2021届山东高考数学一轮创新教学案：第12章　第2讲　参数方程


第2讲　参数方程

[考纲解读]　了解参数方程及参数的意义，掌握直线、圆及椭圆的参数方程，并能利用参数方程解决问题．(重点、难点)
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点．预测2021年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用．





对应学生用书P209
1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
2.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tanα(x－x0)

(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a>b>0)
(φ为参数)
提醒：直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.

1.概念辨析
(1)直线(t为参数)的倾斜角α为30°.(　　)
(2)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)
(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.小题热身
(1)若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为________．
答案　－
解析　因为所以3x＋2y＝7，因此直线的斜率为－.
(2)椭圆(θ为参数)的离心率为________．
答案　
解析　将消去参数θ，得椭圆＋＝1.
所以a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以离心率e＝＝.
(3)曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．
答案　y＝2－2x2(－1≤x≤1)
解析　由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1).



对应学生用书P209
题型 一　参数方程与普通方程的互化

1.求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．
解　将消去参数t得直线x＋y－1＝0；
将消去参数α，得圆x2＋y2＝9.
又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝0且λ≠1)，P点的轨迹是圆．”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”．已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为＝，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程．
解　由题意，以OA所在直线为x轴，过O点作OA的垂线为y轴，建立直角坐标系，设M(x，y)，则O(0,0)，A(3,0)．
因为＝，即＝，
化简得(x＋1)2＋y2＝4，
所以点M的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆．
由圆的普通方程可得其参数方程为(θ为参数).

1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程组的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cos2θ＝1等.
2.普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．
(2)解题的一般步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t))；
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝φ(t))，问题得解．

在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．
解　将直线l的参数方程化为普通方程，得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程，得y2＝4x，联立方程解得或
所以A(4,4)，B，－1或A，－1，B(4,4)．
所以|AB|＝＝.
题型 二　参数方程的应用　

角度1　利用参数方程解最值问题
1.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数)，圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1，若曲线C1上有一动点M，圆C2上有一动点N，求|MN|的最小值．
解　圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1，设曲线C1上的动点M(3cosα，2sinα)，易知点M在圆C2外，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.
因为|MC2|＝
＝＝，
所以当cosα＝时，|MC2|min＝，
所以|MN|min＝|MC2|min－1＝－1，
即|MN|的最小值为－1.
角度2　参数几何意义的应用
2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.

1.设直线l的参数方程为(t为参数)，直线的参数方程在交点问题中的应用
(1)设M0(x0，y0)，若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.
(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.
(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2