2021届山东高考数学一轮创新教学案：第4章第2讲平面向量基本定理及坐标表示

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．

2.平面向量的坐标运算

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝，|a＋b|＝.

3.平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1.概念辨析

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)

(2)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．(　　)

(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)

(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2.小题热身

(1)设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b等于(　　)

A.(6,3)  B．(－2，－6)

C.(2,1)  D．(7,2)

答案　B

解析　2a－3b＝2(－1,0)－3(0,2)＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6).

(2)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)

A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)

B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)

C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)

D.e1＝(2，－3)，e2＝

答案　B

解析　对于A，e1∥e2，不能作为基底；对于B，－1×7－2×5≠0，所以e1与e2不共线，可以作为基底；对于C，e2＝2e1，所以e1∥e2，不能作为基底；对于D，e1＝4e2，所以e1∥e2，不能作为基底.

(3)如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)

A.  B．－

C.1  D．－1

答案　A

解析　由题意得＝＋＝＋＝－＋，又＝λ＋μ，由平面向量基本定理得λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.

(4)设e1，e2是不共线的两个向量，且λe1＋μe2＝0，则λ2＋μ2＝________.

答案　0

解析　解法一：假设λ≠0，则由λe1＋μe2＝0得e1＝－e2，则e1，e2共线，与e1，e2不共线矛盾，所以λ＝0，同理可得μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.

解法二：因为0e1＋0e2＝0，e1，e2不共线，又因为λe1＋μe2＝0，所以由平面向量基本定理得λ＝μ＝0，所以λ2＋μ2＝0.

题型 一　平面向量基本定理及其应用

1.如图，有5个全等的小正方形，＝x＋y，则x＋y 的值是________．

答案　1

解析　由平面向量的运算可知＝－，＝2，＝＋＝2－，所以＝－＝2－(2－)＝3－2，注意到，不共线，且＝x＋y，即x＋y＝3－2，所以x＝3，y＝－2，所以x＋y＝1.

2．(2019·西安调研)如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若＝m＋，则实数m的值为________．

答案　

解析　由N是OD的中点，得＝＋＝＋(＋)＝＋，又因为A，N，E三点共线，故＝λ，即m＋＝λ，又与不共线，所以

解得故实数m＝.

1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要注意运用平面几何的一些性质定理．

2.运用平面向量基本定理时应注意的问题

(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．

(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．

(3)利用“唯一性”建立方程组．如举例说明2.

1．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

答案　

解析　设＝λ，∵P是BN上的一点，

＝，

则＝＋＝＋λ

＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ

＝(1－λ)＋＝m＋.

∴m＝1－λ，＝，解得λ＝，m＝.

2．(2019·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．

答案　

解析　设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.

题型 二　平面向量的坐标运算

1.已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　∵＝－＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，

∴与同方向的单位向量为＝.

2.已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；

(3)求M，N的坐标及向量的坐标．

解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．

(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，

所以解得

(3)设O为坐标原点，

因为＝－＝3c，

所以＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，

所以M(0,20)，

又因为＝－＝－2b，

所以＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，

所以N(9,2)．所以＝(9，－18).

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．

(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．

1.(2019·厦门外国语学校模拟)已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　)

A.(3，－2)  B．(2，－2)

C.(－3，－2)  D．(－3,2)

答案　D

解析　由已知，得＝－＝(1,1)，

则＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2).

2.已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)

A.－a＋b   B.a－b

C.－a－b  D．－a＋b

答案　B

解析　设c＝λa＋μb.则(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

所以解得所以c＝a－b.

题型 三　平面向量共线的坐标表示　

角度1　利用向量共线求参数的值

1.(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________；

(2)平面内有三点A(0，－3)，B(3,3)，C(x，－1)，且A，B，C三点共线，则x＝________.

答案　(1)　(2)1

解析　(1)由题意可得2a＋b＝(4,2)，

∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，

∴4λ－2＝0，即λ＝.

(2)由题意知＝(3,6)，＝(x－3，－4)．因为A，B，C三点共线，所以与共线，所以3×(－4)－6(x－3)＝0，解得x＝1.

角度2　向量共线综合问题

2.(2019·山东德州一模)已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量m＝(sinB－sinA，a＋c)，n＝(sinC，a＋b)，且m∥n，则B的大小是(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　B

解析　因为m∥n，

所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c)．

由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，

整理得a2＋c2－b2＝－ac，

由余弦定理得cosB＝＝＝－.

又0<B<π，所以B＝.

1.平面向量共线的充要条件的两种形式

(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.如举例说明1(1)．

(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.

2.利用向量共线求参数值

向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由向量平行求参数值．当两向量的坐标均非零时，可以利用坐标对应成比例来求解.

3.向量坐标运算解决综合问题的要点

(1)准确运用加、减、数乘的坐标运算法则．

(2)准确运用向量相等、向量共线、垂直的坐标运算形式，实现问题的转化．

(3)准确运用三角恒等变换、不等式、方程等知识，解决综合问题.

1.(2019·绵阳模拟)已知向量a＝(sin2α，1)，b＝(cosα，1)，若a∥b,0<α<，则α＝________.

答案　

解析　因为a∥b，所以sin2α＝cosα，即cosα(2sinα－1)＝0，又0<α<，所以cosα>0，所以sinα＝，解得α＝.

2.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若ma－nb与2a＋b共线(其中n∈R，且n≠0)，则＝________.

答案　－2

解析　由a＝(1,2)，b＝(－2,3)，得ma－nb＝(m＋2n,2m－3n)，2a＋b＝(0,7)，由ma－nb与2a＋b共线，可得7(m＋2n)＝0，则＝－2.

　组　基础关

1.向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(　　)

A.(－3,4)  B．(3,4)

C.(3，－4)  D．(－3，－4)

答案　A

解析　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，所以b＝(－6,8)＝(－3,4).

2.已知向量m＝与向量n＝(3，sinA＋cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　C

解析　∵m∥n，∴sinA(sinA＋cosA)－＝0，

∴2sin2A＋2sinAcosA＝3，∴1－cos2A＋sin2A＝3，，∴sin＝1，∵A∈(0，π)，∴∈，∴2A－＝，解得A＝.

3.(2019·绍兴模拟)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)

A.(2,0)  B．(－3,6)

C.(6,2)  D．(－2,0)

答案　A

解析　因为＝＋＝－3a＝(5，－6)－3(1，－2)＝(2,0)，所以点N的坐标为(2,0).

4.已知向量a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若a－2b＋3c＝0，则c＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　因为a－2b＋3c＝(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(13＋3x,4＋3y)＝0，所以解得所以c＝.

5.(2020·内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　＝－＝－(＋)＝－[(－2,3)＋(3,7)]＝－(1,10)＝.

6.(2019·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)

A.30°  B．60°

C．90°  D．120°

答案　B

解析　由题意得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，得a2＋b2－c2＝ab，故cosC＝＝，0°<C<180°，故C＝60°.

7.(2019·绵阳模拟)如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A．3   B.

C．2  D．1

答案　B

解析　由题知＝＋＋＝＋－＝＋，又λ＋μ＝λ＋μ(－)＝(λ－μ)＋μ.

∴∴∴λ＋μ＝，故选B.

8.已知向量a＝(1，λ)，b＝(λ，2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.

答案　±

解析　a＋b＝(1＋λ，2＋λ)，a－b＝(1－λ，λ－2)．因为(a＋b)∥(a－b)，所以(1＋λ)(λ－2)＝(2＋λ)(1－λ)，解得λ＝±.

9.已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．

答案　－

解析　设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.

10.在△ABC中，点M，N满足＝2，＝，若＝x＋y，则x＝________；y＝________.

答案　　－

解析　如图，在△ABC中，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－，所以x＝，y＝－.

　组　能力关

1.(2019·江西师大附中高考模拟)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于(　　)

A.{(1,1)}  B．{(－1,1)}

C.{(1,0)}  D．{(0,1)}

答案　A

解析　设a＝(x，y)，则P＝(x，y)，

∴集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，Q＝{(x，y)|x＋y－2＝0}，∴P∩Q＝{(1,1)}．故选A.

2.(2019·山东师范大学附中模拟)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)

A.1   B. 

C.   D.

答案　D

解析　在△ABD中，BD＝AB＝1.又BC＝3，所以BD＝BC.∴＝＋＝＋.∵O为AD的中点，∴＝＝＋，∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，∴λ＋μ＝.

3.(2020·南充摸底)原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)

A.－   B.

C．－   D.

答案　D

解析　建立如图所示的直角坐标系，

则A(2，0)，B，C，

因为＝λ＋μ，

由向量相等的坐标表示可得

解得即＝.

4.(2019·湖北省武汉市武昌区高考数学模拟)已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围为(　　)

A.[－2,2]  B．(1，]

C.[1，]  D．[1,2]

答案　D

解析　设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，则A，B(1,0)，C(cosθ，sinθ)，有＝λ＋μ(λ，μ∈R)，即(cosθ，sinθ)＝λ＋μ(1,0)，整理得－λ＋μ＝cosθ，λ＝sinθ，解得λ＝，μ＝cosθ＋，则λ＋μ＝＋cosθ＋＝sinθ＋cosθ＝2sin，易知λ＋μ＝2sin在上单调递增，在上单调递减，由单调性易得其值域为[1,2].

5.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．

答案　(2,4)

解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，

∴＝2.设点D的坐标为(x，y)，

则＝(4－x,2－y)，＝(1，－1)，

∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，

∴解得

故点D的坐标为(2,4).

6.(2019·安徽省马鞍山二中高考模拟)已知向量＝(1，sinα－1)，＝(3,1)，＝(2，cosα)，若B，C，D三点共线，则tan(2019π－α)＝________.

答案　－2

解析　∵B，C，D三点共线，∴＝x＝x(＋)，即(2，cosα)＝x(4，sinα)，则得x＝，即cosα＝sinα，得tanα＝2，

则tan(2019π－α)＝tan(－α)＝－tanα＝－2.