2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第九章第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

第4节　直线与圆、圆与圆的位置关系

考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理

1.直线与圆的位置关系

设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由

消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.

2.圆与圆的位置关系

设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示：

[常用结论与微点提醒]

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2.直线被圆截得的弦长的求法

(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.

(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，则|MN|＝·.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)

(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)

(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)

(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)

解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(老教材必修2P132A5改编)直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|＝______.

解析　由x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝.又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝.

答案　

3.(老教材必修2P133A9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.

解析　由得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以，所求弦长为2.

答案　2

4.(2019·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝(　　)

A.21   B.19   C.9   D.－11

解析　圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3，4)，半径r2＝(m<25).从而|C1C2|＝＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋＝5，解得m＝9.

答案　C

5.(2020·合肥质检)已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则a的值为(　　)

A.2或10    B.4或8

C.6±2    D.6±2

解析　因为圆的半径是r＝2，圆心坐标是C(3，－)，∠MPN＝，且P在圆C上，所以∠MCN＝，则|MN|＝2.又点C到直线l的距离d＝＝，＋d2＝r2，所以()2＋＝4，则a＝6±2，即a＝4或8.

答案　B

6.(多填题)(2019·浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.

解析　根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，

则|AB|＝＝2，

|AC|＝＝，

|BC|＝|m－3|.

∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，

∴∠BAC＝90°，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.

即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，

解得m＝－2.

因此r＝|AC|＝＝.

答案　－2　

考点一　直线与圆的位置关系　多维探究

角度1　位置关系的判断

【例1－1】 在△ABC中，若asin A＋bsin B－csin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是(　　)

A.相切   B.相交   C.相离   D.不确定

解析　因为asin A＋bsin B－csin C＝0，

所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝0.

故圆心C(0，0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝＝1＝r，故圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0相切，故选A.

答案　A

规律方法　判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系.

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.

角度2　弦长问题

【例1－2】 (2020·中原名校联盟联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)

A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

C.4x－3y＋9＝0或x＝0

D.3x＋4y－12＝0或x＝0

解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，由得或

∴|AB|＝2，符合题意.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1，1)，半径r＝2，∴圆心C(1，1)到直线kx－y＋3＝0的距离d＝＝，∵d2＝r2－，∴＝4－，即(k＋2)2＝k2＋1，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选D.

答案　D

规律方法　弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.

【训练1】 (1)(角度1)(2019·西安八校联考)若过点A(3，0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　　)

A.(－，)    B.[－，]

C.(－，)    D.

(2)(角度2)(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.

解析　(1)数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1，0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即≤1，解得－≤k≤.

(2)由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.

答案　(1)D　(2)2

考点二　圆的切线问题　典例迁移

【例2】 (经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.

解析　当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝＝＝1，

解得k＝，

∴所求切线方程为x－y＋4－2×＝0，

即4x－3y＋4＝0.

综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.

答案　x＝2或4x－3y＋4＝0

【迁移1】 在例2中，若点P坐标变为，其他条件不变，求切线方程.

解　易知点P在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，则kPC＝＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y－＝－，即x＋y－－2＝0.

【迁移2】 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A，B，求切点弦AB所在的直线方程.

解　由题意得，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，此圆的方程为(x－2)(x－1)＋(y－4)(y－1)＝0，

整理得x2＋y2－3x－5y＋6＝0，①，

圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1展开得x2＋y2－2x－2y＋1＝0，②

由②－①得x＋3y－5＝0，即为直线AB的方程.

【迁移3】 (多填题)在例2中，已知条件不变，则切线PA的长度为________，弦AB的长度为________.

解析　如图，在Rt△PAC中，

|PA|＝＝＝3.

又∵·|PA|·|AC|＝|PC|·，解之得|AB|＝.

答案　3　

规律方法　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.

【训练2】 过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(　　)

A.   B.2   C.   D.

解析　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝＝2，故切线长的最小值为＝.

答案　A

考点三　圆与圆的位置关系

【例3】 (2020·贵阳调研)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

解　因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，

(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，

所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为，，

(1)当两圆外切时，由＝＋，得m＝25＋10.

(2)当两圆内切时，因为定圆半径小于两圆圆心之间的距离5，所以－＝5，解得m＝25－10.

(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.

故两圆的公共弦的长为2＝2.

规律方法　1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.

2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.

【训练3】 已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A.内切   B.相交   C.外切   D.相离

解析　由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.

答案　B

A级　基础巩固

一、选择题

1.若直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)

A.[－，]    B.[－2，2]

C.[－－1，－1]   D.[－2－1，2－1]

解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝，若直线与圆恒有公共点，则≤2，

解得－2－1≤m≤2－1，故选D.

答案　D

2.(2020·沈阳质检)“k＝”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的(　　)

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

解析　若直线l与圆相切，则有＝1，解得k＝±，所以“k＝”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件，故选A.

答案　A

3.(2020·广州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是(　　)

A.－2   B.－4   C.－6   D.－8

解析　将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.故选B.

答案　B

4.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)

A.1个   B.2个   C.3个   D.4个

解析　圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝＝，半径是2，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.

答案　C

5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)

A.y＝－    B.y＝－

C.y＝－    D.y＝－

解析　由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－.

答案　B

二、填空题

6.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.

解析　设P(3，1)，圆心C(2，2)，则|PC|＝，半径r＝2.由题意知最短的弦过P(3，1)且与PC垂直，所以最短弦长为2＝2.

答案　2

7.若A为圆C1：x2＋y2＝1上的动点，B为圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的动点，则线段AB长度的最大值是________.

解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，

圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圆心为C2(3，－4)，半径r2＝2，

∴|C1C2|＝5.又A为圆C1上的动点，B为圆C2上的动点，

∴线段AB长度的最大值是|C1C2|＋r1＋r2＝5＋1＋2＝8.

答案　8

8.(2020·石家庄质检)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为________.

解析　因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.

答案　或－

三、解答题

9.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程；

(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；

(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；

(3)过切点A(4，－1).

解　(1)设切线方程为x＋y＋b＝0，

则＝，∴b＝1±2，

∴切线方程为x＋y＋1±2＝0.

(2)设切线方程为2x＋y＋m＝0，

则＝，∴m＝±5，

∴切线方程为2x＋y±5＝0.

(3)∵kAC＝＝，

∴过切点A(4，－1)的切线斜率为－3，

∴过切点A(4，－1)的切线方程为y＋1＝－3(x－4)，

即3x＋y－11＝0.

10.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点.

(1)求k的取值范围；

(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.

解　(1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，

由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1，

因为l与C交于两点，所以<1.

解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).

将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得

(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2

＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.

由题设可得＋8＝12，

解得k＝1，所以l的方程为y＝x＋1.

故圆心C在l上，所以|MN|＝2.

B级　能力提升

11.若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有(　　)

A.1条  B.2条  C.3条  D.4条

解析　如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆则两圆外切.由题意得，直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).

答案　C

12.已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为(　　)

A.[2－，2＋]   B.[2－，2＋]

C.[－，＋]   D.[－，＋]

解析　由题意：2＝，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故P(1，1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化简可得＋＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋].故选D.

答案　D

13.(2020·长沙调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆C1：x2＋(y－1)2＝r2(r>0)上存在点P，且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是________.

解析　圆C1关于直线x－y＝0对称的圆C3的方程为(x－1)2＋y2＝r2，则圆C3与圆C2存在公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以r∈[－1，＋1].

答案　[－1，＋1]

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).

(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；

(3)设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.

解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，半径r＝5，

由题意，设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b>0).

且＝b＋5.

解得b＝1，∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.

(2)∵kOA＝2，∴可设l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0.

又|BC|＝|OA|＝＝2.

由题意，圆M的圆心M(6，7)到直线l的距离为d＝

＝＝2.

即＝2，解得m＝5或m＝－15.

∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.

(3)由＋＝，则四边形AQPT为平行四边形，

又∵P，Q为圆M上的两点，∴|PQ|≤2r＝10.

∴|TA|＝|PQ|≤10，即≤10，

解得2－2≤t≤2＋2.

故所求t的取值范围为[2－2，2＋2].

C级　创新猜想

15.(多选题)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为(x＋a)2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的取值可以是(　　)

A.－1   B.－3   C.1   D.3

解析　由题意得两圆的圆心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，解得a＝3或a＝－3或a＝1或a＝－1，所以a的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}.

答案　ABCD