2021届山东高考数学一轮创新教学案：第10章　第3讲　几何概型

第3讲　几何概型

1.几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

2.几何概型的两个基本特点

3.几何概型的概率公式

P(A)＝.

1.概念辨析

(1)几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．(　　)

(2)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　)

(3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　)

(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.小题热身

(1)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一个玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

答案　A

解析　如题干选项中图，各种情况的概率都是其面积比，中奖的概率依次为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，

所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．故选A.

(2)在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝(　　)

A.1  B．2 

C．3  D．4

答案　C

解析　区间[－2,4]的长度为6，在[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则对应区间长度为5，由[－2,3]的长度为5，得m＝3.

(3)(2019·福州四校联考)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，则∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，则符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，故选A.

(4)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．

答案　1－

解析　正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝××13＝，则点P到点O的距离大于1的概率为1－＝1－.

题型 一　与长度(角度)有关的几何概型　

1.在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A　

解析　不等式－1≤log≤1可化为log2≤log≤log，即≤x＋≤2，解得0≤x≤，故由几何概型的概率公式得P＝＝.

条件探究1　将本例中的条件“－1≤log≤1”改为“使函数y＝有意义”，则其概率为________．

答案　

解析　由log(4x－3)≥0得0＜4x－3≤1，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.

条件探究2　将本例中的条件“－1≤log≤1”改为“2≤2x＋≤4”，则其概率为________．

答案　

解析　由2≤2x＋≤4得1≤x＋≤2，即x∈，由几何概型的概率公式，得P＝＝.

2．(2019·东北三省三校联考)如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝1，BC＝，在边AD上任取点E，连接BE交AC于点F，则AF<的概率为________．

答案　

解析　由题意，得△ABC为直角三角形，由AB＝1，BC＝，得AC＝2.当AF＝时，CF＝，因为△AFE∽△CFB，所以＝，即＝，所以AE＝，且点E的活动区域为线段AD，AD＝1.所以AF<的概率为＝.

3．如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C作射线CM交AB于点M，则使得AM小于AC的概率为________．

答案　

解析　当AM＝AC时，△ACM为以A为顶点的等腰三角形，∠ACM＝＝67.5°.当∠ACM＜67.5°时，AM＜AC，所以AM小于AC的概率P＝＝＝.

1.与长度有关的几何概型

(1)如果试验结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为

P(A)＝.

(2)与时间、不等式及其解有关的概率问题

与时间、不等式及其解有关的概率问题可依据转化与化归思想将其转化为与长度有关的几何概型，利用几何概型求解．

2.与角度有关的几何概型

当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段.

1.(2019·河南八市重点高中联盟模拟)函数f(x)＝－x2＋2x＋8(－4≤x≤6)，在其定义域内任取一点x0，使f(x0)≥0的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　由题意，得f(x0)≥0，即－x＋2x0＋8≥0，解得{x0|－2≤x0≤4}，所以由长度的几何概型可得概率为P＝＝.

2．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为　　　　.

答案　

解析　因为在∠DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“∠DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，区域为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝.

题型 二　与面积有关的几何概型　

角度1　与随机模拟相关的几何概型

1.(2019·郑州三模)关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验．受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n，m估计π的值．可以估计π的值约为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　如图所示，实数对(x，y)在边长为1的正方形OABC的内部(不包括边界)，若能和1构成锐角三角形，则x，y满足x2＋y2>1，则实数对(x，y)在如图所示的阴影部分(不包括边界)，则能构成锐角三角形的概率为＝，解得π＝.

角度2　与平面图形面积有关的问题

2．(2019·晋冀鲁豫中原名校联考)1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了勾股定理的一种证明方法，即在如图的直角梯形ABCD中，利用“两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形的面积之和等于直角梯形面积”，可以简洁明了地推证出勾股定理.1881年加菲尔德就任美国第二十任总统．后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、易懂的证明，就把这一证明方法称为“总统证法”．如图，设∠BEC＝15°，在梯形ABCD中随机取一点，则此点取自等腰直角三角形CDE中(阴影部分)的概率是(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　在直角三角形EBC中，a＝ccos15°，b＝csin15°，则

P＝＝＝＝＝.

角度3　与线性规划有关的几何概型

3.(2019·大庆模拟)设不等式组表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则P点的坐标满足不等式x2＋y2≤2的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　A

解析　画出所表示的区域Ω，易知A(2,2)，B(2，－2)，所以△AOB的面积为4，满足不等式x2＋y2≤2的点，在区域Ω内是一个以原点为圆心，为半径的圆面，其面积为，由几何概型的公式可得其概率为P＝＝.

1.与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路

利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．见举例说明1,2.

2.与线性规划交汇问题的解题思路

先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率．见举例说明3.

1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中小圆的半径均为2，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　因为函数y＝3sinx的图象与x轴交于点(6,0)和点(－6,0)，则大圆的半径为6，所以S大圆＝36π.

又小圆的半径为2，故两个小圆的面积和为8π，所以所求的概率为P＝＝.

2.已知关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.

(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率；

(2)若a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．

解　(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个等可能的基本事件．

用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点”，即Δ＝[－(a＋1)]2－4b2＝0，则a＋1＝2b.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A)＝＝.

即事件“y＝f(x)恰有一个零点”的概率为.

(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点”，即a＋1≥2b.试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．如图所示：

所以所求的概率为

P(B)＝＝.

即事件“y＝f(x)有零点”的概率为.

题型 三　与体积有关的几何概型

某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　由三视图可知该立体图形为三棱锥，其底面是一个直角边长为3的等腰直角三角形，高为4，所以该三棱锥的体积为12，又外接球的直径2r为以三棱锥的三个两两垂直的棱为长、宽、高所作的长方体的对角线，即2r＝＝2，所以球的体积为，所以点落在四面体内的概率为＝.

与体积有关的几何概型问题

如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为：

P(A)＝.

求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积．

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________．

答案　

解析　过M作平面α∥平面ABCD，则两平面间的距离是四棱锥M－ABCD的高，显然M在平面α上任意位

置时，四棱锥M－ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M－ABCD的体积等于.只要M在截面以下即可小于，当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝＝.

　组　基础关

1．在区间[0,2π]上随机取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　C

解析　当x∈[0,2π]时，由sinx≤得0≤x≤或≤x≤2π，因此所求概率为P＝1－＝.

2．(2019·山东师范大学附中模拟)“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图中阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是(　　)

A．2  B．3 

C．10  D．15

答案　C

解析　设阴影部分的面积是S，由题意得＝

∴S＝10，选C.

3. (2019·揭阳模拟)如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　B

解析　设正方形DEFC的边长为x，则＝，解得x＝，因此所求概率为＝.

4．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618.后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为(　　)

A.  B.－2

C.  D.

答案　B

解析　设BC＝1，则BQ＝PC＝，所以BC＋PQ＝BQ＋PC＝－1，所以PQ＝－2，所以所求概率P＝＝＝－2.故选B.

5．已知区域Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，区域E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域E内的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB的边界及其内部，区域E表示的平面区域为△COD的边界及其内部，所以点P落在区域E内的概率为＝＝.故选D.

6．(2019·青岛二中模拟)在区间[－2,2]上随机取一个数b.若使直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝a有交点的概率为，则a＝(　　)

A.  B. 

C．1  D．2

答案　B

解析　由直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝a有交点，得圆心到直线的距离d＝≤，解得b∈[－，]．又b∈[－2,2]，且直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝a有交点的概率为，所以由几何概型的概率公式可知P＝＝，解得a＝.

7．如图，正四棱锥S－ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为________．

答案　

解析　设球的半径为R，则所求的概率为

P＝＝＝.

8．(2020·安徽马鞍山月考)如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且OP＝AP，延长OP交弧AB于点C，则∠AOC＝________；现向该扇形内随机投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为________．

答案　　

解析　在△AOP中，＝，

因为OP＝AP，所以sin∠AOC＝，

所以∠AOC＝.

向该扇形内随机投一点，

则该点落在扇形AOC内的概率为P＝＝.

　组　能力关

1．已知P是△ABC所在平面内的一点，且＋＋4＝0，现向△ABC内随机投掷一根针，则该针扎在△PBC内的概率为(　　)

A.  B. 

C.  D.

答案　D

解析　如图所示，以PB，PC为邻边作平行四边形BPCD，连接PD交BC于点O，

∵＋＋4＝0，＋＝，∴＝－4，

∴2＝－4，则＝－2，∴点P到BC的距离是点A到BC距离的，

∴S△PBC＝S△ABC，因此向△ABC内随机投掷一根针，则该针扎在△PBC内的概率为＝.故选D.

2. (2019·江西师大附中模拟)如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是(　　)

A.  B.－

C.－  D.

答案　C

解析　如图所示，设长方形的长为4，宽为2，则∠AOB＝120°，

∴阴影部分的面积S＝2×＝－2，∴所求概率为P＝＝－.