＝.

8.函数f(x)＝＋tan的定义域是________．

答案　{x

解析　由得

所以0<x≤2且x≠，所以函数f(x)的定义域为

{x.

9.若函数f(x)＝(ω>0)的最小正周期为π，则f＝________.

答案　

解析　由题设及周期公式得T＝＝π，所以ω＝1，即f(x)＝，所以f＝＝.

10.函数f(x)＝2020sin(0≤x≤2π)的值域是________．

答案　[1010,2020]

解析　因为0≤x≤2π，所以≤x＋≤.

所以≤sin≤1，

所以函数f(x)＝2020sin的值域为[1010,2020].

　组　能力关

1.(2020·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝例如1](　　)

A.  B．[－1,1]

C.   D.

答案　D

解析　画出函数f(x)＝的图象(如图中实线所示)．根据三角函数的周期性，只看一个最小正周期(即2π)的情况即可．观察图象可知函数f(x)的值域为.

2.(2019·辽宁省实验中学模拟)已知函数f(x)＝cos2x＋sinx，那么下列命题中的假命题是(　　)

A.f(x)既不是奇函数也不是偶函数

B.f(x)在[－π，0]上恰有一个零点

C.f(x)是周期函数

D.f(x)在上是增函数

答案　B

解析　因为f(x)＝cos2x＋sinx，所以f(－x)＝cos2x－sinx.故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．所以A是真命题；令f(x)＝cos2x＋sinx＝0，得1－sin2x＋sinx＝0，解得sinx＝.此时x有两个值．所以f(x)在[－π，0]内恰有两个零点．所以B是假命题；因为f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－2＋.显然f(x)是周期函数，所以C是真命题；对于f(x)＝－2＋，令u＝sinx在上单调递减，则y＝－2＋在上单调递减，所以D是真命题.

3.(2020·赣州摸底)已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

答案　　，k∈Z

解析　函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，

由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，

得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.

所以f(x)＝sin＋.

则f＝sin＋＝.

由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，

即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

4.已知函数f(x)＝sin.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.

解　(1)f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)证明：因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，

所以sin≥sin＝－，

所以当x∈时，f(x)≥－.

　组　素养关

1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数y＝f(x)图象的对称轴方程；

(2)讨论函数f(x)在上的单调性．

解　(1)∵f(x)＝sin的最小正周期为π，

∴ω＝2，f(x)＝sin.

令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

即函数f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．注意到x∈，所以令k＝0，得函数f(x)在上的单调递增区间为；令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)，令k＝0，得f(x)在上的单调递减区间为.

2.已知函数f(x)＝2sin2－cos2x－1，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；

(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m的取值范围．

解　(1)因为f(x)＝－cos－cos2x＝sin2x－cos2x＝2＝2sin，故f(x)的最小正周期为π.

(2)由(1)知h(x)＝2sin.

令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)，得t＝＋(k∈Z)，

又t∈(0，π)，故t＝或.

(3)当x∈时，2x－∈，

所以f(x)∈[1,2]．

又|f(x)－m|<3，即f(x)－3<m<f(x)＋3，所以2－3<m<1＋3，即－1<m<4.故实数m的取值范围是(－1，4).